А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации, страница 5

Отождествим H с подпространствомe Расширяя, если необходимо, пространство H,e можно считать, что dim He=H.dim H · d0 , и значитe = H ⊕ · · · ⊕ H = H ⊗ H0 ,H28Глава 2. СОСТАВНЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫгде H0 = Cd0 , причем H отождествляется с первым слагаемым в прямойсумме, или с подпространством H ⊗ |ψ0 i, где 1 0  |ψ0 i =  .  . .. 0Имеем для φ, ψ ∈ H:hφ|Mj |ψi = hφ ⊗ ψ0 |Ej |ψ ⊗ ψ0 i = hφ| TrH0 (I ⊗ |ψ0 ihψ0 |)Ej |ψi.¤Итак, всякую наблюдаемую можно реализовать в виде стандартной наблюдаемой в составной системе за счет добавления вспомогательной системы, находящейся в фиксированном чистом состоянии S0 = |ψ0 ihψ0 |. Такойспособ реализации естественно назвать квантовой рандомизацией.В классической статистике рандомизация, т.

е. использование внешнейслучайности (рулетки) при принятии решений, хотя и может оказаться полезным приемом (например, в теории игр), никогда не увеличивает информации о состоянии наблюдаемой системы. В разделе 4.2.2 мы покажем, чтов квантовой механике это уже не так: парадоксальным образом, квантоваярандомизация позволяет извлекать больше информации о наблюдаемой системе, нежели содержится в стандартных наблюдаемых, не использующихвспомогательной системы.2.3Разложение Шмидта и очищениеРассмотрим состояние S12 составной системы в гильбертовом пространствеH1 ⊗ H2 . Чистое состояние S12 называется сцепленным, если оно не представимо в виде тензорного произведения S1 ⊗ S2 .Таким образом, всякий единичный вектор |ψi12 ∈ H1 ⊗ H2 , которыйявляется нетривиальной суперпозицией векторов-произведений, порождаетчистое сцепленное состояние.

Примером является максимально сцепленноесостояние, которое порождается векторомd1 X 1|ψ12 i = √|ej i ⊗ |e2j id j=1(2.5)в пространстве H1 ⊗ H2 , где d = dim H1 = dim H2 , а {e1,2j } – ортонормированные базисы в H1,2 . Частичными состояниями в H1 , H2 являютсяхаотические состояния I/d.В квантовой теории информации часто используется следующий простой, но неожиданный результат2 :2 См., например, G. Lindblad, “Quantum entropy and quantum measurements,” Lect.Notes Phys. 378, Quantum Aspects of Optical Communication, Ed.

by C. Benjaballah, O.Hirota, S. Reynaud, 1991, 71-80.2.4. ПАРАДОКС ЭПР. НЕРАВЕНСТВО БЕЛЛА29Т е о р е м а 9[Разложение Шмидта].Пусть S12 = |ψihψ| – чистое состояние в гильбертовом пространстве H1 ⊗ H2 , и пусть S1 = TrH2 S12 ,S2 = TrH1 S12 – частичные состояния. Тогда S1 и S2 имеют одни и те жененулевые собственные значения λj . Более того,|ψi =Xpλj |e1j i ⊗ |e2j i,(2.6)jгде {e1,2j } – ортонормированные собственные векторы операторов S1 и S2соответственно.Доказательство.

Пусть {e1j } – ортонормированный базис в H1 из собственных векторов оператора S1 , тогда имеет место разложениеX(2.7)|ψi =|e1j i ⊗ |h2j i,jс некоторыми векторами |h2j i ∈ H2 . Вычисление частичного следа оператора |ψihψ| по H2 даетXj,khh2j |h2k i|e1k ihe1j | =Xλj |e1j ihe1j | ≡ S1 ,(2.8)jи поэтому hh2j |h2k i = λj δjk . Таким образом, полагая |e2j i = √1 |h2j i приλjλj > 0, получаем ортонормированную систему, которую можно дополнитьдо базиса в H2 , состоящего из собственных векторов оператора S2 .¤Имеет место следующее обращение предыдущего утверждения:Т е о р е м а 10[Очищение состояний].

