М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 32

е. одна из них содержит сдвиг вдоль осиZ, то возникает винтовая ось (рис. 5.3.2, б аналогично рис. 5.3.1, б).4. Плоскости симметричности пересекаются под углом 45°. Появляются поворотные или винтовые оси четвертого порядка, смещенные (или несмещенные) относительно линии пересечения плоскостей. Два из возможных случаев представлены на рис. 5.3.2, в, г.вающие высоту этого элемента симметрии в долях кратчайшей трансляции повертикальной оси. См. также подпись к рис. 5.2.7.168i.т~\Рис. 5 3 3 Сочетания осей симметричности второго порядка с плоскостямисимметричности:а — ось 2 4 и плоскость Ь пересекаются под прямым углом; б — ось 2i иплоскость с пересекаются под прямым углом; в — ось 2 и плоскость спересекаются под углом 30° (нормаль к плоскости образует с осью 2угол 60°); г — ось 2i и плоскость п пересекаются под углом 60° (нормальк плоскости образует с осью 2 А угол 30°)aSРис.

5.3.4. Сочетания осей п-го порядка с перпендикулярными осями 2:а — ось 4i; б — ось 45. На рис. 5.3.3 показаны некоторые сочетания оси симметричности второго порядка с плоскостью симметричности. Возникающеерасположение элементов симметрии определяется теоремой 3.6. На рис. 5.3.4 изображены комбинации элементов симметрии,о которых говорится в теоремах 4 и 5.Сказанное не исчерпывает многообразия возможных ситуаций — мы рассмотрели лишь наиболее важные случаи. Общий метод, который позволяет рассмотреть любое сочетание открытых изакрытых элементов симметрии, описан в разделе 5.6 и заключается в следующем: перемножая операции, входящие в комбинируемые элементы симметрии, можно найти операции, а следовательно,и элементы симметрии, к которым приводит данное сочетание.Нужно, однако, иметь в виду, что реализуемы отнюдь не любыекомбинации и относительные ориентации элементов симметрии.5.4.

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И П Р И М Е Р ЫПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПППространственной группой симметрии называется совокупностьсимметрических операций, присущих той или иной идеальной кристаллической структуре. В принципе пространственную группу можно определить шире — как группу симметрии всякой фигуры, периодической в трех измерениях. Однако кристаллические структуры, по-видимому, единственный тип природных объектов, симмет- vрия которых описывается такими группами.Поскольку для кристалла характерно решетчатое расположениеатомов, всякая пространственная группа содержит в качестве подгруппы трехмерную группу трансляций, относящуюся к одному изтипов Бравэ.

Наряду с этим в нее, вообще говоря, входят и другиезакрытые и открытые операции симметрии.Значительную часть пространственных групп можно получитьследующим способом. Пусть симметрия позиции для некоторой точки О пространства описывается кристаллографической точечнойгруппой 5; иными словами, в точке О пересекаются элементы симметрии, входящие в группу 5. Эта группа относится к определенной сингонии. Совместим с точкой О начало координат решетки, соответствующей данной сингонии, и размножим точку О, а вместе сней и элементы симметрии, через нее проходящие, с помощью группы трансляций. Учтем также те результаты, к которым приводитсочетание элементов симметрии с трансляциями (раздел 5.2). Витоге получится геометрический образ одной из пространственныхгрупп.Фактически такая процедура уже была в ряде случаев проделана.

Так, размножая оси 3, 4, 6 перпендикулярными трансляциями, мы получили расположения, показанные на рис. 5.2.3, б, в, г.Если подразумевать наличие трехмерной решетки, то эти рисункиизображают проекции трех пространственных групп, обозначаемыхРЗ, Р4 и Р&. Сходные группы с инверсионными осями изображены на рис. 5.2.5. Особенность пространственных групп, представ-иfih- --ti(ПI 1ЯеРис. 5 4 1 . Симморфпые пространственные группыa — группа PI; б — группа Р2\ в~г — группа Р2/т в двух проекциях; д — группа Рттт; е — группа Р62т.ленных на рис. 5.2.6, 5.2.7 и 5.2.8, а, заключается в том, что здесьисходная точечная группа комбинируется с непримитивной решеткой. Ячейка, соответствующая такой решетке, содержит наклонные трансляции; поэтому кроме поворотных осей появляютсячередующиеся с ними винтовые (в случае рис.

