М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Действием оси 2 (операцией С 2 ) из вектора '12 получается векторC2t2. Очевидно, что вектор t 2 —C 2 t 2 параллелен узловому ряду, определяемомувектором ti, и, следовательно, он может быть представлен в виде pti, где р —рцелое число. С другой стороны, t 2 — C 2 t 2 :=2t". Следовательно, т" = —-t^Нетрудно убедиться в том, что вектор t2 всегда можно выбрать так, что его про117екния на вектор t, будет меньше, чем tj. Тогда можно п р и н я т ь р = 0 или 1 В результате получаем две возможности: 1) t" = g 2) t" — \l/2.Соответствующиеячейки показаны на рис 3.41; первая из них примитивна, вторая — центрирована. Невозможно непрерывной деформацией координатного креста безпонижения его симметрии превра*тить одну из этих ячеек в другую,так как условие Y —90° должно сохраняться.Обратимся теперь к тетрагональной решетке симметрии0 4/mmm.
Поскольку и здесь у^ЭО , остаются всиле результаты, полученные для ортогональной решетки. Следовательно, достаточно рассмотреть два варианта:1) ячейкапримитивна.•,2) ячейка центрирована. Однако, какэто видно из рис. 3.4.6, во втором•случае можно выбрать другой инвафриантный координатный крест с тойРис. 3.4.7.
Переход от ортогональнойже симметрией, но приводящий кцентрированной узловой сетки к гекпримитивной, т. е. меньшей по плосагоыальной примитивнойщади ячейке. Таким образом, тетрагональная двумерная решетка можетбыть только примитивной.Нам остается рассмотреть гексагональную двумерную решетку симметрии6/ттт. Эта точечная группа содержит в качестве подгруппы группу mmm. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти частные соотношения параметров а' и Ь' ортогональной ячейки, при которых решетка приобретает симметрию6/mmm. Ясно, что примитивная ортогональная решетка не может иметь такуюсимметрию ни при каких значениях а' и Ъг.
Ортогональная центрированная решетка имеет симметрию 6/mmm тогда и только тогда, когда Ь' = а' У 3 (рис 3.4 7)Здесь можно выбрать примитивную ячейку, для которой а = Ь и y=\2Q°. Следовательно, все гексагональные двумерные решетки примитивны, т. е. относятся к одному типу.В конечном итоге мы пришли к пяти типам (рис. 3.4 1), которыми исчерпывается многообразие двумерных решеток.
Перейдем к трехмернымсистемамузлов__Симметрия решетки 1 (триклинная система). Поскольку при любых деформациях такой решетки ее симметрия не меняется, все триклинные решетки относятся к одному типу (ячейка примитивна).Симметрия решетки 2/т (моноклинная система). В узловой сетке, совпадающей с плоскостью т, выберем два базисных вектора t t и t2. Разложим третийбазисный вектор t3 на составляющую т', параллельную оси 2, и составляющуют", лежащую в плоскости т (1 3 =т'+т"). Вектор tg — C2t3 = 2т" лежит в плоскости т. Поэтому его можно представить в виде 2т" = pti + #t 2 .
Следовательно,РQt3 = t ' + — t i + — — t 2 . Нетрудно убедиться в том, что всегда найдется такойспособ выбора вектора 13, при котором его проекция т" кончается на границахили внутри параллелограмма,л построенного на векторах ti и to. Тогда можнопринять р--=0 или 1 и <7 = 0 " и 1. В итоге получим четыре возможности.2) t 8 =3)t.-T'4TU.4)t, = -Соответствующие ячейкк изображены на рис. 3.4 8.118При ближайшем рассмотрении оказывается, что третий и четвертый случаив моноклинной системе, по существу, не отличаются от второго Действительно,если в качестве первого базисного вектора принять t2, а в качестве второго —ti, то третий случай превратится во второй.
Если же в качестве первого, основного, вектора взять сумму ti + b, ко второму варианту сведется и четвертый случай.y\^s*iРис. 3.4.8. К выводу типов моноклинной решеткиВ первом случае ячейка примитивна (Р), во втором — ячейка базоцентрированная (В). Координатные векторы связаны с базисными следующими соотношениями:Р) a =ti, & = t 2> c=t 3 ;В) a=ti, b = t2, c=2t s —ti.При деформации моноклинного координатного креста без понижения его симметрии условие а = р = 90° должно сохраняться. Поэтому невозможно путем непрерывной деформации с сохранением голоэдрической симметрии К=2/т превратить одну из двух выделенных ячеек в другую.
Следовательно, существует два(типа решеток симметрии 2/т: моноклинная примитивная и моноклинная базоцентрированная.Симметрия решетки ттт (ортогональная система). Поскольку группа тттсодержит 2/т в качестве подгруппы, остается в силе результат, полученный длямоноклинной решетки: четыре возможных способа выбора вектора ts. Узловаясетка, содержащая векторы ti и iz и совпадающая с одной из плоскостей т,может быть: а) примитивной, б) центрированной.Рассмотрим сначала случай, когда в основании ячейки лежит примитивныйпрямоугольник, построенный на векторах ti и t2.
Первый способ выбора вектора13 дает примитивную ортогональную ячейку Р, второй и третий — приводят кбазоцентрированным ортогональным ячейкам В и Л, что соответствует одномутипу решетки (эти ячейки преобразуются друг в друга при переименовании векторов ti и t2), четвертый способ порождает объемноцентрированную ортогональную ячейку / (рис.