Пусть S1 – состояние в H1 , тогданайдутся гильбертово пространство H2 той же размерности, что и H1 ,и чистое состояние |ψi ∈ H1 ⊗ H2 , такие, что S1 = TrH2 |ψihψ|.Для любого чистого состояния |ψ 0 i ∈ H1 ⊗ H2 , обладающего этим жесвойством, найдется унитарный оператор U2 в H2 , такой, что |ψ 0 i =(I1 ⊗ U2 )|ψi.Доказательство. Диагонализуем S1 и определим |ψi по формуле (2.6) спроизвольным базисом {e2j } в гильбертовом пространстве H2 , изоморфномH1 .

Любой другой вектор |ψ 0 i имеет разложение (2.6) с другим базисом вH2 . Остается заметить, что любые два базиса в гильбертовом пространствесвязаны унитарным преобразованием. ¤2.4Парадокс ЭПР. Неравенство БеллаКлючевой пример необычного (с классической точки зрения) поведения составной квантовой системы рассмотрели Эйнштейн, Подольский и Розен(ЭПР) в 1935 г. В современной форме, использующей спиновые степени свободы, его представил Бом в 1950-х, а значительное прояснение внес Белл в30Глава 2. СОСТАВНЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫработах 1960-х годов.

Рассмотрим составную систему из двух q-битов, например, две частицы со спином 1/2, каждая из которых описывается гильбертовым пространством H с dim H = 2. В начальный момент частицывзаимодействуют таким образом, что конечное состояние их спинов, называемое синглетным, описывается векторомi1 h|ψi = √ |↑i ⊗ |↓i − |↓i ⊗ |↑i ,2где векторы|↑i =· ¸· ¸10, |↓i =01описывают состояния каждой частицы со спином, направленным, соответственно, в положительном и отрицательном направлении оси z. Обычнопишутi1 h|ψi = √ |↑↓i − |↓↑i .2Каждая из компонент описывает состояние с разнонаправленными спинами, а |ψi — их суперпозиция, которую невозможно представить в виде произведения векторов состояний, относящихся к разным частицам.

Синглетное состояние — канонический пример сцепленного состояния двух квантовых систем, т.е. состояния, не представимого в виде тензорного произведения чистых состояний.Затем частицы разлетаются вдоль оси y на макроскопическое расстояние, а сцепленное спиновое состояние сохраняется. В частности, полныйспин остается равным 0. Если теперь измерением спина фиксировать состояние первой частицы, то вторая частица оказывается в определенномсостоянии с противоположным направлением спина.

Таким образом, интерпретируя понятие квантового состояния, приходится выбирать междуследующими альтернативами:1) в квантовой механике, подобно классической, состояние описывает“реальные” внутренние свойства системы. При этом, чтобы объяснить, каквторая частица “узнает” о выборе направления измеряемого спина для первой частицы, приходится допустить мгновенное дальнодействие, противоречащее физическому “принципу локальности”;2) вектор состояния – это лишь выражение информационного содержания процедуры приготовления системы, включающее прошлое взаимодействие подсистем.

В этом случае никакого противоречия с локальностью невозникает, но приходится отказаться от полноты механистического описания состояния как “совокупности внутренних свойств”.Внимательное рассмотрение этого мысленного эксперимента приводитк более глубокому и неожиданному выводу, на который обратил внимание Белл: если пытаться описывать корреляции измерений спинов двухчастиц классически и в соответствии с принципом локальности, то оказывается невозможным достичь такого характера и уровня коррелированности, который соответствует предсказаниям квантовой механики. Более2.4.

ПАРАДОКС ЭПР. НЕРАВЕНСТВО БЕЛЛА31того, этот уровень коррелированности может быть количественно сформулирован и проверен экспериментально. Дадим точную формулировку.Пусть вектор ~a = (ax , ay , az ) задает некоторое направление, тогда σ(~a) =ax σx + ay σy + az σz — наблюдаемая спина в направлении ~a. Оператор σ(~a)имеет собственные значения ±1 (спин вдоль и против направления ~a). Таким образомS(~a)S(−~a)z}|{ z}|{σ(~a) = |ψ(~a)ihψ(~a)| − |ψ(−~a)ihψ(−~a)| .Напомним, что ~a имеет углы Эйлера (θ, φ), при этом вектор (1.8) отвечаетчистому состоянию со спином в направлении ~a. Соответствующий операторплотностиI + σ(~a)S(~a) =.2Рассмотрим эксперимент, в котором производятся совместные измерения наблюдаемой σ(~a) для одной системы и σ(~b) – для другой.З а д а ч а 12.

