Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Физические основы квантовых вычислений

Физические основы квантовых вычислений, страница 12

Описание файла

PDF-файл из архива "Физические основы квантовых вычислений", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 12 страницы из PDF

Операцию поворота относительно некоторой оси n на угол φможно выразить через три угла Эйлера α, β, γ, совокупность которых обычно обозначают одной буквой o. В этомслучае матричные элементы (2.2) называются функциямиВигнера (или просто D-функциями).Напомним (на всякий случай) определение углов Эйлера, которые позволяют совместить две произвольно ориентированные системы координат, имеющие общее начало.Обычно считают одну из систем координат неподвижной(лабораторной), а другую – подвижной (или связанной скакой-либо физической системой) (см рис.) Будем совмещать лабораторную систему с подвижной.1.

Сперва делают поворот на угол α относительно осиz, который описывается оператором Rz (α).2. Затем поворачивают на угол β относительно оси y 0 :Ry0 (β) = Rz (α)Ry (β)Rz−1 (α)105Рис. 2.1: Схема поворотов на углы Эйлера106илиRy0 (β)Rz (α) = Rz (α)Ry (β).(2.3)3. Последний поворот совершается на угол γ относительно оси z 00 :Rz 00 (γ) = (Rz (α)Ry (β)) Rz (γ) (Rz (α)Ry (β))−1 ,т.е.Rz 00 (γ)Rz (α)Ry (β) =Rz 00 (γ)Ry0 (β)Rz (α) ==Rz (α)Ry (β)Rz (γ).(2.4)Поскольку выше описан поворот системы координат, поворот физической системы для которой записан операторповорота (1.1), описывается оператором, обратным по отношению к оператору.

Получаем:bn (φ) = e−ijz γ e−ijy β e−ijz α .R(2.5)Таким образом для определения D-функции получаем формулу(j)Dm0 m (α, β, γ) = hj, m0 j |e−ijz γ e−ijy β e−ijz α |j, mj i == e−im γ hj, m0 |e−ijy β |j, mie−imα = e−im γ e−imα djm0 m (β).00(2.6)Как видим, основная сложность – получить выражения(j)для функции dm0 m (β). Мы здесь не будем приводить общее выражение для D-функций: его можно найти в любойкниге, в которой рассматривается группа вращений. Мыпокажем, как ее можно относительно легко получить самостоятельно в некоторых частных случаях на двух примерах.1075.3Сложение моментов.

Коэффициенты Клебша-ГорданаРассмотрим две невзаимодействующие системы (частицы)с моментами j1 и j2 . Тогда состояние первой системы определяется вектором |n1 , j1 , m1 i, а состояние второй – |n2 , j2 , m2 i.Здесь n1 и n2 обозначают остальные квантовые числа изполного набора физических величин. Состояние системыдвух невзаимодействующих частиц определяется вектором|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i =|n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i ≡≡|j1 , m1 i|j2 , m2 i.(3.1)Очевидно, операторы, действующие на первую систему, недействуют на вторую и наоборот (соответственно они между собой коммутируют)fˆ1 |n1 , j1 , m1 i =|Φ1 i ≡Xhn01 , j10 , m01 |fˆ1 |n1 , j1 , m1 i|n01 , j10 , m01 i.≡n01 ,j10 ,m01(3.2)Аналогично и для второй системы:ноfˆ2 |n2 , j2 , m2 i = |Φ2 i,(3.3)fˆ1 |n2 , j2 , m2 i = |n2 , j2 , m2 ifˆ1 .(3.4)Поэтому имеем:fˆ1 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |Φ1 ; n2 j2 m2 i ≡ |Φ1i|n2 , j2 , m2 i, (3.5)fˆ2 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |n1 j1 m1 ; Φ2 i ≡ |n1 , j1 , m1 i|Φ2 i.

