М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е. nt= мт и т =Т8Итак, сдвиг т, комбинирующийся с поворотом, всегда направлен вдоль оси этого поворота. Ясно, что т — это трансляция; тогда nr = qt, где t — кратчайшая трансляция, т. е. период повторяемости по данному направлению, q — целое число. Отсюда получаем т = — t .пТаким образом, операция пч, называемая винтовым поворотом,представляет собой поворот на 360°/п и сдвиг вдоль оси поворотана величину вектора — t, где t — кратчайшая трансляция поданному направлению.Если k кратно п, то184пnj = -^— t,пт.
е. винтовой поворот пред-ставляет собой трансляцию. При ^ = 0 винтовой поворот превращается в обычный поворот (по = п).Очевидно, что если группа симметрии содержит операцию nq>то она содержит и всевозможные операции nq+in. Например, приналичии операции 2\ присутствуют операции 23, 2s, ..., а также операции 2_1, 2_з...Операции nqk и AV идентичны, если выполняются два условия:1) qk = q'k'\ 2) k—k' = ln, где / — целое число. Например, 2i 3 = 231;2з 4== 2 2 6 ; 3i4 = 341.
В более общем виде nJ = (n')J/, если 1) -2— =п21и= - *!; 2 ) — — = — + / . Например, 620 = 32 .п'п'пОбратимся теперь к комбинациям сдвига и поворота с инверсией (операция пд). В результате поворота Сп с инверсией и сдвигат радиус-вектор г преобразуется в радиус-вектор г'=—С п г+т. Повторение этой операции дает вектор г" = Сп2г—Спт + т. В результатея-кратного и 2/г-кратного выполнения операции nq получимБудем считать, что п — четное. Тогда пп=\ и пдп = пт.
Вместес темГруппируя попарно члены этой суммы и считая, что поворот происходит вокруг оси Z, получимcos &ф \2Т 2 С08^ Ф,2т\2T2cosfecp .2т3)Один из этих двух результатов получается и при суммированиипрочих пар — отрицательных и положительных. Кроме того, сумма содержит непарный член, который представляет собой С2т прип = 41 и — С2т, т. е. /п_[_т, где m ± — отражение в плоскости, перпендикулярной к оси поворота, при п = 41+2. Группируя этот непарный член с т, получимпри п — 4/,/' 2V= I 2т2 I при п = 4/185Если п = 41, отрицательных пар на одну больше, чем положительных, и мы находим в конечном итоге/тЛ/ 2т 1 С08*ф \ttT^ttl т2 1 = —I 2т2соз ф 1\т8/\2т3/Отсюда вытекает, что AZTI =—2т1соз ф, т.
е. TI (я+ 2 созйф) =0.Поскольку уравнение созйф = —п/2 при п = 41 не имеет решения,Ti = 0. Аналогично можно установить, что f v ^ Q . Следовательно, т == 40 и операция (41) q не содержит сдвига, иными словами, она является закрытой операцией.Если же п = 4/+ 2, число отрицательных пар равно числу положительных пар, что приводит к результату:;= I тТогда /iti=2ti, т. е. t\(n—2 ) = 0.
Очевидно, что решением этогоуравнения является ti = 0, но в случае п — 2 допустимо и ненулевоезначение п. Аналогичный результат получается и для составляющей t2. Таким образом, при п = 41 + 2 т = 0, и мы снова приходимк закрытой симметрической операции. Исключением является операция 2д, которая содержит сдвиг, перпендикулярный к оси поворота.Нам осталось изучить случай нечетного п. Здесь ппф\ (операция пп представляет собой инверсию).
Зато справедливо равенство й2п = 1. Отсюда nq2n==2nt. Наряду с этим 2пт = г (2п >—г == —С гг 2п ~ 1 т+ ...—С п т + т. Подобно тому, как это было сделано длячетного п, члены суммы можно сгруппировать попарно, причем ихсложение приводит к тем же самым результатам. Непарный членв данном случае равен —С п п т = —т. Так как число отрицательныхпар здесь всегда равно числу положительных пар, в конечном итоге получаем 2пг — —т + т = 0 и т = 0.
