А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации (1156787), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Собственные значения положительного операторанеотрицательны: a ≥ 0 для a ∈ spec(A).Оператор является положительным тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде A = B ∗ B для некоторого оператора B. Длялюбого положительного оператора√ A существует единственный положительный квадратный корень C = A = A1/2 , такой что C 2 = A.Для любого эрмитова оператора A имеет место разложениеA = A+ − A− ,(4.49)Pгде A+ = a>0 aEa , A− = − a<0 aEa – положительные операторы, называемые положительной и отрицательной частями оператора A.Т е о р е м а 19[Полярное разложение] Любой оператор A в H можетбыть представлен в видеPA = U |A| = |A∗ |U,(4.50)√где |A| = A∗ A – положительный оператор, а U – унитарный оператор.Носителем supp A положительного оператора A называется его собственное подпространство, соответствующее положительным собственнымзначениям.

Унитарный оператор в полярном разложении определяется единственным образом только на supp |A|.В вещественном гильбертовом пространстве эрмитовы операторы заменяются на симметричные, унитарные – на ортогональные, причем определения формально остаются теми же. Полярное разложение также имеетместо, причем |A| - симметричный положительный, а U – ортогональныйоператор.След оператора T определяется соотношениемTr T =dXi=1hei |T ei i,(4.51)4.6.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЯМОЙ ТЕОРЕМЫ75где {ei } – произвольный ортонормированный базис.З а д а ч а 28. Покажите, что это определение не зависит от выбора базиса и чтоTr A∗ = Tr A, Tr AB = Tr BA.(4.52)Покажите, чтоTr |ψihϕ|A = hϕ|Aψi.(4.53)Покажите, что для A, B ≥ 0 выполненоTr AB ≥ 0и равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда AB = 0.(4.54)76Глава 4. КЛАССИЧЕСКИ-КВАНТОВЫЕ КАНАЛЫЛитература[1] П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики. Наука, 1970.[2] А.

Ю. Китаев, Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок УМН т. 52, N6, 53-112, 1997.[3] А. Китаев, А. Шень, М. Вялый, Классические и квантовые вычисления.МЦНМО 1999.[4] Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики. Наука1964.[5] М. А. Нильсен, И. Чанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, пер. с англ., М.: Мир, 2006.[6] Л.

Д. Фаддеев, О. Я. Якубовский, Лекции по квантовой механике длястудентов-математиков. М.-Ижевск: РХД 2001.[7] Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по физике.8. Квантовая механика. Мир, 1986.[8] К. Хелстром, Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. М.:Мир, 1978.[9] А. С. Холево, Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. 2-е изд., М.-Ижевск: ИКИ, 2003.[10] А.

С. Холево, Квантовые системы, каналы, информация. М.: МЦНМО2010. Ч. I, II.[11] С.И. Чечета, Введение в дискретную теорию информации и кодирования, М.: МЦНМО 2011.77.

Характеристики

Список файлов книги