Физические основы квантовых вычислений, страница 11

Иными словами, возникает соответствие, аналогичное соответствию между различными представлениями операторов в квантовой механике (например, вид оператора координаты в координат96ном и импульсном представлениях). Поэтому сразу рассмотрим обратное соотношение, а именно:Z1dqdpdkW (q, p)µe−ik(x−µq−νp) =µw(x, µ, ν) =(2π)2µ¶Z11 ∂=dqdpdkW (q, p)e−ik(x−µq−νp) .(4.5)(2π)2ik ∂qПродифференцируем выражение (4.5) по координате:∂w(x, µ, ν) =∂x Z∂1dqdpdkW (q, p) e−ik(x−µq−νp) .−(2π)2∂qµ(4.6)Интегрируя по частям правую часть выражения (4.6), получаем искомое соотношение:∂∂W (q, p) = µ w(x, µ, ν).∂q∂x(4.7)Полученные соответствия можно условно записать в виде:µ ¶−1∂∂∂∂,−→ µ .(4.8)q −→ −∂x∂µ∂q∂xЗдесь взятие “обратной производной” (∂/∂x)−1 следует понимать как взятие неопределенного интеграла по соответствующей переменной.Упражнение.Получить соответствия умножению на обобщенный импульси взятию по нему производной:µ ¶−1∂∂pW (q, p) = −w(x, µ, ν);(4.9)∂x∂ν∂∂W (q, p) =ν w(x, µ, ν).(4.10)∂p∂x97Уравнение для томографического распределения получается в результате подстановки полученных соотношений(4.8) и (4.9) в уравнение Мойала (2.21):!" à µ ¶∂w∂ν ∂∂ −1 ∂−−µ w − i U −−i∂t∂ν∂x∂µ2 ∂xà µ ¶!#∂ −1 ∂ν ∂−U −w = 0.(4.11)+i∂x∂µ 2 ∂xТак же, как и в формуле (2.23) видно, что в выражении вквадратных скобках уравнения (4.11) остается только мнимая часть функции потенциальной энергии, поэтому можно записать:õ ¶−1 !∂w∂ν ∂∂∂− µ w − 2ImU i−w = 0.

(4.12)∂t∂ν2 ∂x∂x∂µУпражнение.Показать, что для одномерного гармонического осциллятора с гамильтонианом (в безразмерных единицах)22b = p̂ + q̂H22(4.13)уравнение эволюции для томографического распределениявероятности имеет вид:ẇ − µ∂∂w + ν w = 0.∂ν∂µ98(4.14)Глава 5Представлениевероятностей длядискретного спектра напримере моментаколичества движенияПрежде чем начать изложение соответствующего представления напомним основные положения квантовой теории момента количества движения.5.1Оператор момента импульса, собственные состоянияВ последующем изложении мы часто будем рассматриватьпримеры, связанные с преобразованием поворота системотсчета.

Как хорошо известно из курса квантовой механики (и механики вообще), с преобразованиями поворота свя99зано понятие момента количества движения. Свойствамомента импульса нами будет часто использоваться, поэтому напомним некоторые основные свойства операторамомента импульса, его значения и собственные состояния,а также рассмотрим некоторые важные понятия, связанные со сложением моментов различных систем.В качестве определения момента импульса квантовойсистемы примем выражение для оператора поворота нанекоторый угол Ω относительно оси, направление которойзадается единичным вектором N:bN (Ω) = eiΩ(Nĵ) ,Rпри [ĵα , ĵβ ] = ieαβγ ĵγ ,(1.1)где ĵ – есть оператор полного момента квантовой системыи, соответственно, [ĵ2 , ĵα ] = 0.Состояния с определенным значением момента в стандартном представлении {ĵ2 , ĵz } определяются из системыуравнений:ĵ2 |Λ, mi = Λ|Λ, mi,ĵz |Λ, mi = m|Λ, mi.(1.2)Очевидно, квадрат проекции не может превосходить квадрат всего момента, поэтому оператор ĵ2 можно считать“главным"в системе уравнений (1.2), и на возможные значения квантового числа m накладываются ограничения |m|2 ≤Λ.

Для решения системы (1.2) поступим так же, как прирешении задачи для изотропного гармонического осциллятора. Введем вместо эрмитовых операторов ĵx и ĵy неэрмитовы операторыĵ± = ĵx ± iĵy ,которые, как легко убедиться, удовлетворяют коммутационным соотношениям[ĵz , ĵ± ] = ±ĵ± ,[ĵ+ , ĵ− ] = 2ĵz ,100[ĵ2 , ĵ± ] = 0.(1.3)Квадрат момента при этом выражается через так введенные операторы следующим образомĵ2= ĵz2+´1³ĵ+ ĵ− + ĵ− ĵ+ = ĵz2+ĵz +ĵ− ĵ+ = ĵz2−ĵz +ĵ+ ĵ− .

