А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации (1156787), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Мы будем использовать дираковскиеобозначения: вектор ψ из H (который удобно представлять себе как векторстолбец) обычно будет обозначаться |ψi; cоответственно, hψ| обозначает вектор сопряженного пространства (эрмитово сопряженный вектор-строку).При этом hφ|ψi естественно обозначает скалярное произведение. Эти обозначения позволяют удобно записывать операторы, например, A = |ψihφ| —оператор ранга 1, действующий на вектор |χi по формуле A|χi = |ψihφ|χi.Если hψ|ψi = 1, то |ψihψ| — проектор на единичный вектор |ψi.Пусть {ei }i=1,...,d – ортонормированный базис (о.н.б.) в H. Произвольный вектор ψ ∈ H может быть представлен в виде|ψi =dX|ei ihei |ψi,(1.2)i=1что эквивалентно равенствуdXi=1где I – единичный оператор в H.|ei ihei | = I,(1.3)12Глава 1.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАЗ а д а ч а 1. Запишите матричное представление для операторов в H,аналогичное представлению векторов (1.2).Дополнительным преимуществом обозначений Дирака является возможность записи вместо векторов их меток, например, можно писать просто |iiвместо |ei i.Иногда мы будем рассматривать вещественное гильбертово (т. е.
евклидово) пространство. Фундаментальное отличие комплексного случая проявляется в существовании поляризационного тождества3β(φ, ψ) =1X(−i)k β(φ + ik ψ, φ + ik ψ),4(1.4)k=0позволяющего восстановить все значения формы β(φ, ψ), линейной по второму аргументу и антилинейной по первому, по ее диагональным значениямβ(ψ, ψ), ψ ∈ H (в вещественном случае подобное восстановление возможнолишь для симметричных форм). Благодаря этому, например, для доказательства операторного равенства A = B достаточно установить равенствовсех диагональных матричных элементов hψ|Aψi = hψ|Bψi, ψ ∈ H.Сведения об операторах в конечномерном гильбертовом пространстве,которые используются в дальнейшем, приведены в Приложении.1.3Квантовые состоянияСостояние квантово-механической системы, представляющее собой статистический ансамбль одинаково приготовленных экземпляров системы, описывается оператором плотности (матрицей плотности в фиксированномбазисе), т.е. оператором S в H, удовлетворяющим условиям S ≥ 0, Tr S = 1.Пусть S(H) — выпуклое множество всех операторов плотности.
Выпуклаякомбинация операторов плотности описывает смешивание соответствующих статистических ансамблей. Смесь S = pS1 + (1 − p)S2 получaeтся, есливзять ансамбли систем, приготовленных в состояниях S1 и S2 и смешать ихв пропорции p : 1 − p.В выпуклых множествах особо важны крайние точки, не представимыев виде нетривиальной смеси других точек, т.е. S = pS1 +(1−p)S2 , 0 < p < 1,влечет S = S1 = S2 . С точки зрения статистической интерпретации, крайние точки множества состояний, называемые чистыми состояниями, соответствуют процедурам приготовления без участия классической случайности.
В классической модели они, очевидно, описываются вырожденнымираспределениями, сосредоточенными в одной из точек фазового пространства. Соответствующие диагональные матрицы являются (одномерными)проекторами, P 2 = P . Отметим также, что классическому равномерномураспределению P = {1/d, . . . , 1/d} соответствует квантовое хаотическое состояние S = 1/d I.В квантовом статистическом ансамбле есть два вида случайности: вопервых, устранимая в принципе случайность, обусловленная флуктуациями1.3. КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ13классических параметров процедуры приготовления, и во-вторых, неуничтожимая квантовая случайность, присутствующая в любом чистом состоянии.Т е о р е м а 2.
Крайние точки множества квантовых состояний S(H),называемые чистыми состояниями, суть (одномерные) проекторы, S 2 =S, и только они.Доказательство. Рассмотрим спектральное разложение эрмитова оператора SdXXS=si |ei ihei |, sj ≥ 0,sj = 1,(1.5)i=1где si – собственные значения, |ei i – собственные векторы оператора S,d = dim H. Если S – крайняя точка, то эта сумма содержит только одноненулевое слагаемое, следовательно, S есть одномерный проектор. Обратно,пусть S – одномерный проектор и S = pS1 +(1−p)S2 , где 0 < p < 1.
Возведемэто выражение в квадрат и рассмотрим разность S и S 2 :pS1 (I − S1 ) + (1 − p)S2 (I − S2 ) + p(1 − p)(S1 − S2 )2 = S − S 2 = 0.(1.6)Сумма трех положительных операторов равна нулю, следовательно, каждое слагаемое должно равняться нулю. Но это означает, что S1 = S2 = S,т. е. S – крайняя точка.
¤Обозначим Ext(S) множество крайних точек произвольного выпуклогомножества S. Отметим следующий общий результат:Т е о р е м а 3 (Каратеодори). Пусть S — выпуклое компактное подмножество n-мерного векторного пространства, тогда любая точка S ∈ Sможет быть представлена в виде выпуклой комбинации (смеси) не болеечем n + 1 крайних точек:S=n+1Xpj Sj ,Sj ∈ Ext(S).j=1В качестве примера рассмотрим выпуклое множество Pd всех классических состояний – распределений вероятностейP = {p1 , . . .