Для синглетного состояния двух q-битов корреляция спиновдается формулойhψ|σ(~a) ⊗ σ(~b)|ψi = −~a · ~b.(2.9)Оказывается, что такая корреляция не может быть смоделирована никакой классической моделью составной системы, удовлетворяющей принципулокальности. Это вытекает из следующего неравенства Клаузера–Хорна–Шимони–Хольта:Пусть Xj , Yk (j, k = 1, 2) — случайные величины на произвольном вероятностном пространстве Ω, такие что |Xj | ≤ 1, |Yk | ≤ 1. Тогда длялюбого распределения вероятностей на Ω корреляции этих величин удовлетворяют неравенству|EX1 Y1 + EX1 Y2 + EX2 Y1 − EX2 Y2 | ≤ 2,(2.10)где E — соответствующее математическое ожидание.Доказательство получается усреднением элементарного неравенства−2 ≤ X1 Y1 + X1 Y2 + X2 Y1 − X2 Y2 ≤ 2.Принцип локальности, или, лучше сказать, разделимости в данной модели заключается в том, что физическая наблюдаемая для первой системыописывается одной и той же случайной величиной (X1 в случае первыхдвух корреляций, X2 в другом случае) независимо от того, какая величина— Y1 или Y2 измеряется во второй системе.

Это условие кажется настолькоестественным, что оно даже трудно уловимо. Однако именно оно запрещаетмгновенное влияние измерения, проводящегося в одной системе, на измерения в другой системе. Если от него отказаться, то интересующие нас четырефизические корреляции могут быть любыми величинами из отрезка [−1, 1].Вернемся теперь к системе из двух q-битов и рассмотрим четыре эксперимента, когда в первом q-бите измеряется наблюдаемая спина σ(~aj ) (j =1, 2), а во втором σ(~bk ) (k = 1, 2), где направления ~aj , ~bk (j, k = 1, 2) образуютконфигурацию,изображеннуюнарисунке.32Глава 2.

СОСТАВНЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫПри этом система приготавливается в одном и том же синглетном со~b2стоянии. Подстановка соответству@Iющих значений корреляций из фор@ π4мулы (2.9) в левую часть@√ формулы~a1(2.10) дает значение 2 2, наруша@¡ющее неравенство. Отсюда следует,¡что либо квантовая механика дает~b1 ¡неправильные выражения для кор¡ªреляций, либо для данной составной системы не существует класРис. 2.1: Выбор векторов ~aj и ~bkсического вероятностного описания,удовлетворяющего условию локальности. После первого эксперимента (Аспе, 1981–1982) был проделан целый ряд аналогичных экспериментов по измерению ЭПР-корреляций, результаты которых с определенностью свидетельствуют в пользу квантовой механики.~a262.5Квантовая псевдотелепатическая играКвантовые корреляции (сцепленность) – новый информационный ресурс, несводимый к классическим корреляциям.

“Квантовое превосходство” в гротескной форме демонстрирует игра Мермина-Переса: игроки A и B играютпротив крупье C. C выбирает клетку (i, j) в матрице 3×3 и сообщает номерстроки i игроку A, а номер столбца j – игроку B. A должен расставить ±1в своей строке т.ч. произведение = 1; B – ±1 в своем столбце т.ч. произведение = −1. AB выигрывают, если выбранные ими элементы в клетке i, jсовпадут. A и B могут выработать общую стратегию до начала игры, нопосле им не разрешено общаться: A не знает j, B не знает i. Например:C −→ A: строка 2, C −→ B: столбец 3...

... .... . . . . . −11 A :  1 −1 −1 B :  ... ...... ... ...... ...1AB проигрывают.Классическая стратегия: Игроки A и B могли бы заранее выбрать фиксированную 3 × 3−матрицу с элементами ±1, однако матрицы, удовлетворяющей сформулированным ограничениям, не существует. Из ограниченияна A (соотв. B) произведение всех матричных элементов должно равняться1 (соотв. −1).