(3.6)108Соответственно, если оператор fˆ12 = fˆ1 fˆ2 , то согласно формуле (3.4)fˆ1 fˆ2 |n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = fˆ1 |n1 , j1 , m1 ifˆ2 |n2 , j2 , m2 i == |Φ1 i|Φ2 i ≡ |Φ1 ; Φ2 i.(3.7)Как видим, действие оператора fˆ1 fˆ2 на вектор состояния|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i определяетсясогласно правилу прямого произведения. Действительно,пространство состояний всей системы имеет ранг, равныйпроизведению рангов пространств состояний каждой системы. Количество базисных векторов равно произведениюсоответствующих чисел для каждой системы.

Таким образом, вектор состояния всей системы есть прямое произведение векторов состояний каждой подсистемы. Соответственно и произведение операторов отличается от обычного (внутреннего) матричного произведения, поскольку этоопять прямое произведение операторов. Обычно знак прямого произведения (или суммы) не выделяют особо, считаяэтот факт очевидным, однако об этом всегда нужно помнить. Иными словами, строже было бы записать определение (s2) так:|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i ⊗ |n2 , j2 , m2 i.(3.8)То же самое уточнение следует сделать и для произведения операторов.

Итак, будем сейчас рассматривать только состояния с определенным моментом и для простотыопустим набор остальных квантовых чисел (но они всегдаесть!). Для изолированной замкнутой системы, каковой ипредставляется наша система двух невзаимодействующихчастиц, E, P, M – интегралы движения. Поэтому в нашемслучае должен сохраняться полный (суммарный) моментколичества движенияM = M 1 + M2 ;bM → ~J;109M1,2 → ~bj1,2 .(3.9)Состояния системы описываются линейными комбинациями (2j1 + 1) · (2j2 + 1) независимых векторов |j1 , m1 i|j2 , m2 i.Это есть размерность пространства состояний системы двухчастиц с моментами j1 и j2 . Наша задача состоит в том,чтобы описать состояния всей системы с полным моментом J, образованным двумя независимыми моментами j1 иj2 , которые в свою очередь сами по себе в отдельности сохраняются, поскольку частицы между собой не взаимодействуют.

Иными словами, мы здеcь имеем интегралы движения j21 , j22 , J2 , Jz , которые и должны быть включены вполный набор физических величин. Или, как принято говорить, задать представление, в котором описывается нашасистема.Легко показать, что операторыJbz = ĵ1z + ĵ2z ;J2 = j21 + j22 + 2(j1 j2 )между собой коммутируют, а остальные компоненты удовлетворяют известным коммутационным соотношениям длямомента:[J2 , Jˆz ] = 0, [Jˆα , Jˆβ ] = ieαβγ Jˆγ .(3.10)СоответственноĴ2 |j1 , j2 , J, M i = J(J + 1)|j1 , j2 , J, M i,Jˆz |j1 , j2 , J, M i = M |j1 , jl2 , J, M i¾.(3.11)Прежде всего заметим, что, по определению J = max{M } =j1 + j2 .

Такое состояние одно:¾|J, Ji = |j1 +j2 , j1 +j2 i = |j1 , j1 i|j2 , j2 i,. (3.12)|J, J −1i = |j1 +j2 , j1 +j2 − 1i ∝ Jˆ− |J, JiПодействуем оператором J− на состояние с максимальнойпроекцией√Jb− |J, Ji = 2J|J, J − 1i =pp= 2j1 |j1 , j1 − 1i|j2 , j2 i + 2j2 |j1 , j1 i|j2 , j2 − 1i.110Получаем состояние с проекцией на 1 меньше:|J, J − 1i =ssj1j2|j1 , j1 −1i|j2 , j2 i +|j1 , j1 i|j2 , j2 −1i. (3.13)=j1 +j2j1 +j2Легко видеть, что существует вторая линейно независимая(ортогональная к первой) линейная комбинация˜ j1 + j2 − 1i =|J,ssj2j1=|j1 , j1 −1i|j2 , j2 i −|j1 , j1 i|j2 , j2 −1i. (3.14)j1 +j2j1 +j2Поскольку это состояние не относится к состоянию с полным моментом J = j1 + j2 , оно должно соответствоватьсостоянию с другим полным моментом.

