Физические основы квантовых вычислений, страница 13

Состояния с максимальной и минимальнойпроекциями мы знаем:|1, 1, 2, ±2i = |1, ±1i|1, ±1i.Далее, согласно изложенной процедуре, получаем состояния с проекциями ±1:1|1, 1, 2, ±1i = √ (|1, 0i|1, ±1i + |1, ±1i|1, 0i) .2Вновь действуя понижающим оператором на состояние сM = +1, получим последнее из состояний с L = 2:´1 ³|1, 1, 2, 0i = √ |1, −1i|1, +1i + |1, +1i|1, −1i + 2|1, 0i|1, 0i .6Для построения состояний с моментом L = 1, воспользуемся соотношениями ортогональности для коэффициентовКлебша-Гордана (2.19) и (2.20). Вначале выпишем явныйвид уже известных коэффициентов:2,±2C1,±1,1,±1= 1,2,0C1,±1,1,∓112,±12,±1C1,±1,1,0= C1,0,1,±1=√ ,2r212,0.= √ , C1,0,1,0 =36Теперь запишем соотношение ортогональности для M 0 =M = +1, L0 = 2, L = 1:´1 ³ 1,+11,+1√ C1,+1,1,0= 0.+ C1,0,1,+12114Для значений M 0 = M = 1 и L0 = L = 1 соотношение ортогональности есть просто условие нормировки, и мы получаем´1 ³|1, 1, 1, +1i = √ |1, 0i|1, +1i − |1, +1i|1, 0i .2Вектор состояния |1, 1, 1, −1i получается отсюда тривиальb − к полученно.

Теперь применим понижающий оператор Lному состоянию:1|1, 1, 1, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i − |1, −1i|1, +1i) .2Осталось построить последний вектор с L = 0. Вновь воспользуемся соотношениями ортогональности для состояний с M 0 = M = 0:´1 ³ 0,02 0,00,0+C1,−1,1,+1= 0;L0 = 2, L = 0 : √ C1,+1,1,−1+ √ C1,0,1,066´1 ³ 0,00,0L0 = 1, L = 0 : √ C1,+1,1,−1−C1,−1,1,+1= 0.(3.23)2Решая уравнения (3.17) и используя условия нормировки,получаем1|1, 1, 0, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i + |1, −1i|1, +1i − |1, 0i|1, 0i) .3Очень часто вместо коэффициентов Клебша-Гордана удобно использовать их выражение через 3j-символы Вигнера,которые связаны соотношением:µ¶√j1 j2JJ,Mj1 −j2 +M2J + 1Cj1 ,m1 ;j2 ,m2 = (−1).

(3.24)m1 m2 −M3j-символы обладают свойствами симметрии, некоторые изкоторых мы перечислим.115Симметрия по отношению к перестановке столбцов:µ¶µ¶j1 j2 j3j2 j1 j3j1 +j2 +j3= (−1). (3.25)m1 m2 m3m2 m1 m3Симметрия по отношению к замене знака проекций:µ¶µ¶j1 j2 j3j1j2j3j1 +j2 +j3= (−1). (3.26)m1 m2 m3−m1 −m2 −m3Сумма проекций равна нулю:m1 + m2 + m3 = 0.(3.27)Кроме перечисленных важных свойств, приведем очевидную, но очень полезную формулу:µ¶1jj0.(3.28)= (−1)j−m √m −m 02j + 1Более подробное изложение свойств 3j-символов можно найти в учебниках по квантовой механике или в специальной литературе, посвященной представлениям группывращений.Упражнения.1.

Записать соотношения ортогональности для 3j-символов.2. Получить формулу (3.28).5.4Матрица поворота для j = 1/2 и 1Получим сперва матрицу конечных вращений – функциюdjm0 m (β) – для системы с моментом j = 1/2. Матричныеэлементы определяются для оператора поворота относительно оси y. Воспользуемся результатами из курса квантовой механики для спина 1/2:e−iΩ(sn) = cosΩΩ− i(σn) sin .22116Для того, чтобы получить вид матричных элементов оператора поворота, достаточно записать в соответствующемпредставлении спиновые операторы. Поэтому для функции1/2dm0 m (β) получаем:µ¶cos β/2 − sin β/21/2dm0 m (β) =.(4.1)sin β/2 cos β/2Упражнение.Получить выражение для функции D 1/2 (α, β, γ).Для момента j = 1 выражение для d-функции можнополучить двумя способами. Поскольку они весьма поучительны, рассмотрим оба.Первый способ состоит в установлении соответствия между векторами и собственными функциями оператора момента.

