М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 37

Многообразие геометрических объектов можно охарактеризовать с помощью индексов тип (m>n), первый из которых есть размерность пространства, второй — число измерений, по которым наблюдается периодичность. Каждой паре значений тип соответствует множество групп Gnm, описывающих симметрию объектов данного /п, /г-типа.Т а б л и ц а 12Типы фигур и число групп, описывающих их симметриют= 1т =2т=3одномерные непериодические фигуры2розеткитрехмерные тела0000одномерные периодические фигуры2плоские цепи(бордюры)7цепи (стержни)п=2—сетчатые орнаменты(обои)17слои80п=3——кристаллическиеструктуры230л=0п=100В табл.

12 для всех случаев, когда т<3, даны названия различных т, /г-типов фигур, приведено также число групп для каждого типа.На рис. 6.1.1 изображены 7 случаев симметрии плоских цепей(группы Gi 2 ). В обозначениях групп симметрии символ Рс указывает на наличие одномерной подгруппы трансляций (индекс с от194английского chain — цепь).

Те же 7 групп характеризуют возможную симметрию бордюров, которые отличаются от плоских цепейтем, что вместо обязательного присутствия тривиальной плоскостисимметрии, совпадающей с плоскостью цепи, подразумевается отсутствие какого-либо изображения на обратной стороне рисунка.Нарис. 6.1.2 перечислены17 групп симметрии сетчатых орнаментов (группы G 2 2 )—обычно ихназывают плоскими группами. Символы PI и С/ соответствуют примитивной и центрированной двумер^ным решеткам (индекс / от англий\^^\^^ с ^ского layer — слой).

Эти же 17групп описывают симметрию обоев.Между сетчатыми орнаментами иобоями различие такое же, как между плоскими цепями и бордюрами.Для описания симметрии объем^ t^k" k" Iных цепей и слоев служат группы\sJ4^\J<\vJ<\J cfriirтипа Gi 3 и G23. Поскольку объемные цепи могут обладать направленными вдоль них поворотными,инверсионными и винтовыми осями^—'v^ f—Ч^-~I рсасколь угодно высокого порядка,число групп типа Gi 3 бесконечно.Однако, как и точечные группы,они разбиваются на конечное числосемейств (таких семейств имеется—— v i .х' Рс2та17). Полный перечень этих се\1^мейств, а также всех 80 групп типаG23 дан в книгах: А. В.

Шубников^г\^^«Симметрия» и А. В. Шубников,<^\^^<^\^> Р mmВ. А. Копцик «Симметрия в науке^^l^^^^l^^°и искусстве» (см. список рекоменРисдованной литературы). Примеры- ^J^?™^?""*1*™объемных цепей и слоев имеются вразделах 5.1 и 7.2. Обозначениягрупп симметрии таких цепей и слоев строятся вполне аналогичнообозначениям групп симметрии плоских цепей и сетчатых орнаментов. Отличие заключается в том, что здесь могут появлятьсясимволы элементов симметрии, расположенных параллельно илиперпендикулярно третьей оси координат.6.2. АКСИОМЫ ДИСКРЕТНОСТИ И ПОКРЫТИЯ.КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯВ начале книги мы уже говорили о возможности строго математического (дедуктивного) построения геометрической кристаллографии.

При таком подходе этот раздел науки фактически195предстает как раздел математики, и его можно назвать «кристаллографической геометрией».Исходным пунктом здесь являются две аксиомы, которые определяют систему точек евклидова пространства, называемую системой Делоне. Будем обозначать такую систему {Д}.--Т+-Н•ччччPJРис.P3m1РЛтР6P6mm6.1.2.

Группы симметрии сетчатых орнаментов (плоские группы)-Аксиома дискретности. Расстояние между любыми двумя точками из множества {Д} больше некоторого фиксированного отрезка г.Аксиома покрытия. Расстояние от любой точки пространства доближайшей к ней точки из множества {Д} меньше некоторого фиксированного отрезка R.Первая аксиома не позволяет точкам располагаться слишкомгусто, вторая — исключает появление изолированных подмножеств{Д}, т. е.

