Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 88

Однако до сих пор никак не использо­валась групповая структура множества этих операторов ( произведение опе­раторов Паули также является оператором Паули). Фактически, мы увидим,что теория групп является мощным инструментом КККО.Теперь нам удобнее, чтобы все операторы Паули, действующие на от­дельные кубиты, были представлены вещественными матрицами, поэтомуздесь символ У будет обозначать антиэрмитову матрицу(7.114)7.9.45СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ КОДЫудовлетворяющую условию У 2 = -1.

Тогда операторы{±1,±X,±Y,±Z}=±{1,X,Y,Z}(7.115)являются элементами группы восьмого порядка. n-кратное тензорное про­1изведение однокубитовых операторов Паули также образует группуGn = ±{1, Х, У, Z} 0 n,порядок которой=IGnl22 n+I (так как существуетных произведений, а еще один множительназыватьGn2(7.116)4n возможных тензор­±); будемучитывает знакип-кубитовой группой Паули. (По сути, мы будем использоватьтермин «группа Паулю> для обозначения как самой абстрактной группыGn,так и ее 2n-мерного точного унитарного представления тензорными произ­ведениями2х 2-матриц, ее единственного веприводимого представленияс размерностью больше единицы.) Отметим, чтодвух элементов центрZ2= {± 1 ®п}.Gnимеет состоящий изС помощью центра как нормально­го делителя группы мы получаем фактор-группу Сп= G /Z2 ;эту группуможно также рассматривать как двоичное векторное пространство размер­ности 2 2 п, этим свойством мы будем пользоваться ниже.Группа ПаулиGn(ее 2n-мерное представление), очевидно, обладаетследующими свойствами:(i) Каждый элемент М Е Сп является унитарным м- 1 = мt.(ii) Для каждого элемента М Е Gn, М 2 = ±1 = ±1 ®п.

Более того, М 2 == +1, если количество операторов У в соответствующем тензорномпроизведении четно, и М 2 = -1, если количество сомножителей Унечетно.(iii) Если М 2 = +1, то элемент М- эрмитов (М= мt); если М 2 = -1,то элемент М - антиэрмитов (М = - мt).(iv) Любые два элемента М, N Е Gn или коммутируют, или антикоммути­руют: MN = ±NM.Мы будем использовать группу Паули, чтобы характеризовать КККОследующим образом: пустьгруппы ПаулиGn.Sозначает абелевую подгруппу n-кубитовойТаким образом, все элементыS,действующие в Н 2 п,могут быть одновременно диагонализованы. Тогда связанный слизирующий код Н 5<::;Sстаби­Н 2 п представляет собой общее собственное про­странство всех элементовS с равным единице собственным значением. 2 То1Это не группа кватернионов, а друтая неабелева группа восьмого порядка- группа сим­метрии квадрата.

Элемент четвертого порядка У может рассматриваться как поворот плоско­сти на290° тогда как Х и Z представляют отражения в двух взаимно ортогональных осях.Стабилизирующие коды в литературе также называют си.мплектическu.ми. - Прu.м. ред.46ГЛАВА7естьIФ) ЕГруппаSесли1is,МIФ) = IФ)для всехМ ЕS.(7.117)называется стабилизатором кода, так как она сохраняет все ко­довые слова.ГруппаSмые элементыможет быть охарактеризована ее генераторами. Это независи­{Mi}(ни один не может быть представлен как произведениедругих), такие, что каждый элементведение элементов{Mi}.ЕслиSможет быть представлен как произ­S имеет n- k генераторов, то можно пока­зать, что кодовое пространство 1i8 имеет размерность 2k - существует kзакодированных кубитов.Чтобы убедиться в этом, заметим прежде всего, что каждый элементS должен удовлетворять уравнению М 2 = +1; если М 2 = -1, то Мне может иметь собственное значение+ 1.

Более того, для каждого М j: ±1из Gn, квадрат которого равен единице, собственные значения +1 и -1имеют одинаковое вырождение. Это так, поскольку для каждого М j: ±1М Есуществует антикоммутирующий с ним элементNЕGnMN=-NM;следовательно, МIФ)= 11/J),(7.118)если и только если M(Niф))ким образом, действие унитарного оператораN-Niф). Та­устанавливает взаимно од­нозначное соответствие между собственными состояниями оператора Мс собственными значениями +1 и -1.

Следовательно, существует ~2n ==2n-l взаимно ортогональных состояний, удовлетворяющих уравнению(7.119)где М 1 -один из генераторовS.Пусть теперь М 2 - другой (коммутирующий с М 1 ) элементкой, что М 2i-±1, ±М 1 .Gn,та­Мы можем найтиN Е Gn, коммутирующийс М 1 , но антикоммутирующий М 2 ; следовательно, N сохраняет собствен­ное пространство оператора М 1 с собственным значением + 1, но внутриэтого пространства обменивает собственные состояния м2 с собственнымизначениями+1и-1.Отсюда следует, что пространство, удовлетворяющееуравнению(7.120)имеет размерность 2n- 2 •7.9.47СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ КОДЫПродолжая эту процедуру, заметим, чтоеслиMJне зависит от{М 1 , М 2 , ...