Следовательно, при нечетномп операция nq также является закрытой.Итак, комбинируя инверсионные повороты с поступательнымиперемещениями, мы получили открытые операции только в случае/? = 2. Операцию 2,у, содержащую сдвиг т, который направлен перпендикулярно оси поворота, обычно рассматривают как отражениев плоскости, сопровождаемое перемещением, параллельным этойплоскости, и называют отражением со скольжением. Повтореннаядважды операция 2q дает сдвиг 2т, представляющий собой трансляцию.
Тогда 2r = qt, где t — кратчайшая трансляция по данномунаправлению (q — целое число). Следовательно, т — — t.Минимальный (по модулю) отличный от нуля сдвиг т равен t/2 и соответствует преобразованию 2\.186Очевидно, что если в группу симметрии входит операция 2q, тоR нее входят и_всевозможные операции 2<т+2/._Например, при наличии операции 2i присутствуют операции 23, 25, ..., а также операции 2_1, 2-з, ._При четном k операция (2q)k представляет собой трансляцию-У—t.В частном случае # = 0 отражение со скольжением вырождается в зеркальное отражение т. Операции _(2q)h и (V)*l идентичны, если qk = q'k' и k'—k = 2L Так, (2,) 4 =(2 2 )J, (2 ! ) 5 =(2 5 ) 1 .Чтобы конкретизировать характер операции 2д, ее можно обозначить aqt или bq, или Сд, если трансляция t направлена вдоль осиX, или У, или Z, или же nq, если она направлена вдоль объемнойили граневой диагонали ячейки.
Анализ показывает, что рассматривать другие направления сдвига нет необходимости. Однако придиагональном направлении скольжения эта операция может реализоваться в варианте, обозначаемом dq (характер этого преобразования ясен из раздела 5.1 и рис. 5.1.6, б).Таким образом, многообразие открытых операций симметрии исчерпывается винтовыми поворотами и отражениями со скольжением.Открытые элементы симметрии подобно закрытым можно трактовать как циклические группы соответствующих операций. Но вотличие от закрытых элементов симметрии эти группы являютсябесконечными — они содержат бесчисленное множество операций.Так, ось трансляций содержит в себе сдвиги на величину векторов...
—2t, —t, 0, t, 2t,...; ось 4i содержит операции... 4г2, 4Г1,4i°=l, 4Д 4!2 ...Как уже отмечалось выше, в конкретных задачах обычно приходится сталкиваться только с осями nQ, для которых 0<Q</z.Чтобы обосновать последнее утверждение, обратимся к группамвида PcnQ, где 0<Q<n, которые описывают симметрию одномерных периодических фигур. Такая группа содержит в качестве подгруппы винтовую ось UQ и одномерную группу трансляций Рс (индекс с указывает на одномерность группы).
При Q = l группа Рсп\тождественно равна группе п\, так как последняя уже содержитв себе соответствующую систему трансляций.Нетрудно установить, что всякая ось nq с любым положительным или отрицательным значением q является подгруппой соответствующей группы PcnQ. Например, Зз^^с30, 34ePc3i, 35^Р с 3 2 ит. д.(см. рис.
5.1.2). Вместе с тем ось nq с q=^=0 может существоватьлишь как подгруппа одной из групп PC^Q (в частности, группып\ и Рсп\ совпадают). Пусть, например, {Mt} — это совокупностьточек, получаемых из исходной точки операциями оси 82 (рис. 5.6.1).К этой совокупности нужно добавить точки {Ni}t связанные сточками {М^ трансляцией t. Полученная система эквивалентныхпозиций {Mi} + {N,-} отвечает симметрии Р^. Если же рассмотреть совокупность точек {Mi}, игнорируя точки {Л//}{, то фактичес187кая симметрия будет отвечать группе Pc3i, причем кратчайшаятрансляция окажется равной 2t.