3.4.9). В ортогональной системе (в отличие от моноклинной)119решетки Р, В и / представляют собой три разных типа. Дсйствиюльно, при до-формации координатного креста без понижения его симметрии ттт можноменять только линейные параметры а, Ь, с, но такая деформация не позволяетсовместить какие-либо две из трех названных решеток.Обратимся теперь к узловой сетке с центрированной прямоугольной ячейкой.Выберем в ней векторы ti и t 2 так, как это показано на рис 3.4.9 Там же представлены четыре варианта выбора вектора t3 Первый из них дает базоцентрированную ячейку С.Такая решетка не отличаетсяпринципиально от решеток А иВ — все эти три решетки превращаются друг в друга при соответствующем переименовании коорt,динатных векторов.
Третий вариант приводит к гранецентрированной ячейке F, которая в ортогональной системе координат соответствует новому типу решетки.Наконец, второй и четвертый способы выбора вектора t3 в ортогональной системе с центрированной исходной узловой сеткой оказываются невозможными — онипорождают решетку, которая неимеет симметрии ттт.Таким образом, мы получиличетыре типа ортогональной решетки — Р, /, С (Л, В), F. Координатные векторы здесь связаны сбазисными следующими соотношениями:Р)/)a=ta =tС) a = tF)= t 2 , c = 2t3— ti-t2;= 2t2— ti, c=t s ;Симметрия решетки 4/ттт(тетрагональная система), 6/ттти 3m (гексагональная система).Вывод типов решеток средней категории фактически был дан приРис.
3.4.9. К выводу типов ортогональдоказательстве теоремы 3 из разной решетки. Показаны проекции ячеек.дела 3.2. Здесь получаются тетУзлы, расположенные на высоте С/2,рагональная примитивная, тетрагональнаяобъемноцентрированобозначены крестикаминая, гексагональная примитивнаяи гексагональная дважды объемноцентрированная (ромбоэдрическая) решетки. Более подробное описание этого вывода можно найти в книге П.
М. Зоркого и Н. Н. Афониной (см. списокрекомендованной литературы). Связь координатных векторов с базисными длятетрагональной системы та же, что и в случае ортогональных решеток; длягексагональной ^-решеткиСимметрия решетки m3m (кубическая система). Так как группа тЗт включает в себя группу ттт, задача сводится к выбору тех типов ячейки (из четырех возможных для ортогональной решетки), которые при а=Ь — с не противоречат кубической симметрии.
Таковыми оказываются ячейки Р, /, F. Следовательно, существует три типа кубической решетки: примитивная, объемноцентрированная и гранецентрированная.1203.5. РЕШЕТКА И СТРУКТУРА.ЧИСЛО Ф О Р М У Л Ь Н Ы Х Е Д И Н И Ц В Я Ч Е Й К ЕТеперь нужно связать сказанное выше о решетках с конкретными кристаллическими структурами. Пока мы еще не можемсделать этого в полной мере, поскольку решетка (группа трансляций Т) существует в кристалле не сама по себе, а лишь какподгруппа пространственной группы Ф, описывающей симметриюкристаллической структуры. Если группа Т полностью определяется узлами решетки, то группа Ф зависит, кроме того, от расположения всех атомов структуры, в том числе и тех, которые не находятся в узлах.
В результате группе Ф данной структуры в принципе может соответствовать голоэдрическая группа симметрии КФ9отличная от группы /(, которую мы нашли бы, рассматриваялишь расположение узлов без учета расположения всех атомов.Разумеется, группа /С содержит группу Кф в качестве подгруппы(в частном случае К^Кф), поскольку, «заселяя» решетку атомами, можно понизить симметрию или сохранить ее, но нельзя ееповысить. При этом группа Кф отвечает истинной симметрии решетки.
Если в группе Кф меньше элементов симметрии, чемв группе /С, последняя группа выражает лишь псевдосимметриюрешетки.Поясним сказанное на примере. Пусть элементарная ячейкаимеет форму куба, т. е. а = Ь = с, а = р = у = 90° (рис. 3.5.1). ЕслиРис. 3.5.1. Кубическая и псевдокубическая решетка:а — кристаллическая структура аполония; ячейка кубическая (примитивная); б — гипотетическая структура; ячейка псевдокубическая, а вдействительности — триклиннаяРис. 3.5.2. Кристаллические структуры:а — а-железа; б — CsClструктура содержит только атомы, располагающиеся в узлах решетки, как это имеет место в кристаллическом а-полонии, то решетка действительно кубическая.
Если же, кроме того, внутриячейки в произвольно выбранной точке располагается еще одинатом, такая гипотетическая структура уже не имеет кубическойсимметрии 1. Решетка оказывается псевдокубической и описыва1При поиске в этой структуре закрытых и открытых элементов симметрии(см. раздел 5.1), определяющих пространственную группу, выясняется, что здесь121ется голоэдрической группой 1 (7(0=1, хотя 7( = m3m), т.
е. на самом деле эта решетка — триклинная.Таким образом, соотношения между параметрами ячейки, приведенные в табл. 7, необходимы, но, строго говоря, не достаточныдля того, чтобы отнести данную решетку к той или иной голоэдрической группе Кф. Это можно сделать только, определив пространственную группу структуры.Вместе с тем равенство линейных параметров ячейки междусобой, а также равенство угловых параметров 90° или 120° маловероятно, если это равенство не диктуется симметрией и еслипараметры определены с достаточно высокой точностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