групп точек (или отдельных точек), далеко отстоящихот остальных точек, содержащихся в {Д}. Это соответствует расположению атомов, если считать их точечными и неподвижными, вконденсированных фазах (кристаллах, жидкостях и мезофазах).Очевидно, что множество {Д} бесконечно и распространено вовсех направлениях.Если для конкретной системы {Д} удалось найти некоторыезначения г' и Rf, обеспечивающие выполнение двух сформулированных аксиом, то любые значения г, меньшие г', и любые значения /?, большие /?', также будут пригодны. Поэтому для характеристики данной системы {Д} следует указать предельные значения г и R, при которых аксиомы дискретности и покрытия уже недействуют, l i m r — это кратчайшее расстояние между точками из196множества {Д}, lim#можно расположить вдиться только на егоПриведем конкретныеструктур:— это максимальный радиус шара, которыйсистеме так, что точки из {Д} будут нахоповерхности (радиус наибольшей пустоты).примеры из числа простых кристаллическихlim r/lim /?Структураlim тa-FeСиNaClCaTiOga/3/2a^2/2графит0/3/2a/2a/2lim Лa/5/4a/2a/3/4a/22ac1Г+ 4ТОЧН.прибл.2/3/ /5y'22//311,636ac/34a2 + 3c21,411,161,000,72Нетрудно доказать, что lim r/lim /?<2.

Для трехмерных систем,максимальное значение этого отношения достигается, по-видимому, в структуре a-Fe. Нижний предел величины lim r/lim R математически не ограничен, но в конкретных конденсированных фа-зах она остается достаточно высокой из-за стремления атомов юмолекул к плотной упаковке. Таким образом, эта величина, которую можно назвать коэффициентомкомпактности, является полезной характеристикой структуры 1.Аксиома дискретности эквивалентна каждому из следующихутверждений:1) в шаре радиуса г, описанном вокруг любой точки Д, нетдругих точек из множества {Д},2) в любом шаре содержится конечное число точек из множества {Д}.Аксиому покрытия можно заменить одним из следующих утверждений:1) шары с радиусом /?, описанные вокруг точек {Д}, покрывают пространство (т.

е. включают в себя все его точки),2) шар радиуса R, помещенный в любую точку пространства,содержит хотя бы одну точку из системы {Д}.Эти утверждения (леммы) позволяют лучше представить свойства систем Делоне. Добавим к ним еще одну лемму:множество точек {Д} является 2 lirn Я-связным, т. е. любые двеего точки можно соединить ломаной, вершины которой будут точками из {Д}, а длина каждого отрезка не превысит 2 lim R.Пучок векторов, соединяющих точку Д со всеми остальнымиточками, которые входят в множество {Д}, называется глобальной1Примечательно, что коэффициент к о м п а к т н о с т и структуры a-Fe больше,чем структуры Си, хотя последняя имеет более высокий коэффициент плотностишаровой упаковки.звездой.

Система Делоне, в которой глобальные звезды всех точекDI равны, называется правильной.Оказывается, однако, что равенство глобальных звезд не является необходимым условием правильности. В работах Б. Н. Делоне исотр. установлено, что система {Л} будет правильной, если все ееточки одинаково окружены в сфере радиуса 10/?; существует также предположение, что этот предел можно уменьшить до 4R.Последнее обстоятельство имеет фундаментальное значение.Оно показывает, что, если в рассматриваемой системе атомов каждый атом (или некоторая группировка атомо-в) в сфере конечногои сравнительно небольшого радиуса имеет одинаковое окружение,эта система представляет собой кристаллическую структуру. Отсюда вытекают важные соображения о механизме образованиякристаллов.Полная совокупность преобразований симметрии любой правильной системы образует группу.

Всякая такая группа или ееподгруппа, переводящая любую точку правильной системы в любую другую ее точку, это и есть федоровская группа. И наоборот, всякая орбита федоровской группы есть правильная систематочек.Решетчатое строение кристаллических структур в кристаллографии часто рассматривается как аксиома. Между тем при строгом математическом подходе отнюдь не тривиальной оказываетсяследующая теорема, сложное доказательство которой было проведено Шенфлисом:всякая федоровская группа содержит в себе трехмерную подгруппу трансляций (решетку), т. е. правильная система всегда обладает трехмерной периодичностью 1 .Полный вывод всех федоровских групп в рамках кристаллографической геометрии (дедуктивной кристаллографии) осуществляется с помощью матрично-векторного метода, который вкратцебыл охарактеризован в конце предыдущей главы.6.3.

АНТИСИММЕТРИЯ, ЦВЕТНАЯ СИММЕТРИЯИ Д Р У Г И Е ОБОБЩЕНИЯ СИММЕТРИИОбщее определение симметрии подразумевает инвариантность(неизменность) объекта при тех ил.и иных преобразованиях. Выше, говоря о симметрических операциях, мы понимали их как изометрические преобразования, при которых объект остается в геометрическом смысле равным самому себе (тождественно или зеркально). Можно, однако, рассматривать симметрию с более общихпозиций, модифицируя как понятие симметрической операции, таки понятие равенства объектов. В частности, можно ввести в рассмотрение преобразования, при которых нарушается, но вполне1Доказательства этой и других теорем, упомянутых в настоящем разделе,приведены в книге Р.