, pd } на множеPстве из d элементов. В силу условия ω pω = 1, множество Pd может бытьпогружено в Rn , n = d − 1. Его крайними точками являются вырожденныераспределения, для которых вероятности pω равны нулю, за исключениемодной, равной 1. Всего имеется d таких точек, и любое распределение изPd единственным образом представляется в виде их выпуклой комбинациис коэффициентами pω . Такое множество называется симплексом, и единственность представления является характеристическим свойством этоговыпуклого множества.З а д а ч а 2. Доказать, что если dim H = d, то S(H) погружается в вещественное пространство размерности n = d2 − 1.
Если же H евклидово(вещественное) пространство, то n = d(d + 1)/2 − 1.14Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАСпектральное разложение (1.5) показывает, что в случае множества квантовых состояний (как и для других выпуклых множеств с гладкой границей) теорема Каратеодори дает завышенное значение n. С другой стороны,для множества классических состояний, представляющего собой симплекс,эта теорема дает точное значение. Это наводит на мысль интерпретироватьквантовую теорию как классическую вероятностную модель, в статистической структуре которой зашифрованы некие неклассические ограничения(теорию со скрытыми параметрами). Для одиночной квантовой системы такая точка зрения возможна, но до сих пор не оказалась плодотворной.
Припереходе же к составным системам она приводит к неустранимым противоречиям с физическими принципами локальности и причинности (см. далееп. 2.4).1.4Двухуровневые системыПростейшей классической системой является бит – система с двумя чистыми состояниями. Статистические состояния представляются диагональными матрицами·¸p0P =, 0 ≤ p ≤ 1.0 1−pи множество всех классических состояний представляет собой единичныйотрезок.Наиболее простым, но важным примером квантовой системы являетсяq-бит — двухуровневая квантоваясистема,£ ¤£ ¤ dim H = 2. Будем использоватьканонический базис: |↑i = 10 , |↓i = 01 .
Удобно ввести базис Паули ввещественном пространстве эрмитовых 2 × 2-матриц:·¸·¸·¸·¸10010 −i1 0I = σ0 =, σx =, σy =, σz =.i 00 −10110В частности, всякий оператор плотности S ∈ S(H) представляется как·¸111 + azax − iayS(~a) == (I + ax σx + ay σy + az σz ).(1.7)1 − az2 ax + iay2Условие det S ≥ 0 накладывает следующее ограничение на параметры Стокса (ax , ay , az ):a2x + a2y + a2z ≤ 1.Таким образом, S(H) как выпуклое множество изоморфно единичному шару в R3 .Чистые состояния характеризуются условием a2x + a2y + a2z = 1 и составляют сферу Блоха. Вводя углы Эйлера θ и φ так, что az = cos θ иax + iay = sin θeiφ , имеем S(~a) = |~aih~a|, где ~a = (ax , ay , az ) и·¸cos(θ/2) e−iφ/2|~ai =.(1.8)sin(θ/2) eiφ/21.5.
АНАЛИЗ ПОНЯТИЯ “НАБЛЮДАЕМАЯ”Таким образом,|~aih~a| =151(I + σ(~a)),2(1.9)гдеσ(~a) = ax σx + ay σy + az σz(1.10)эрмитов унитарный оператор со свойствами σ(~a)2 = I, Tr σ(~a) = 0. В квантовых системах со спином 1/2 вектор ~a описывает ансамбль (пучок частиц)со спином в направлении ~a 1 . Хаотическим является смешанное состояниес ax = ay = az = 0 (все направления спинов равновероятны), описываемоеоператором плотности S = I/2.Из (1.9) получается спектральное разложение эрмитова оператора~ −a|.~σ(~a) = |~aih~a| − |−aih(1.11)Собственные векторы |±~ai, отвечающие собственным значениям ±1, образуют о.н.б. Наблюдаемая (1.11), принимающая значения ±1, описывает проекцию спина на направление ~a.
Таким образом, спин электрона – это векторный оператор с некоммутирующими компонентами σx , σy , σz . ЭкспериментШтерна-Герлаха, описывающий приготовление состояний S(~a) и измерениенаблюдаемых σ(~b), детально описан в лекциях Фейнмана [7].З а д а ч а 3. Пользуясь свойствами матриц Паули, покажите, что математическое ожидание наблюдаемой σ(~b), |~b| = 1 в состоянии S(~a), |~a| ≤ 1равноTr S(~a)σ(~b) = ~a · ~b1.5(1.12)Статистический анализ понятия“наблюдаемая”Во всяком физическом эксперименте присутствуют две основные стадии:приготовление состояния и измерение (наблюдаемых величин). Даже еслиприготовляется чистое квантовое состояние, где нет классической стохастичности, результат измерения в данном ансамбле все равно может бытьслучаен. Итак, мы измеряем случайную величину, распределение µMS (x) которой зависит от приготовления ансамбля S и от измерительного прибораM .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