, М _ 1 }, то существует оператор N, коммутирующий с М 1 ,1... , М 1 _ 1 , но антикоммутирующий М 1 (ниже мы обсудим более детально,как можно найти такой оператор N). Следовательно, ограниченный про­странством с М 1 = М 2 = ... = М _ 1 = 1 оператор М имеет одинаковое11количество собственных векторов, соответствующих собственным значени­ям+1и-1.Поэтому добавление еще одного генератора всегда сокраща­ет размерность общего собственного пространства вдвое. В случаеn - kгенераторов размерность оставшегося пространства равна 2n(1/2)n-k== 2k.Язык стабилизатора полезен, поскольку он предоставляет простой спо­соб охарактеризовать ошибки, которые код может обнаружить и исправить.Мы можем рассматриватьn - kгенераторов стабилизатора М 1 , ...

, Mn-kкак контролирующие операторы кода, коллективные наблюдаемые, кото­рые мы измеряем, чтобы диагностировать ошибки. Если закодированнаяинформация не повреждена, то мы найдемно если для векоторогоiокажетсяMi=Mi = 1 для-1,каждого генератора;тогда данные ортогональныкодовому подпространству и обнаружена ошибка.Вспомним, что супероператор ошибки может быть разложен по эле­ментам Еа группы Паули.

Конкретный элемент Еа или коммутирует, илиантикоммутируст с конкретным генератором стабилизатора М. Если Еаи М коммутируют, то(7.121)для17/1)Е Н 8 , так что ошибка сохраняет значение М=1. Но если Еа и Мантикоммутируют, то(7.122)так что ошибка инвертирует значение М и, следовательно, может бытьобнаружена путем измерения М.Для генераторов стабилизатораMiи ошибок Еа мы можем написать(7.123)Величины sia• i = 1, ... , n- k, образуют синдром ошибки Еа, посколькупри ее появлении результатом измерения Mi является (-1У'а. В случаеневырожденного кода величины sia различны для всех Еа Е Е, так что из­мерениеn-k генераторов стабилизатора полностью диагностирует ошибку.48ГЛАВА7Найдем в более общем виде достаточное условие, которому долженудовлетворять стабилизатор, чтобы обеспечивать возможность коррекцииошибок. Вспомним, что для этого достаточно, чтобы равенство(7.124)где Саь не зависит от 11./J), выполнялось для любых Еа, Еь Е Е и нормиро­ванного 11./J) из кодового подпространства.

Петрудно видеть, что это условиеудовлетворяется, если для любых Е а, Еь Е Е выполняется одно из ниже­следующих условий:1) Е1Еь Е S,2) Существует М Е S, антикоммутирующий с Е1Е 6 .Доказательство: В случае (1) (ФIЕ1Еь1Ф) = (1./JIФ) = 1 для 11./J) Е Hs.В случае (2) предположим, что М Е S и МЕ1Еь = -Е1ЕьМ· Тогдаи, следовательно, (1./JIElEьiФ) =О.Таким образом, стабилизирующий код, который корректирует {Е},представляет собой пространство Н 5 , фиксированное абелевой подгруп­пой S группы Паули, где любой оператор ЕlЕь (Еа, Еь Е Е) удовлетворяет(1)или(2).Код является невырожденным, если условие(1) невыполняетсяни для одного из операторов Е1Еь·Очевидно, мы также вполне могли бы выбрать в качестве кодово­го подпространства любое из 2n-k совместных собственных пространствn- kнезависимых коммутирующих элементов группыGn.Но фактиче­ски все эти коды эквивалентны.

Мы можем считать два стабилизирую­щих кода эквивалентными, если они отличаются только способом мар­кировки кубитов и выбором базиса для каждого однокубитового гилъ­бертова пространства,тоесть стабилизатор одного кода иреобразует­ся в стабилизатор другого кода путем перестановки кубитов, сопровож­даемой тензорным произведением унитарных однокубитовых преобразо­ваний. Если мы разделим генераторы стабилизатора на два множества{М 1 , ...

, Mj} и {Мн 1 , ... , Mn_k}, то существует операторкоммутирующий скаждымэлементомпервогоN Е Gn,множества иантиком­мутирующий с каждым элементом второго множества. Применеинек11./J)NЕ Н 5 сохраняет собственные значения первого множества, одно­временно инвертируя собственные значения второго.

ПосколькуNявля-7.9.СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ КОДЫ49ется тензорным произведением однокубитовых унитарных преобразова­ний, то без потери общности (с точностью до эквивалентности) все соб­ственные значения можно выбрать равными единице. Более того, посколь­ку знаки минус на самом деле не имеют значения, когда стабилизаторопределен,мывполнеможемсказать,чтодвакода эквивалентны,с точностью до фаз, стабилизаторы отличаются перестановкойnесли,кубитов,а также перестановками всех индивидуальных кубитов в операторах Х,Y,Z.В процессе восстановления может произойти сбой, если существуетоператор Е1Еь, коммутирующий со стабилизатором, но не принадлежа­щий ему.

Этот оператор сохраняет кодовое подпространство 1i 8 , но можетдействовать в нем нетривиально; таким образом, он может изменять зако­дированную информацию. Так как Еаi"Ф} и Еьi"Ф} имеют одинаковый син­дром, мы можем неправильно принять одну ошибку Еа за другую-Еь;тогда в результате действия ошибки и попытки ее исправления к инфор­мации будет применен оператор ЕЬЕа, что может оказаться причиной ееповреждения.Стабилизирующий код с расстояниемлюбой Е ЕGnс меньшим, чемd,dобладает таким свойством, чтовесом или принадлежит стабилизатору,или антикоммутирует с его некоторым элементом. Код является невырож­денным, если стабилизатор не содержит ни одного элемента с меньшим,чемd,весом.