(1.4)2Подействуем оператором ĵ+ на произвольное состояниев системе (1.2):Xam0 |Λ, m0 i,(1.5)ĵ+ |Λ, mi = |Φi =m0поскольку оператор ĵ+ коммутирует с оператором ĵ2 ине коммутирует с ĵz . Подействуем теперь оператором ĵz на“неизвестное"состояние |Φi и воспользуемся коммутационным соотношением:ĵz |Φi = ĵz ĵ+ |Λ, mi = (ĵ+ ĵz + ĵ+ )|Λ, mi = (m + 1)|Φi.Таким образом получили, что неизвестное состояние |Φiесть собственное состояние оператора ĵz с собственным значением (m + 1), поэтому в сумме (1.5) остается только однослагаемое с m0 = m + 1 :ĵ+ |Λ, mi = am+1 |Λ, m + 1i.(1.6)Таким образом, оператор ĵ+ повышает проекцию моментана ось квантования на единицу – повышающий оператор.Совершенно аналогично получим, чтоĵ− |Λ, mi = ãm−1 |Λ, m − 1i,(1.7)и ĵ− – понижающий оператор.Обозначим максимальное значение проекции моментабуквой j :max{m} = j,(1.8)101тогда обязательно должны получитьĵ+ |Λ, ji = 0.(1.9)Поскольку для все возможных m при заданной величине момента импульса значение Λ одно и то же, дляm = j получаемĵ2 |Λ, ji =³´= ĵz2 + ĵz + ĵ− ĵ+ |Λ, ji = (j 2 + j)|Λ, ji = j(j +1)|Λ, ji, (1.10)т.е.

Λ = j(j + 1) – определяется максимальной проекциейна ось квантования. Исходя из полученного результата легко видеть, что минимальное значение проекции моментана ось квантования min{m} = −j. Таким образом в дираковском векторе состояния обычно указывают не квадратмомента, а максимальное значение его проекции:|Λ, mi ≡ |j(j + 1), mi ≡ |j, mi.(1.11)Найдем теперь матричные элементы am . Вспомним, что´+³= hj, m|ĵ− , тогда hj, m|ĵ− ĵ+ |j, mi = |am+1 |2 .ĵ+ |j, miС другой стороныĵ− ĵ+ |j, mi (j(j + 1) − m(m + 1)) |j, mi ≡ (j−m)(j+m+1)|j, mi,соответственноam+1 = eiφp(j − m)(j + m + 1).(1.12)Обычно выбирают значение фазы φ = 0. Таким образом,можно записатьpĵ+ |j, mi =(j − m)(j + m + 1)|j, m + 1i,pĵ− |j, mi =(j + m)(j − m + 1)|j, m − 1i. (1.13)102Проекция момента может принимать значения −j ≤ m ≤ j,а поскольку при этом “соседние"значения проекции отличаются на единицу, всего при данном значении моментаможет быть N = 2j различных состояний.

Или иными словами максимальная проекция равнаj=N,2т.е. j = 0,13, 1, , 2, . . .22(1.14)Соответственно, проекция момента может принимать только либо целые, либо полуцелые значения.Теперь можно выразить любое состояние |j, mi черезодно состояние с максимальной проекцией |j, ji. Действительно,´´³11 ³ĵ− |j, ji = √ĵ− |j, ji ,|j, j −1i = √2j2j · 1³³ ´2´11|j, j −2i = √ĵ− |j, j −1i = pĵ− |j, ji,2 2j −12! 2j(2j −1)Полученные результаты легко обобщить:s(j + m)! ³ ´j−mĵ−|j, ji.|j, mi =(2j)!(j − m)!(1.15)Итак, исходя только из коммутационных соотношений, получили вектора состояний и значения квантовых чисел,описывающих систему, обладающую определенным моментом количества движения.

Однако, вспоминая результаты,полученные при решении задачи о движении частицы вцентральном поле в координатном представлении, вспоминаем, что проекция орбитального момента по своему физическому смыслу может принимать только целые значения. Полученные нами полуцелые значения не могут бытьсвязаны с орбитальным моментом, а, значит, с вращением квантовой системы (частицы). Вместе с тем мы видим,103что при преобразованиях поворота имеется две возможности преобразования вектора состояния системы: с помощью как целого, так и полуцелого значения момента.Если преобразование состояния системы с помощью целого момента может быть интерпретирована как вращениесистемы, то в другом случае ни о каком вращении речибыть не может, поскольку при вращении на угол 2π система должна была бы вернуться в исходное положение,а в нашем случае состояние отличается знаком.

Таким образом, для полуцелых значений j мы обязаны допустить,что система обладает внутренними степенями свободы, которые проявляются при преобразовании поворота в состоянии системы и по своим свойствам аналогичны моментуколичества движения. Такой момент называют собственным моментом или спином системы. Очевидно, что с такой позиции собственный момент может принимать такжеи целые значения. Иными словами, спин системы можетбыть как целым, так и полуцелым, но орбитальный моментможет быть только целым.

Поскольку спин системы описывает внутренние степени свободы квантовой системы, онимеет всегда определенное для данной системы значение,которое не может изменяться, поскольку в противном случае его изменение означало бы изменение внутренних степеней свободы, а значит и самой системы. Таким образомспин – чисто квантовая характеристика системы.В отличие от спина, орбитальный момент может принимать самые разные значения, а поскольку размерная физическая величина есть M = ~l, в классическом пределе(~ → 0) должна соответствовать “обычному” моменту количества движения, значения квантового числа, описывающего орбитальный момент должны стремиться к бесконечности l → ∞ так, что величина M оставалась конечной.1045.2Углы Эйлера и матрица поворотаВновь вернемся к оператору конечных вращений.

Как следует из предыдущего параграфа, оператор поворота относительно некоторой оси n на угол φ для состояний с моментом j определяемый формулой (1.1), “не перемешивает” базисные вектора состояний с различными моментами(оператор jn коммутирует с со всеми проекциями оператора момента). Поэтому, можно записатьX (j)bn (φ)|j, mj i =(2.1)Dm0 m (n, φ)|j, m0 j i,Rm0где(j)bn (φ)|j, mj i−Dm0 m (n, φ) = hj, m0 j |R(2.2)матричные элементы соответствующего разложения “нового” вектора состояния, получившегося в результате преобразования поворота по “старым” состояниям (базису).