А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации (1156787)
Текст из файла
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮТЕОРИЮ ИНФОРМАЦИИА. С. ХолевоМосква – 2 0 1 32ОглавлениеI71 Статистическая структура1.1 Классические и квантовые системы .1.2 Гильбертово пространство . . . . . .1.3 Квантовые состояния . . . . . . . . .1.4 Двухуровневые системы . . . . .
. .1.5 Анализ понятия “наблюдаемая” . . .1.6 Экстремальные наблюдаемые . . . .1.7 Переполненные системы векторов . .1.8 Переполненные системы для q-бита1.9 Томография квантового состояния .1.10 Теорема Наймарка . . . . . . . . . .............................................................991112141517192022232 Составные квантовые системы2.1 Наводящие соображения . . . . .
. . . . . . . . . . . .2.2 Тензорное произведение гильбертовых пространств .2.3 Разложение Шмидта и очищение . . . . . . . . . . . .2.4 Парадокс ЭПР. Неравенство Белла . . . . . . . . . . .2.5 Квантовая псевдотелепатическая игра . . . . . . . . .2.6 Корреляционные неравенства и операторные алгебры..............................25252628293234.......3535363840404343................................................................................3 Применения сцепленных состояний3.1 Квантовое состояние как информационный ресурс3.2 Сверхплотное кодирование .
. . . . . . . . . . . . .3.3 Квантовая телепортация . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Квантовые алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1 Алгоритм Саймона . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Замечания об алгоритме Шора . . . . . . .3.4.3 Алгоритм Гровера . . . . . . . . . . .
. . . .....................................................4 Классически-квантовые каналы454.1 Классическая теория информации . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.1 Энтропия и сжатие данных . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.2 Пропускная способность канала с шумом .
. . . . . . . 4734Оглавление4.24.34.44.54.6Оптимальное различение квантовых состояний .4.2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . .4.2.2 Различение по максимуму правдоподобия4.2.3 Максимум информации . . . . . . . . . .Сжатие квантовой информации . . . . . . . . . .Квантовая теорема кодирования . . . . . .
. . .Квантовая граница информации . . . . . . . . .Доказательство прямой теоремы . . . . . . . . .................................................................5151525660636670ПредисловиеКвантовая теория информации (КТИ) – новая, быстро развивающаяся научная дисциплина, которая изучает общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законамквантовой механики. Квантовая теория информации использует математический аппарат матричного и операторного анализа, некоммутативной теории вероятностей и статистики для исследования потенциальных возможностей таких систем, а также разрабатывает принципы их рационального ипомехоустойчивого дизайна.
КТИ стимулирует развитие экспериментальной физики, значительно расширяющее возможности целенаправленногоманипулирования состояниями микросистем и потенциально важное дляновых эффективных приложений. В настоящее время работы в областиквантовой информатики, включающей КТИ, экспериментальные и технологические разработки, ведутся в научно-исследовательских центрах всехразвитых стран.Настоящий курс лекций вводят в круг основных понятий КТИ и отражает ряд ее принципиальных достижений. Появление идей квантовогокомпьютинга, квантовой криптографии и новых коммуникационных протоколов позволило говорить не только об ограничениях, но и о новых возможностях, заключенных в использовании специфически квантовых ресурсов, таких как сцепленность (запутанность) квантовых состояний, квантовый параллелизм, дополнительность между измерением и возмущением.Необычные возможности квантовых систем пеpедачи и пpеобpазования инфоpмации пpоиллюстpиpованы на пpимеpах свеpхплотного кодиpования,квантовой телепоpтации и эффективных квантовых алгоpитмов.
Часть Iсоответствует содержанию первого семестра. Часть II (второй семестр) будет посвящена фундаментальному понятию квантового канала связи и егоэнтропийным и информационным характеристикам.В лекциях пpиведены необходимые предварительные сведения из классической теории информации и дается введение в статистическую структуру квантовой теории, поэтому для их понимания достаточно владенияосновными общематематическими дисциплинами. Настоящий курс лекцийосуществляется в рамках сотрудничества с Российским Квантовым Центром. Комментарии, предложения, замечания просьба присылать по адресу: ah@icqt.org.56ОглавлениеЧасть I7Глава 1Статистическая структураквантовой теорииПрежде чем перейти собственно к квантовой теории информации, необходимо изложить предварительные сведения о статистической структуреквантовой теории. Цель состоит не только в том, чтобы ввести определения и зафиксировать обозначения, но и в том, чтобы глубже разобраться восновах квантовой теории и ее вероятностной интерпретации (более полноеизложение этих вопросов слушатель найдет в [9]).Мы будем иметь дело с конечномерными квантовыми системами.
