Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Это исправениеотносительнымучтено в следующих ниже рисунках и пояснениях к ним в тексте данного раздела. ~ Прим. ред.7.11.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВОГО СЕКРЕТА61ся. (Это убеждает нас в том, что мы выполнили процедуру Гаусса в матрице Нх.) Таким образом, можно сконструировать следующую кодирующуюсхему:ID)------1ID) ----+-+-------1ID)------1IO)I'Ф)1Более того, каждый действующий на/0)вентильZможно заменить на единичный, следовательно, эту схему можно упростить, исключив все такиевентили и получивID) - - - - - - - - - - - - - - - 1IO) - - - - - - - - - - - - 1IO) - - - - - - - - - 1ID)I'Ф)Эту процедуру можно обобщить для построения кодирующих схем для лю1бых стабилизирующих кодов.Поскольку кодирующее преобразование унитарно, для декодированияможно использовать его сопряжение.
А так как квадрат каждого вентиляравен±1,то декодирующая схема представляет собой ту же самую кодирующую схему, лишь работающую в обратном направлении.7.11.Распределение квантового секретаКод[[5, 1, 3]]является прекрасной иллюстрацией возможного применения корректирующих ошибки квантовых кодов. 2Естественно, что вид кодирующей схемы зависит от выбора генераторов стабилизатора.1Альтернативную кодирующую схему для 5-кубитовоm кода (а также для других известныхкодов) можно найти на сайте http://iaks-www.ira.uka.de/home/grassl/QECC/ ~ Прим. ред.2 R.
Cleve, D. Gottesman, and Н.-К. Lo, How to Share а Quantum Secret, Phys. Rev. Lett.648-651 (1999); quant-ph/9901025.83,62ГЛАВА7Предположим, что некоторую совершенно секретную информациюнеобходимо доверитьnпартнерам. Так как никому из них нельзя доверять полностью, секрет делится наnчастей, так что каждый партнер имеетдоступ только к своей части и не может узнать о секрете в целом. Но еслидостаточное количество партнеров соберутся и обьединят свои части, тоони смогут расшифровать секрет или какую-то его часть.В частности, пороговая (т, п)-схема имеет такое свойство, что дляреконструкции всей секретной информации достаточно т частей.
Но изт- 1частей невозможно извлечь никакой информации. (Это называетсяпороговой схемой, потому что при собранных воединочастях узнать ничегонельзя,но1, 2, 3, ... , т - 1следующая часть позволяет переступитьпорог и раскрыть всю информацию.)Следует различать два вида секретов: классический секрет представляет собой аprioriсекретом является анеизвестную строку битов, в то время как квантовымprioriнеизвестное квантовое состояние. Секреты каждого типа можно поделить.
В частности, мы можем распределить классический секрет между несколькими партнерами, выбрав одно из ансамблявзаимно ортогональных (запутанных) квантовых состояний и распределивэто состояние между партнерами.Например, петрудно видеть, что кодв пороговой(3, 5)-схеме,[[5, 1, 3]]может использоватьсягде разделенная информация является классической. Один классический бит кодируется одним из двух ортогональных состояний fб) илиii),а затем пять кубитов распределяются между пятьюпартнерами. Как мы уже видели, если объединятся любые два партнера, томатрицей плотности р их двух кубитов будет(7.163)(поскольку код невырожден).
Следовательно, из любого измерения их двухкубитов они ничего не узнают о квантовом состоянии. Но мы также видели, что код[[5, 1, 3]]может исправить две локализованных ошибки илидва стирания. Когда объединятся любые три участника, они могут исправить две ошибки (или восстановить два недостающих кубита) и полностьювосстановить закодированное состояние fб) или11).Ясно, что с помощью аналогичной процедуры можно поделить одинкубит квантовой информации- код [[5, 1, 3]] также является основой квантовой пороговой ((3,5))-схемы (мы используем обозначение ((т, n)), еслиподелена квантовая информация, и (т, n), если поделена классическая информация).
Как эту схему деления квантового секрета распространить набольшее количество кубитов? Допустим, мы приготовили чистое п-кубито-7.11.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВОГО СЕКРЕТА63вое состояние j-ф). Может ли оно быть использовано в пороговой((m, п))схеме?Нам известно, что для реконструкции состояния должно быть достаточноmкубитов; следовательно, можно восстановитьn- mудалений.