Следовательно, группа 32 существует лишь в составе группы РС32, а взятая сама по себе реализоваться не может. Аналогично, оси 33, 36, 39 ... обнаруживаютсятолько в фигурах с симметрией РС30 (или просто Л-3), оси 34, 37,Зю ... — только в фигурах с симметрией РС3Ь оси 35, 38, 3ц ... —только в фигурах с симметрией РС32 (см. рис. 5.1.2).-^Рис. 5.6.1. Группа 32является подгруппойгруппы РС32Итак, вместо винтовых «осей UQ практиче-ски более целесообразно рассматривать груп-пы вида PcnQ, которые, за исключением случая Q = l, когда nQ = PcriQ, не являются циклическими. Обычно, говоря о винтовых осях,мы имеем в виду именно эти группы, которые называются дополненными винтовымиосями (в частности, группа Рсп0, или простоРсп, представляет собой дополненную поворотную ось).
Однако для краткости слово«дополненная» часто бывает опущено и используется общепринятое в кристаллографической литературе обозначение Пр.Плоскость скользящего отражения — этоциклическа_я группа,_ содержащая операции... (2„)-1, (2,)°=1, (2,) 1 , (2,) 2 ... Как и длявинтовых осей, нет практической надобностииспользовать всевозможные циклические группы 2</. ^Достаточно ввести в рассмотрение группы P c 2i и РС20 (рис. 5.1.5).
Первая_из этихгрупп тождественно равна группе 2 Ь содержащей одномернуюподгруппутрансляций;вторая включает в себя зеркальное отражение m и одномерную подгруппу трансляций, параллельных плоскости отражения. Все циклические группы 2q с нечетным q являются подгруппами группы Рс2ь а циклические группы 2q с четным q — подгруппами группы РС20, причем_ группы 2? с <7^0, 1 могут существоватьлишь в составе групп Pc2i и РС20.Группу РС20 можно также обозначить Рспг или, чтобы показать•ориентацию плоскости m относительно трансляции, P c ( y)llw.Здесь индекс У указывает направление оси трансляции.
Три последующих символа соответствуют трем осям координат, причем плоскость m считается перпендикулярной оси Z. Эта группа представ-ляет собой дополненную плоскость зеркального отражения (см.рис. 5.1.5, б). Аналогично, пользуясь буквенными символами, группу РА можно обозначить, например, как Р С (г)Ь, если скольжениенаправлено вдоль оси У, или как Р С (у)ПЬ, чтобы показать,кроме того, что плоскость скользящего отражения перпендикулярна оси Z.Л 88Перейдем теперь к умножению открытых симметрических операций. Рассмотрим последовательное действие на точку с радиусвектором г двух открытых операций с матрицами А(\) и Л(2) (матрица Л соответствует повороту п или повороту с инверсией 2) исдвигами T(i) и Т(2> Под действием первой операции вектор г преобразуется в вектор Г1=Л ( 1)Г+Т(1).
Под действием второй операциивекторFIпереходит в векторг2 = Л(2)Г1 + Т( 2 )=Л( 2) Л(1)Г++ Л (2) Т(1) + Т(2). Таким образом, в общем случае произведением двухоткрытых операций будет также открытая операция, вращательная часть которой (возможно, включающая инверсию) описывается матрицей Л(3)=Л(2)Л(1), а поступательная — вектором т(3) == ^(2)T(i) + T(2). В частном случае, когда Т(3) = 0, результатом умножения будет закрытая операция.Аналогичным способом, положив Т(о = 0 или т< 2 ) = 0, нетруднополучить произведение открытой и закрытой операции.Пользуясь описанной схемой умножения операций, можно рассмотреть сочетания элементов симметрии (как открытых, так и закрытых), сосуществующих в той или иной группе симметрии. Остановимся на некоторых конкретных случаях, представляющихособый интерес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