С одной стороны, уже в этом случае, причем наиболее наглядно, проявляютсярадикальные отличия квантовой статистики. С другой, именно системы сконечным числом уровней представляют интерес с точки зрения квантовогокомпьютинга (впрочем, в квантовой теории передачи информации большоевнимание привлекают и “системы с непрерывными переменными”, которыеописываются бесконечномерными пространствами).1.1Классические и квантовые системыКлассическая система характеризуется наличием фазового пространстваΩ, точки которого ω описывают детерминированные состояния системы.Для простоты далее рассматривается случай конечного множества Ω, d =|Ω|. (Статистическим) состоянием называется распределение вероятностейна Ω:Xpω = 1.P = {p1 , .
. . , pd } ; pω ≥ 0,ωВещественная случайная величина:X = {x1 , . . . , xd } ;9x̄ω = xω10Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАМатематическое ожидание случайной величины X в состоянии P :XEP X =pω xω .ωДля плавного перехода к квантовым системам полезно ввести представление классических величин диагональными матрицамиP = diag [pω ] ,X = diag [xω ] ,EP X = TrP X,где Tr – след матрицы.Квантовая система описывается d-мерным пространством Cd . Квантовоесостояние задается матрицей плотностиS = [sij ]i,j=1,...,d ,S ∗ = S ≥ 0,TrS = 1.Вещественная квантовая наблюдаемая задается эрмитовой матрицейX = [xij ]i,j=1,...,d ,X ∗ = X.Математическое ожидание наблюдаемой X в состоянии S дается статистическим постулатом Борна:ES X = TrSX.(1.1)При таком подходе обнаруживается аналогия в статистическом описании классических и квантовых систем: сначала приготавливается состояние(P или S), затем производится измерение случайной величины или наблюдаемой X.
Как приготовление, так и измерение несут в себе случайность, врезультате чего исход измерения случаен, причем его математическое ожидание дается формулой (1.1). При этом для каждой квантовой величины –состояния или наблюдаемой, представляемой эрмитовой матрицей – существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором этавеличина представляется диагональной матрицей.
Фундаментальное отличие классического описания состоит в том, что оно использует только коммутирующие величины, XY = Y X. В самом деле, все диагональные матрицы коммутируют между собой. В известном смысле верно и обратное:Т е о р е м а 1.Эрмитовы матрицы A(1) , . . . , A(m) попарно коммутируюттогда и только тогда, когда они совместно диагонализуемы, т.е. существует ортонормированный базис из общих для них собственных векторов.Доказательство. Проведем доказательство для двух матриц A, B, которое обобщается очевидным образом.
Переходя к базису, в котором Aдиагональна, мы можем считать, что A = diag[aj ], B = [bjk ]. Из условияAB − BA = 0 получаем (aj − ak )bjk = 0. Таким образом, aj 6= ak влечетbjk = 0. Группируя вместе одинаковые aj , получаем, что матрицы A, B можно представить в блочно-диагональном виде A = diag[a0j Ij ], B = diag[Bj ],где все a0j различны, Ij – единичные матрицы, размерности которых dj1.2. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО11равны кратности a0j , а Bj – эрмитовы dj × dj -матрицы. Теперь в каждомблоке Bj можно перейти к базису, в котором Bj диагональна, при этом видматрицы A не изменится.¤Некоммутирующие матрицы X, Y ; XY 6= Y X, описывают несовместимые наблюдаемые, т.е.
такие, которые невозможно точно измерить одновременно. Существование несовместимых наблюдаемых – это проявление квантового свойства дополнительности. Физические измерения над микрообъектами производятся при помощи макроскопических экспериментальныхустройств, предполагающих сложную и специфичную пространственно временную организацию окружающей среды. Различные способы такой организации, соответствующие измерениям различных наблюдаемых, могутбыть взаимно исключающими (несмотря на то, что относятся к одинаковоприготовленному микрообъекту), то есть дополнительными.
Аналогичныесоображения относятся и к приготовлению квантовых состояний. Дополнительность – это первое фундаментальное отличие квантовой системы отклассической. Существуют и промежуточные “гибридные” системы, сочетающие черты классического и квантового описания (системы с правиламисуперотбора). Математической моделью таких систем являются алгебрыматриц или операторов (алгебры фон Неймана).1.2Гильбертово пространствоПусть H - d-мерное комплексное векторное пространство размерности dim H =d < ∞, со скалярным произведением hφ|ψi, φ, ψ ∈ H, удовлетворяющее аксиомам унитарного пространства; следуя скорее физической, нежели математической традиции, мы считаем, что hφ|ψi линейно по второму аргументу ψ и антилинейно по первому φ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