Поскольку максимальная проекция равна j1 +j2 −1, по определению следуетположить J˜ = j1 + j2 − 1.Действуя теперь понижающим оператором на состояf=ния |J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1i и |J˜ = j1 + j2 − 1, Mj1 + j2 − 1i, получим два линейно независимых состояния,относящихся к соответствующим полным моментам. Oднако, если J − 1 6= 0, наряду с получающимися векторами можно построить третий, линейно независимый, ортогональный к двум полученным вектор. Как и прежде, этотвектор должен быть отнесен к состоянию с полным моментом J = j1 + j2 − 2.

Продолжая процедуру, видим, чтоновые линейно независимые вектора могут быть построены до тех пор, пока проекция не понизится до значенияM = |j1 −j2 |. Таким образом, получаем, что полный моментсистемы двух частиц с моментами j1 и j2 может приниматьзначения|j1 − j2 | ≤ J ≤ (j1 + j2 ).(3.15)111Это так называемое неравенство треугольника. Если j2 <j1 , получается всего 2j2 + 1 различных значений, которыеможет принимать полный момент системы двуx частиц.Полное же число состояний всей системы остается неизменным:J=j1 +j2X(2J + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).(3.16)J=|j1 −j2 |Таким образом, пространство (2j1 +1)(2j2 +1) состоянийс базисными векторами |j1 , m1 i|j2 , m2 i разбилось на 2j2 + 1инвариантных подпространства независимых состояний сбазисными векторами соответственно:|J = j1 + j2 , j1 , j2 , M i, .

. . , |J = |j1 − j2 |, j1 , j2 , M i.Этот результат можно представить в видеX|j1 , j2 , J, M i =CjJ,M|j , m1 i|j2 , m2 i. (3.17)1 ,m1 ;j2 ,m2 1m1 +m2 =Mсоставляют матрицу, котораяКоэффициенты CjJ,M1 ,m1 ;j2 ,m2осуществляет необходимое разбиение пространства. Они называются коэффициентами Клебша-Гордана.

Остановимсякратко на их свойствах.Согласно общему правилу, коэффициенты разложения(3.17) определяются при помощи скалярного произведенияна соответствующий сопряженный вектор:CjJ,M= hj1 , m1 |hj2 , m2 ||J, M i.1 ,m1 ;j2 ,m2(3.18)Обратный переход от описания состояний в базисе |j1 , j2 , J, M iк описанию состояний в базисе |j1 , m1 i|j2 , m2 i осуществля-112ется с помощью обратной матрицы=|j1 , m1 i|j2 , m2 i =X¡C −1M = m1 + m2 ;|j1 − j2 | ≤ J ≥ |j1 + j2 |¢J,Mj1 ,m1 ;j2 ,m2|j1 , j2 , J, M i,(3.19)которая также находится по определению¡C −1¢J,Mj1 ,m1 ;j2 ,m2=hj1 , j2 , J, M |j1 , m1 i|j2 , m2 i =³´∗= hj2 , m2 |hj1 , m1 |j1 , j2 , J, M i .(3.20)Можно показать, что коэффициенты Клебша-Горданамогут быть выбраны все действительными.

Имея обратную матрицу (3.20), сразу получаем соотношения ортогональности:hj1 j2 ; JM |j1 m1 i|j2 m2 ihj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; J 0 M 0 i == δJJ 00 δM M 0 ,(3.21)и наоборот:hj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; JM ihj1 j2 ; JM |j1 m01 i|j2 m02 i == δm1 m01 δm2 m02 .(3.22)Итак, CjJ,M– унимодулярная матрица ортогонально1 ,m1 ;j2 ,m2го преобразования базиса.Матрица коэффициентов Клебша-Гордана разбивает полное пространство (2j1 + 1)(2j2 + 1) на инвариантные подпространства меньшего ранга, соответствующие данномузначению полного момента.Пример. Построить состояния с определенным полным моментом |l1 , l2 , L, M i для случая l1 = l2 = 1.113В данном примере мы должны получить 9 состояний:5 состояний с L = 2; 3 – c L = 1 и 1 – с L = 0. Преждевсего следует построить состояния с максимальным значением L = 2.

Свежие статьи
Популярно сейчас