М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В следующем разделе будут рассмотрены два специфическихсвойства кристаллов — пироэффект и пьезоэффскт, которые описываются тензорами первого и третьего ранга соответственно.Настоящий раздел посвящен в основном тензорам второго ранга.Для таких тензоров уравнения типа (1) в более общем и болеекомпактном виде записывают следующим образом:Л=TV/,(/----I, 2, 3).(3)/=1Обычно знак суммирования опускают, подразумевая (по Эйнштейну), что если в данном члене индекс повторяется дважды, то осуществляется суммирование по этому индексу:pi = Tiiq, (i, / = 1 , 2, 3).(4)В выражениях такого типа / называется свободным индексом,а / — индексом суммирования. Используя в качестве свободногоиндекса k, а в качестве индекса суммирования /, можем записать:pk^Tuqt.(Л, / = 1 , 2, 3).(5)Это уравнение потребуется ниже.Конкретные значения компонентов Тц, например тензора электропроводности ( 2 ) , зависят от выбора осей координат.
Найдемправило, по которому преобразуются компоненты тензора при изменении системы координат.Пусть от осей Х\, Х2, Х3 мы переходим к новой системе координат Х\\ Х2\ АЗ'. Как было показано в разделе 2.2, такое преобразование можно осуществить с помощью матрицы С с элементами Cik. Векторы р и q в повой системе имеют составляющие р/ иq/, причемpi'=dhPk, qi=cihqfk.(6)Напомним, что здесь подразумевается суммирование по индексуk.
Для обратных преобразований справедливы формулыpi = ckipb, qi = ckiqk138(7)Переходя к другим индексам, последнюю формулу можно записать в видеqi = cliqj'.(8)Комбинируя ( 6 ) , (5) и ( 8 ) , получимPi' = c^pk = CuJkiqi = dkTkiCjiQi'.Поскольку pi' = Tij'qj', окончательно имеем7У = с, А с„Г А ; .(9)(10Таким образом, при изменении системы координат девять компонентов l\i преобразуются в девять компонентов 7V и уравнение(10) представляет собой правило преобразования тензора второгоранга. Для ясности выпишем это уравнение в развернутом виде:Ti/ = d\Cj\T\\ -i- С i\C jzT 12 -{- СПС^Т \3-f-Ci2CjiT 21 -f+ Ci2Ci2T22 + С12С}ъТ2ь + CftCj i Г31 + СяС}2Тю ++ ^-з^з7"зз.(И)Обратим внимание на то, что тензор первого ранга, т.
е. вектор, преобразуется так же, как преобразуются координаты точкиjfi, х2, Хз. Действительно, Xi' — clkXk, что вполне подобно уравнениям (6). Аналогично, закон преобразования тензора второго рангасовпадает с законом преобразования произведения координат:Xij' = cikCjtxkxi.(12Здесь, однако, необходимо сделать существенную оговорку:записав правую часть уравнения (12) в развернутом виде, можнопривести подобные члены с /е^/, например,Соответствующая группировка членов в уравнении (11) возможнатолько при выполнении условия Tki — Tik, т. е. если тензор Т симметричен 1.Тензоры, описывающие физические свойства, как правило, симметричны. В частности, симметричны тензоры всех тех свойств,которые мы упоминали в настоящем разделе.
Но в общем случаенужно сказать, что произведения координат преобразуются подобно компонентам тензора при условии, что группировка подобныхчленов не произведена, т. с. учтено различие х\х2 и х2х\, и т. д.Аналогия в преобразованиях компонентов тензора и произведений координат распространяется и на тензоры более высокогоранга, что будет использовано нами в следующем разделе.Теперь перейдем к геометрической интерпретации симметричного тензора второго ранга. Рассмотрим уравнениеl(k, / = 1 , 2, 3).(131Заметим, что симметричный тензор остается таковым и при изменении системы координат, т е.
если Tn — Tj^ то T'ij = T r j i .139Проведя суммирование по k и по / и объединив подобные члены,получим22 + 53з*32 "+" 2S23*2*3 +l.(14Мы пришли к общему_уравнению поверхности второго порядкас центром в начале координат, которая в общем' случае представляет собой эллипсоид или гиперболоид.С помощью очевидных соотношений Xk = CikXi' и */ = с//*/' можем преобразовать уравнение (13) к новым осям координат:CjiXi'xj' = l.(15Поскольку справедливо равенство 5//*/*/' = 1, из (15) вытекаетSii^CikdiSu.(16Уравнение (16) вполне аналогично уравнению преобразованиятензора второго ранга (10).
Следовательно, коэффициенты поверхности второго порядка (14) преобразуются подобно компонентам симметричного тензора второго ранга. Поэтому поверхность (14) называется характеристической поверхностью такоготензора. Можно считать, что коэффициенты 5»/ в уравнениях(13) — (16) являются компонентами симметричного тензора второго ранга 5.Поверхности второго порядка в общем случае имеют симметрию mmm и, следовательно, обладают тремя взаимно перпендикулярными особыми направлениями, называемыми главными осями. Если выбрать эти оси в качестве координатных, то уравнениеповерхности второго порядка упрощается:l.(17Соответственно тензор 5 преобразуется к видуг О ОО 52 О0 О S3JЧисла Si, 52, 53 называются главными компонентами тензора илисвойства, к которому он относится.Приведение тензора к главным осям позволяет упростить описание данного свойства. Уравнение (4) заменяется на уравнениеpi = SLqi или pi = Tiqi.(18)В частности, для электропроводности вместо (1) можно записать/I = QI I, /2 = 0^2, /з = аз з(19Сравнение уравнения (17) с каноническим уравнением поверхности второго порядкаj 2 .+J{L— =12 +a140hс*(20)*показывает^что-лзолуоси характеристической поверхности имеютдлину l/KSj, 1/V~SZJ 1/VS3.