Изобщего критерия коррекции ошибок следует, что математическое ожиданиелюбой наблюдаемой с весом, не превышающимn - m,не должно зависетьот состояния J'Ф)('Ф\Е\1{1)не зависит отТаким образом, еслиn- mml'l/1),еслиwt(E) :( n- m.(7.164)партнеров имеют всю информацию, то другиепартнеров не имеют никакой информации. Это справедливо, поскольку квантовую информацию нельзя клонировать.С другой стороны, мы знаем, чтоm - 1 частейничего не откроют, иличто(-фjEJ'l/1)не зависит отJ'l/1),еслиОтсюда следует, что можно восстановитьn - mwt(E) :( m- 1.m - 1(7.165)стирание, или что другие+ 1 партнеров располагают всей информацией.Из этих двух высказываний мы получаем два неравенства*n- m <mn < 2m,m - 1 < n - m + 1 =? n > 2m - 2.(7.166)Отсюда следует, что в квантовой пороговой ((m, п))-схеме чистого состояния, в которой каждый партнер имеет один кубит,n = 2m-1.(7.167)Другими словами, порог будет достигнут, когда количество наличных кубитов превысит половину всехnкубитов.Таким образом, если каждая часть представляет собой кубит, то квантовая пороговая схема чистого состояния представляет собой квантовыйкод [[2m -1,k, m]] с k ~ 1.
Но в действительности коды [[3, 1, 2]] и [[7, 1, 4]]не существуют, а из границы Рейнса следует, что не существуют кодысm>3. Следовательно, код [[5, 1, 3]] представляет собой единственнуюквантовую пороговую схему.Здесь следует сделать несколько оговорок. Во-первых, ограничениеn = 2m -1остается справедливым, даже если каждая часть является q-мерной системой, а не кубитом. Но в случаеq> 2 можно построить различныекоды:[[2m - 1, 1, k]]q(см., например, упражнения).(7.168)64ГЛАВА 7Во-вторых, поделенная информация может представпять собой смешанное состояние (в котором закодировано чистое состояние). Например,если мы отбрасываем один кубит из 5-кубитового блока, мы получаем((3,4))-схему.
Вновь, как только у нас появляется три кубита, мы сможемвосстановить два стертых (то есть недостающих), один из которых находится в руках другого партнера, а второй ~ только что был нами же выброшен.Наконец, мы предположили, что поделенная информация являетсяквантовой.
Но если вместо этого мы делим только классическую информацию, тогда условия восстановления стертых кубитов становятся менеестрогими. Например, пару Белла можно рассматривать как вид пороговой(2, 2)-схемыдля двух битов классической информации, которая закодирована выбором одного из четырех взаимно ортогональных состояний IФ±),1~±). Располагающий одним из двух кубитов партнер не может получитьдоступ к этой классической информации.
Но эта схема не подходит дляраспределения квантового секрета, поскольку линейные комбинации этихсостояний Белла не обладают тем свойством, что р = ~ 1 после вычисления следа по состояниям одного из двух кубитов.7.12.7.12.1.Некоторые другие стабилизирующие кодыКодПриk[[6, О, 4]]=О квантовый код имеет одномерное кодовое подпространство,то есть существует только одно закодированное состояние.
Код нельзя использовать для хранения неизвестной квантовой информации; тем не менее,коды сk =О могут обладать интересными свойствами. Так как они могут обнаруживать и диагностировать ошибки, они могут быть полезнымидля изучения корреляций в декогерентизации, вызванной взаимодействиемс окружением.Если k =О, то S и Sj_ совпадают~ оператор Паули, коммутирующийсо всеми элементами стабилизатора, должен принадлежать этому стабилизатору. В этом случае расстояниеdопределяется как минимальный веслюбого принадлежатего стабилизатору оператора Паули.
Таким образом,код с расстояниемdможет «обнаружитьбой оператор Паули с весом, меньшимd,ошибок»; то есть если люd- 1действует на кодовое состояние,то результат будет ортогонален этому состоянию.Закодированное состояние кодаможно представить в виде[[6, О, 4]](ассоциированного с кодом[[5, 1, 3]])IO) 010) + 11) 0II),(7.169)7.12.НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ КОДЫ65----------------------~----------------~--~----------гдеIO)и[[5, 1, 3]].II)представляют собой собственные состояния оператора Z кодаd = 4 (см.Вы можете проверить, что этот код имеет расстояниеупражнениеКод7.3).[[6, О, 4]]интересен тем, что его кодовое состояние максимальнозапутано. Мы можем выбрать любые три кубита из шести. Матрица плотности р(з) этих трех кубитов, полученная путем вычисления следа по со-стояниям трех остальных, совершенно случайна, р(з)кодовое состояние[[6, О, 4]]= ~1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
