М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Начнем с комбинации поворотной, винтовой илиинверсионной оси с трансляцией t H , направленной вдоль этой оси.Очевидно, что поворотные и винтовые оси превращаются при этомв соответствующие дополненные оси PcnQ. В случае инверсионныхосей мы также приходим к дополненным осям Рсп, но здесь нужнообратить внимание на расположение особых точек.Будем обозначать поворот вокруг оси L с инверсией в точке Осимволом пь(0).
Докажем, что произведение nL(Oo) и трансляцииt L вдоль оси L равно nL(O\), причем вектор 000i равен tL/2.Пусть в результате последовательного проведения операций/*Л/х2\пь(Оо) и tL вектор r^l угпреобразуется в вектор г 2 =Ч у2 I-Будем для определенности считать, что ось L совпадает с осью Z.г\\у2I, где Л — матрица операции nz(00).(Перенесем начало координат в точку 0\, отстоящую от точки 00на tz/2. Относительно этого нового начала= (У2- Очевидно, что А\у^-Iу2, -Zi + fz/2/\2i-fz/2/ \—zl + tz/2/Таким образом, поворот с инверсией nL(0\) позволяет преобразовать вектор FI в вектор г2, что и требовалось доказать.189Отсюда следует, что в дополненных осях Рсп особые точки отстоят друг от друга на половину трансляции, направленной вдольинверсионной оси, как это и было показано на рис. 5.2.1.Теперь рассмотрим сочетание поворотной, инверсионной иливинтовой оси с перпендикулярной к ней трансляцией tj_.
Обозначим рассматриваемую ось символом LQ, а соответствующую ейсимметрическуюоперацию —символом go. Пусть под действием этой оси, проходящей черезточку 00 перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 5.6.2), точкаМ преобразуется в точку N , которая, возможно, уже не лежит вплоскости чертежа. Затем в результате транрляции IJL точка Nпереходит в точку Р. Докажем,Рис. 5.6.2. Действие перпендикулярной чт° произведение операции g0 итрансляции на поворотную, винтовуюили инверсионную (зеркально-поворотную) ось — к доказательству общейтеоремыгтрансляции t± равно операции g"i,которая отличается~ьищь тем'от операцииQ QHaОС у Ще ств-/ляется относительно оси L b проходящей через точку QI параллельно оси L0.
Требуется также указать способ определения местоположения точки 0\.Вектор ГР, соединяющий точку О0 с точкой Р, можно выразитьчерез вектор гм, соединяющий точку 00 с точкой М, следующимобразом:(1)где А — матрица, соответствующая операции g0. При выполненииоперации gi вектор 0\М преобразуется в вектор Oi Р„ 'Эти два вектора равны соответственно гм — R и ТР — R, где R-=O 0 O! — вектор,определяющий смещение оси L\ относительно оси LQ. Если отложить векторы гм — R и ГР — R от начала координат 00, то первыйиз них должен преобразовываться во второй операцией go.
Следовательно,ГР— К=Л(г м — К)+т„.(2)Отсюда, используя очевидное соотношение А(т\ — Г2)=Лг1 — Лг 2 ,можно найти второе выражение для вектора ГР:(3)Приравнивая правые части равенств (1) и (3), получими.(4)Будем считать, что трансляция tj_ направлена вдоль оси Xf aматрица А соответствует повороту вокруг оси Z (для поворотнойи винтовой оси). Тогда190Rx\ —(RY)\—81Пф \ /Rx\ __ I tx\где Rx и RY — составляющие вектора R. Из равенства (5) получим систему уравнений:( Rx— /?хсо8ф — R Y s t o y = tx,~\ RY + Rx 81Пф—/?уС08ф =0.Решая эту систему, находим(7)Существование решения доказывает исходное утверждение.
Значения Rx и RY фиксируют положение точки О\. Еще более наглядно положение этой точки определяется углом б, который равен 90°—ф/2.Если операция go — это поворот с инверсией, то матрица Аимеет другой вид, и вместо уравнения (5) мы получимRY)\ 8Шф —созф / \RY/Отсюда вытекает система уравнений\ ОГ|#х+ЯхС08ф+ЯувШф=^Х/дчI RY— /? Х 8Шф + Яус08ф=0.В качестве решения системы (9) получимПроведенные выкладки фактически представляют собой доказательство теоремы, сформулированной в разделе 5.2.
Посколькурешение (10) дает для поворота с инверсией б = ф/2, при наличииперпендикулярной трансляции инверсионная ось 3 смещается вцентр шестиугольника, а инверсионная ось 6 — в центр треугольника, построенного на трансляции. Для единообразия и удобстваформулировки общей теоремы мы переходим к зеркально-поворотным осям (3 = 5б, 6 = 5з). Тогда во всех случаях смещение оси L\относительно оси LO определяется углом 6 = 90°—ф/2.В заключение обратимся к сочетаниям перпендикулярной и параллельной трансляций с плоскостями скользящего отражения.Поскольку такой плоскости соответствует операция 2ь трансляция1, перпендикулярная к данной плоскости, смещает последнюю наt/2 (см. рис.
5.2.2). Параллельная трансляция всегда содержится вплоскости скользящего отражения, и, следовательно, эта плоскостьобязательно является дополненной. Поэтому представляет интереслишь такое сочетание плоскости скользящего отражения с параллельной трансляцией, при котором трансляция t непараллельна.вектору ъ, определяющему направление и величину скольжения. .Втаком случае получается дважды дополненная плоскость скользя<щего отражения, обозначаемая Р/2ь Индекс / указывает на нали191чие двумерной группы трансляций, т. е. двумерной решетки (см.раздел 6.1). Эту группу можно также обозначить, например, какA(z)H6, полагая, что двумерная решетка и плоскость скользящегоотражения совпадают с плоскостью XY и скольжение происходитБДоль оси У.Теперь перейдем к вопросу о путях вывода федоровских групп.Прежде всего отметим, что пространственная группа может бытьзадана двумя существенно различными способами.