Если величины S b S2, S3 положительны, то поверхность (17) представляет собой эллипсоид; еслиодна из них отрицательна, поверхность (17) является однополостным гиперболоидом; если отрицательны два главных компонента, поверхность (17) — это двуполостный гиперболоид (рис.4.1.1). Если отрицательны все трикоэффициента, то поверхностьесть мнимый эллипсоид.Главные компоненты тензораэлектропроводности всегда положительны;характеристическаяповерхность электропроводностиимеет вид эллипсоида (мы не говорим здесь о сверхпроводниках).Главные значения магнитной восприимчивости бывают как поло-Рис. 4.1.1.
Характеристические поверхности тензора второго ранга S:а — эллипсоид, б — однополостный гиперболоид, в — двуполостный гиперболоиджительными, так и отрицательными; в первом случае кристаллназывают парамагнитным, а во втором случае — диамагнитным.Известны кристаллы, которые парамагнитны вдоль одной оси идиамагнитны вдоль другой. Главные компоненты тензора теплового расширения а чаще всего положительны. Однако встречаются" исключения. Гексагональные кристаллы кальцита при нагревании расширяются вдоль оси третьего порядка (аз>0) и сжимаются по направлениям, лежащим в перпендикулярной плоскости(ai = a2<0).
Характеристическая поверхность в этом случае представляет собой двуполостный гиперболоид вращения. Асимптотический конус гиперболоида представляет собой семейство направлений, для которых коэффициент теплового расширения равеннулю.Если симметричный тензор второго ранга приведен к главнымосям, число его независимых компонентов в общем случае уменьшается до трех. Но число независимых параметров, описывающихсоответствующее свойство, все равно остается равным шести, таккак для определения ориентации характеристической поверхностинужно задать три угла между главными осями и соответствующими осями координат кристалла (углы О ь 02, Фз).С повышением симметрии кристалла число независимых параметров уменьшается, поскольку симметрия накладывает ограничения на форму и ориентацию характеристической поверхности.Зависимость числа независимых параметров, формы и ориентации141характеристической поверхности (для случая эллипсоида) отпринадлежности кристалла к той или иной сингонии представлена в табл.
11. Эта зависимость регламентируется принципом Неймана, согласно которому точечная группа, описывающая симметрию любого макроскопического свойства кристалла, включаетв себя точечную группу кристалла в качестве подгруппы. Инымисловами, симметрия свойства может быть выше симметрии кристалла, может быть равна ей, но не может быть ниже.Т а б л и ц а 11Зависимость параметров, формы и ориентации характеристическойповерхности от симметрии кристаллаСингонияТриклиннаяМоноклиннаяОртогональнаяСингонии среднейкатегорииКубическаяОграничение, накладываемые на параметры__Независимыепараметры«bi>02»^3#1,Я*,#3Ф 8 = 0 , $! = $ 2Si, 02, 0 3 , l/i0Х = 0 2 = #з =-.
0Si , S2 , S3#3 - 0, 5 Х -- S2Si, 53Si = S 2 = S3SФорма и ориентация характеристической поверхности(случай эллипсоида)произвольно ориентированный эллипсоидэллипсоид, одна из осейкоторого совмещена с осьюZ кристаллаэллипсоид, оси которогосовгещены с кристаллографическими осямиэллипсоид вращения, осьвращения которого совмещена с осью Z кристалласфераОстановимся еще на том, как с помощью тензоров и соответствующих им поверхностей можно охарактеризовать свойство в данном направлении. При этом снова обратимся к такому типичномусвойству, как электропроводность.Поле с напряженностью Е порождает в кристалле ток с плотностью j, причем вектор j, вообще говоря, содержит как составляющую /ц, параллельную Е, так и составляющую /±, перпендикулярную Е. Электропроводностью а в направлении Е называетсявеличина j\\/E.Пусть заданное направление определяется направляющими косинусами /ь /2, /з, которые являются компонентами единичноговектора 1.
Вектор Е, направленный вдоль 1, имеет составляющие/i , /2 , 1$Е. Согласно уравнениям (19) компоненты вектора jравны о\1\Е, 02/2^, o^lsE. Составляющая /„ равна сумме компонентов j, спроектированных на направление Е, т. е./ Il = /i 2 ai + /22a2 + /32a3 .(21Следовательно, удельная электропроводность в направлении 1равна(223.142В частном случае для кристаллов средней категорииo = oi sin 2 6 + аз cos2 б,(23где б — угол между 1 и главной осью симметрии.В более общем виде для тензора, записанногопроизвольных осей, нетрудно получитьа = <*/////.относительно(24Уравнение типа (24) справедливо и для несимметричного тензора.Рассмотрим в эллипсоиДе электропроводности радиус-вектор г,который соединяет центр эллипсоида с произвольной точкой поверхности, имеющей координаты xi ( i = l , 2, 3).
Уравнение эллипсоида имеет видOifXiXj=\.(25Подставляя в (25) очевидное выражение Xi = rli, где // — направляющие косинусы вектора г, находимг 2 а,//,// = 1,(26или, используя (24),or-1/r 2 и г =-\lV"a.(27С частным случаем последнего выражения мы уже встречались,говоря о полуосях характеристических поверхностей.Плоскости, касательной к эллипсоиду электропроводностив точке с координатами XL, отвечает уравнение\.Следовательно, нормаль к этой плоскостикосинусы, пропорциональные 1\о\, /2С>2, /заз,вектору j.Аналогичные формулы справедливы длясываемого симметричным тензором второгоS-1/r 2 , г =-l/)/S.(28)имеет направляющиет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