Вновь сошлемся на сведения из курса квантовой механики: при преобразовании поворота собственные функции оператора момента выражаются линейными комбинациями этих же функций, записанных в “новой” системекоординат. Собственно, это утверждение лежит в основеопределения матрицы конечных вращений. Посмотрим наданное утверждение с несколько иных позиций. Для момента j = 1 существуют всего три линейно независимых1 (θ, ϕ). Можно рассматривать этифункции: Y01 (θ, ϕ) и Y±1три функции как компоненты трехмерного вектора, законпреобразования компонентов которого определяется матрицей D 1 (θ, ϕ).Рассмотрим теперь компоненты обычного радиус-вектораr = (x, y, z), которые преобразуются в соответствии с матрицей поворота в декартовой системе координат. Матрицаповорота на угол β относительно оси y имеет вид:cos β 0 sin β10 .Py (β) =  0(4.2)− sin β 0 cos β117Заметим, что матрица (4.2) определяет преобразование действительных компонент и поэтому действительна.Сферические функции комплексны, поскольку записаныне в действительных декартовых, а в комплексных “циркулярных” координатах.

Поэтому следует перевести компоненты радиус-вектора в декартовых координатах в компоненты в циркулярных координатах:ρ0 = z,1ρ±1 = ∓ √ (x ± iy) .2(4.3)Переход к представлению (4.3) осуществляется с помощьюунитарной матрицы преобразования:√√√ √−1/ 2 i/ 2 0−1/√ 2 0 1/√ 210. (4.4)C =  −i/ 2 0 i/ 2 , C + =  0√√1/ 2 i/ 2 0010Теперь легко получить искомое выражение для матрицыконечных вращений D (1) на угол β относительно оси y :d(1) (β) = C + Py (β)C.√√−1/ 2 i/ 2 010 ·d(1) (β) =  0√√1/ 2 i/ 2 0√√  −1/√ 2 0 1/√ 2cos β 0 sin β10  ·  −i/ 2 0 i/ 2  =· 0− sin β 0 cos β010√(1 + cos√β)/2 − sin β/ 2 (1 − cos β)/2√=  sin β/ 2(4.5)cos β√− sin β/ 2  .(1 − cos β)/2 sin β/ 2 (1 + cos β)/2Результат (4.5) можно получить, использовав результатыпредыдущего параграфа, посвященного сложению моментов.

Мы знаем, что в результате сложения двух моментов1181/2 получаются состояние с моментом 0 и три состояния смоментом 1. Эти четыре состояния получилось в результате разбиения пространства четырех состояний, образованного прямым произведением подпространств двух состояний на два инвариантных подпространства. Следовательно, для получения матрицы d( 1) следует прямое произведение матриц (4.1) привести к квазидиагональному видудвух подматриц. Запишем прямое произведение двух матриц (4.1):¶ µ¶µcos β2 − sin β2cos β2 − sin β21/21/2⊗=d (β) ⊗ d (β) =sin β2sin β2cos β2cos β2cos2 β2− cos β2 sin β2 − sin β2 cos β2sin2 β2ββcos2 β2− sin2 β2− sin β2 cos β2 cos 2 sin 2==sin β2 cos β2− sin2 β2cos2 β2− cos β2 sin β2 sin2 β2sin β2 cos β2cos β2 sin β2cos2 β21+cos β− sin β− sin β1−cos β1  sin β1+cos β−(1−cos β) − sin β .= sin β−(1−cos β)1+cos β− sin β 2(1−cos β)sin βsin β1+cos β(4.6)При сложении двух моментов 1/2 состояния с противоположными проекциями перемешиваютсяс одинаковыми “ве√совыми” множителями 1/ 2.

В матрице (4.6) состояниямс суммарной проекцией стоят во вторых и третьих строках и столбцах. Для того, чтобы привести нашу матрицу кквазидиагональному виду следует провести унитарное преобразование 1 1√√0 √12 00 − √12 0221 0 0 +  0 100 0C =  √1,C=.

(4.7)111− 2 0 √2 0 √2 0 √2 0 00 0 10 001119Искомая матрица представлена матрицей третьего ранга в получающемся разбиении, которое записывается в виде прямой суммы:³´C + d1/2 (β) ⊗ d1/2 (β) C = d(0) ⊕ d(1) =100 √00 (1 + cos β)/2 − sin β/ 2 (1 − cos β)/2√√  . (4.8)=0sin β/ 2cos β√− sin β/ 2 0 (1 − cos β)/2 sin β/ 2 (1 + cos β)/2Очевидно, для состояния с нулевым моментом матрица сводится к числу d(0) = 1.5.5Угловой момент и система двух осцилляторовТеорию углового момента можно изложить на языке повышающих и понижающих операторов системы двух одномерных гармонических осцилляторов (операторов “рождения” и “уничтожения”).