5.2.8, а наряду с зеркальными плоскостями — плоскости скользящего отражения).Геометрический образ пространственной группы позволяет получить полное представление о входящих в нее симметрическихоперациях. Число этих операций всегда бесконечно, т. е. все пространственные группы имеют бесконечный порядок. Однако еслиограничиться одной элементарной ячейкой, то можно для каждойциклической подгруппы указать операцию, представляющую собойпервую степень; это будет соответствовать перечню элементов симметрии, входящих в данную группу.Группы, получаемые описанным путем, т.

е. добавлением трехмерной решетки к кристаллографическим точечным группам, называются симморфными. Таких групп существует 73. Символ симморфной группы состоит из символа решетки (примитивной илинепримитивной) и символа соответствующей точечной группы. Нарис. 5.4.1 приведены дополнительные примеры симморфных групп.Несимморфные пространственные группы получаются при частичной или полной замене закрытых элементов симметрии, входящих в симморфные группы, на сходственные открытые, имеющиету же ориентацию относительно осей координат. Так, из симморфной группы Р2/т (рис. 5.4.1, в, г) можно получить несимморфныегруппы Р211т, Р2/а, Р2г/а (рис. 5.4.2).Рис.

5 4 2 . Моноклинные несимморфныепространственные группы:а — группа P2i/m; б — группа Р2/а; в — группа P2i/aВсего существует 230 пространственных групп симметрии. Впервые их вывел в 1890 г. Е. С. Федоров (несколько позже к'тому жерезультату пришел А. Шенфлис). По имени великого русскогокристаллографа эти группы часто называют федоровскими. Полныйперечень пространственных групп с их характеристиками и изображениями имеется в так называемых Интернациональных таблицах, описание которых дано в разделе 5.5, а также в книгеГ. Б. Бокия (см. список рекомендованной литературы).172При изображении пространственных групп чаще всего используется расположение координатных осей, показанное нарис.

5.4.1, в, д и рис. 5.4.2. На плоскости чертежа ось Y располагается горизонтально, ось X — вертикально, если решетка ортогональна, или под соответствующим углом к оси У в случае косоугольной решетки. Ось Z считается направленной перпендикулярнок плоскости чертежа (естественно, за исключением триклиннойсингонии, где ось, не лежащая в плоскости чертежа, образует с последней непрямой угол, рис. 5.4.1, а). Если на рисунке пространственной группы оси координат не обозначены, то предполагается,что они расположены именно таким способом.

Вместе с тем, разумеется, допустимы и при необходимости используются и другиеориентации осей координат (см., например, рис. 5.4.1, г, где осьУ расположена наклонно по отношению к плоскости чертежа). Длягексагональной сингонии типично размещение координатных осей,показанное на рис. 5.4.1, е.Каждая кристаллографическая точечная группа характеризуется определенной симметрией решетки (см. табл. 9) и соответствующей кристаллографической системой координат. Эту координатную систему, а следовательно, и принадлежность к соответствующей сингонии сохраняет и пространственная группа, генетическисвязанная с данной точечной группой.

Что же касается правил,определяющих взаимосвязь координатных осей и символа пространственной группы, то они вполне аналогичны правилам, действующим для точечных групп.Например, несимморфную группу Стса можно получить добавлением базоцентрированной решетки С к точечной группеттт с заменой части плоскостей зеркального отражения на плоскости скользящего отражения. Эта группа, как и * группа ттт,относится к ортогональной сингонии с ортогональной системой координат. Три позиции в символе ттт и в соответствующей частисимвола пространственной группы тса отвечают осям X, У, Z. Согласно этому на рис.

5.4.3, б, где изображена проекция группыCftica, перпендикулярно оси X располагается плоскость т, перпендикулярно оси У — плоскость с, перпендикулярно оси Z — плоскость а. Кроме того, благодаря непримитивности решетки здесьприсутствуют плоскости 6, чередующиеся с плоскостями га, и плоскости п, чередующиеся с плоскостями с. Наличие трансляции, центрирующей грань ХУ, вызывает еще,одно примечательное следствие: плоскость а, перпендикулярная оси Z, здесь в то же времяявляется плоскостью Ь.Приведенный пример указывает на неоднозначность той символики пространственных групп, которая была использована выше(подобно соответствующей символике точечных групп эта символика называется международной).

Так, группу Стса можно обозначить Cbca, Cmna) Cmnb, Cbna и другими способами. Нсодно•'значность подобных обозначений увеличивается, если /допуститьвозможность переименования осей координат. Например, если поменять местами наименования осей X и Z, то рассматриваемую173группу можно обозначить символами Abam, Acnb и т. д. Важно,однако, подчеркнуть, что международный символ, как бы он нибыл записан, вполне определенно описывает характер и относительное расположение элементов симметрии, входящих в даннуюпространственную группу. Именно это обстоятельство обусловливает широкое употребление международной символики.