Первый изних, называемый геометрическим, заключается в том, что группазадается своими «порождающими» элементами симметрии. Этимнаглядным подходом, принятым в кристаллографии, мы и пользовались выше. Возможен, однако, и второй способ, названный арифметическим, в котором группа задается набором операций (движений), выбранных по определенным правилам. Остановимся сначала на тех методах вывода федоровских групп, в которых используется геометрический подход, затем охарактеризуем возможности арифметического подхода.Геометрический способ описания пространственных групп использовался Е.
С. Федоровым и А. Шенфлисом, которые, как ужебыло отмечено, первыми осуществили их полный вывод. Основойметода Федорова являются алгебраические уравнения, которыепозволяют находить координаты точек, входящих в одну системуэквивалентных позиций (Федоров называл такие системы правильными). В этих уравнениях главные члены одинаковы для всехправильных систем, соответствующих одной и той же точечнойгруппе, добавочные члены характеризуют различия в переносах(сдвигах). По некоторым особенностям вывода федоровские группы подразделяются на три типа: 1) симморфные, которые не содержат винтовых осей и плоскостей скользящего отражения (обэтих группах говорилось в разделе 5.4), 2) гемисимморфные, которые не содержат винтовых осей, но обязательно включают в себя плоскости скользящего отражения, 3) асимморфные, содержащие винтовые оси. Шенфлис, как .и Федоров, выводил пространственные группы путем присоединения системы переносов к точечным группам; при этом он учитывал типы решеток, возможныев каждом конкретном случае.
Важным преимуществом работыШенфлиса является то, что она содержит доказательство фундаментальной теоремы о наличии во всякой правильной системетрехмерной группы трансляций. Федоров принимал это утверждение в качестве постулата.Следует упомянуть еще так называемый «классный» метод вывода пространственных групп, предложенный в 1951 г. Н. В.
Беловым. В этом методе, удобном для учебных целей, «генераторами»федоровских групп являются 14 типов Бравэ, причем рассматриваются сочетания различных решеток с закрытыми и открытыми плоскостями симметрии.В книге А. В. Шубникова и В. А. Копцика (см. список рекомендованной литературы) описан метод вывода федоровских группс использованием теории расширения. Здесь рассматриваются рас192ширения групп трансляций с помощью точечных кристаллографических групп G и групп G r , изоморфных им по модулю; эти расширения получаются как произведения групп различного типа 1.Этот метод имеет принципиальное преимущество — на основе подобных расширений выводятся не только федоровские ,группы, нои ряд других групп, о которых говорится в разделе 6.3.Арифметический способ задания федоровской группы используется в матрично-векторном методе вывода, который был предложен Г. Цассенхаузом в 1948 г.
и реализован Р. В. Галиулиным в1969 г. В арифметическом подходе каждая операция группы задается поворотом А (этот поворот может включать или не включать в себя инверсию) и переносом а, определенными относительнобазисного репера Е подгруппы трансляций Т. Совокупность этихдвижений обозначается символом (А, о), где А — целочисленнаяматрица. Совокупность таких матриц представляет собой кристаллографическую точечную группу F.
Федоровская группа полностьюзадается набором операций, поворотные части которых полностьюопределяют группу F (порождающие операции).Пусть задана некоторая группа F целочисленных матриц А\9А2, ..., Ant соответствующая ей по симметрии решетка Т и некоторый базисный репер Е, по отношению к которому матрица А описывает преобразования этой решетки в себя. Для любых F и Е существует одна или несколько федоровских групп, в том числе симморфная группа, в которой ai = a 2 = ... =о п . При наличии ненулевых переносов а необходимым и достаточным условием того, чтобы набор векторов Оь 02, ..., an соответствовал федоровской группес заданными F и , является выполнение совокупности условийЛ/о/4-a/ = o// + t, где о// — сдвиг, соответствующий произведениюопераций lAit о/) и (Л/, о/), t — трансляция из группы Т. Последнее утверждение дает основу для последовательного вывода пространственных групп, который может быть автоматизирован и даже проведен на ЭВМ.
В результате получается 303 группы, средикоторых нет таких, которые различаются лишь выбором началакоординат, но есть группы, которые с кристаллографической точкизрения эквивалентны, поскольку становятся идентичными припереименовании осей координат. Если исключить повторы такогорода, получается 219 неизоморфных федоровских групп. С учетомтого, что 11 из них существуют в виде двух энантиомерных форм,в конечном итоге получается 230 групп, найденных Е.
С. Федоровым.1К сожалению, сущность этого метода затруднительно разъяснить в рамкахиспользованной выше терминологии. Читателей, интересующихся данным вопросом, мы отсылаем к цитируемой книге А. В. Шубникова и В А. Копцика.Глава 6,РАСШИРЕНИЕ И УГЛУБЛЕНИЕПОНЯТИЯ СИММЕТРИИ6.1. ГРУППЫ СИММЕТРИИ ОБЪЕКТОВ РАЗЛИЧНОЙРАЗМЕРНОСТИ. ПЛОСКИЕ ГРУППЫ.СИММЕТРИЯ ЦЕПЕЙ И СЛОЕВВыше мы в основном имели дело только с двумя типами объектов: с трехмерными непериодическими фигурами (в частности,с молекулами) и с трехмерными фигурами, периодичными по всемтрем измерениям (с моделями идеальных кристаллических структур). Для описания их симметрии использовались соответственноточечные и пространственные (федоровские) группы. Однако нередко приходится рассматривать объекты иного типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