Этот метод изложения принадлежит Йордану и Швингеру. Введем операторы уничтожения и рождения двух осцилляторов, соответственно a, a+и b, b+ , удовлетворяющие коммутационным соотношениямповышающих и понижающих операторов для гармонического осциллятора:[a, a+ ] = 1,[b, b+ ] = 1,[a, b] = [a, b+ ] = 0.(5.1)Определим теперь операторы из билинейных комбинаций:¢1¡ +a a − b+ b ,(5.2)j+ = a+ b, j− = ab+ , jz =2а также оператор квадрата момент൶a+ a + b + b a+ a + b + b2j =+1 .(5.3)22120Упражнения1 Убедиться путем прямого вычисления, что операторы(5.2) удовлетворяют коммутационным соотношениям дляоператора углового момента: [jz , j± ] = ±j± , [j+ , j− ] =2jz .2 Прямыми вычислениями показать, что jz2 +(j+ j− +j− j+ )/2имеет вид (5.3).Из определений (5.2) и (5.3) следует, что состояния момента j с определенной проекцией |j, mi можно выразитьчерез состояния системы двух невзаимодействующих гармонических осцилляторов |na , nb i, где na , nb = 0, 1, 2, .

. .В этом случае максимальная проекция j определяется изсуммы квантовых чисел двух осцилляторов:2j = na + nb .(5.4)Иными словами, состояния системы двух осцилляторов сзаданной энергией EN = na + nb + 1 отвечают набору базисных векторов углового момента |j, mi, гдеm=na − n b,2j=na + n b.2(5.5)Задачи1 Получить формулы 1.13), определяющие действие повышающего и понижающего операторов момента импульса,зная действие операторов рождения и уничтожения осцилляторов на собственные векторы:√a+ a|na , nb i = na |na , nb i, a+ |na , nb i = na + 1|na +1, nb i, . .

.2 Получить выражение для оператора конечных вращений(2.5), используя определения (5.2).3 Получить выражение для коэффициентов Клебша-Гордана Cjjm, используя представление момента в виде си1 m1 ,j2 m2стемы двумерных осцилляторов.1215.6Представление матрицы плотностидля системы с моментом jДля системы с определенным моментом количества движения j матрица плотности может быть представлена в видематрицы ранга 2j + 1 с матричными элементами в базисесобственных состояний момента:(j)ρmm0 = hjm|ρ̂(j) |jm0 i,m, m0 = −j, −j+1, . . .

, j−1, j. (6.1)Используя представление с помощью проекционных операторов, для оператора плотности можем записать:ρ̂(j) =jX(j)m,m0 =−jρmm0 |jmihjm0 |.(6.2)Диагональные элементы матрицы плотности определяют(положительное) распределение вероятности измерения соответствующего значения проекции на ось квантования z:ρ(j)mm = w0 (m).(6.3)Очевидно, распределение (6.3) нормировано:jX(6.4)w0 (m) = 1.m=−jЗапишем теперь представление оператора плотности в другой, повернутой системе отсчета. Для этого следует проделать соответствующее преобразование базисных векторов:³´(j) (j) (j) +.(6.5)ρ(j)m1 m2 = D ρ̂ Dm1 m2Диагональные матричные элементы матрицы (6.5) определяют вероятности измерения соответствующей проекции122момента на ось квантования z 0 в системе отсчета, повернутой относительно исходной на углы Эйлера α, β, γ. Такимобразом, “новые” вероятности также зависят от этих углов.Обозначим их как:w̃(m1 , α, β, γ) ==jXm1 ,m2 =−j(j)(j)(j)∗Dm1 m0 (α, β, γ)ρm0 m0 Dm1 m0 (α, β, γ).1122(6.6)Вспомним свойство D-функций:(j)0(j)Dm0 m (α, β, γ) = (−1)m −m D−m0 −m (α, β, γ)(6.7)и получим, что распределение вероятности (6.6) не зависитот угла γ, поэтому:w̃(m1 , α, β, γ) ≡ w(m1 , α, β).(6.8)ПримерРассмотрим систему со спином j = 1/2, находящуюся в состоянии с проекцией m = +1/2.