Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 92
Текст из файла (страница 92)
В этом смысле,является естественным многочастичным аналогом двухкубитовых состояний Белла. Оно «гораздо сильнее запутано»,нежели шестикубитовое кот-состояние _l_ ( 1000000) + 1111111)). Если мыизмерим в базисе{ IO), 11)}V2любой один из шести кубитов кот-состояния,мы узнаем все о приготовленном состоянии оставшихся пяти кубитов. Номы можем измерить по своему усмотрению любую наблюдаемую, действующую на любые три кубита в состоянии[[6, О, 4]],и ничего не узнаемотносительно состояния оставшихся трех кубитов, которое по-прежнемуописывается матрицей плотности р(з)Код[[6, О, 4]]=~ 1.тем более интересен, что, оказывается (но не так простодоказывается), не существует его обобщения на большее количество кубитов, то есть не существует [[2п, О,n > 3.n+ 1]]двоичных квантовых кодов дляОднако в упражнениях вы увидите, что существуют другие, недвоичные, максимально запутанные состояния, которые можно построить.7.12.2.Детектирующие ошибкиСостояние Белла IФ+)[[2, О, 2]]=-((2m, 2m - 2, 2]]-коды1-(IOO)V2+111)) представляет собой кодс генераторами стабилизатораzz,хх.(7.170)Этот код имеет расстояние два, поскольку не существует операторов Паули с единичным весом, коммутирующих с обоими генераторами (ни одиниз Х, У,Zодновременно не коммутирует с Х итирование бита (Х), обращение фазы(Z)Z).Соответственно, инверили обе эти ошибки (У), действующие на любой кубит в IФ+), преобразуют его в ортогональное состояние(одно из состояний Белла IФ-), 17/1+), 17/1-)).Единственный способ обобщить состояния Белла на большее количество кубитов-рассмотреть кодn = 4, k = 2 сzzzz,генераторами стабилизаторахххх.(7.171)66ГЛАВАЭто код с расстояниемd=7по той же причине, что и предыдущий.
Ко2довое подпространство натянуто на четные состояния(ZZZZ),инвариантные относительно одновременного инвертирования всех четырех кубитов(ХХХХ). Базис представляет собойIOOOO)+ 11111),10011) + 11100),(7.172)+ 11010),10110) + 11001).10101)Очевидно, что действующая на любой кубит ошибка Х илиZиреобразуеткаждое из этих состояний в ортогональное кодовому подпространству состояние; таким образом, можно обнаружить любую однокубитовую ошибку.Дальнейшим обобщением является кодстабилизатораzz ... z,хх[[2m, 2m-2, 2]]...
хс генераторами(7.173)(длина должна быть четной, чтобы генераторы коммутировали между собой). Кодовое подпространство натянуто на 2п- 2 хорошо знакомых намкот-состояний(7.174)где х-7.12.3.строка длиныКодn=2mи четного веса.[[8, 3, 3]]Как уже отмечалось при обсуждении кода[[5, 1, 3]], стабилизирующийкод с генераторами(7.175)может исправить одну ошибку, если: (1) столбцы матрицы Й различны(свой синдром для каждой ошибки Х и Z); (2) любая сумма столбца матрицы Нz с соответствующим столбцом матрицы Нх отличается от любогостолбца Й и от всех других таких сумм (каждую ошибку У можно отличить от всех остальных однокубитовых ошибок).Нетрудно построить матрицу Н размерностии, таким образом, получить стабилизатор кодай=(111~111000000005 х 16 с этими свойствами[[8, 3, 3]]; выберемна0000000011111111).(7.176)7.12.НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ КОДЫЗдесь Н представляет собой матрицу размерностиН=3х67810101010)О 1 1 О О 1 1 О,( о о о 1 1 1 1 о(7.177)столбцами которой являются все возможные различные двоичные последовательности длины три, а Н" получается из Н с помощью соответствующей перестановки столбцов.
Эта перестановка выбирается таким образом,чтобы были различны все восемь сумм столбцов матрицы Н с соответствующими столбцами Н". С помощью непосредственной проверки можноубедиться, что подходящим выбором служитне~(!1 1оо1оо 11 о)1 1 1 1 оо 1 1 о оо'(7.178)тогда суммы столбцов равны1с11 1о001100)1 1 1 о о о .о 1 о о 1 о(7.179)Две последних строки матрицы Н служат для того, чтобы отличать каждыйсиндром Х от каждого синдрома У илиZ,а вышеупомянутое свойствоматрицы на гарантирует, ЧТО все синдромы у различны.
Следовательно,мы построили код длины восемь сk= 8 - 5 = 3,который может исправить одну ошибку. Собственно, это простейший в бесконечном классекодов[[2m, 2m - m- 2, 3]] с m ~ 3, построенных Готтесманом.[[8, 3, 3]], который мы только что описали, является,Квантовый кодтаксказать, кузеном «расширенного кода Хэмминга», самодуального классического кода[8, 4, 4],полученного из дуального коду Хэмминга[7, 3, 4]-кодапутем добавления дополнительного бита четности. Его матрица контролячетности (которая также является его генерирующей матрицей) имеет вид10101010)о 1 1 о о 1 1 оНЕи = ( 0 0 0 1 1 1 1 0 .1 1 1 1 1 1 1 1(7.180)Эта матрица НЕи обладает тем свойством, что различны не только все еевосемь столбцов, но от них также отличается и сумма любых двух столбцов; действительно, четвертым битом суммы двух столбцов является нуль,а не единица.68ГЛАВА 77.13.Коды надGF(4)Мы построили кодрив, чтоd = 3.[[5, 1, 3]], угадавгенераторы стабилизатора и провеСуществует ли более систематический метод?На самом деле да.
Наше подозрение, что код[[5, 1, 3]]может существовать, возникло из наблюдения, что его параметры насыщают квантовоенеравенство упаковки сфер для кодов сt1=1 + 3n = 2n-k,(16=16приn=5иk=1).(7.181)Для теоретика в области кодирования этоуравнение может показаться знакомым.Помимо двоичных кодов, на которых до сих пор мы концентрироваливнимание, классические коды можно также построить из строк (длинысимволов, принимающих значения не в{0, 1},а в конечном полеn)GF(q),содержащем q элементов. Такие конечные поля существуют для любогоq = pm, где р- простое число. (GF представляет собой аббревиатуру для«Galois Field»- поле Галуа, названное так в честь его первооткрывателя.)Для таких недвоичных кодов можно смоделировать ошибку как добавление элемента поля, циклический сдвигq символов.
Тогда всего будет q -1нетривиальных ошибок. Весом вектора вGF(q)nявляется количество егоиенулевых элементов, а расстояние между двумя векторами представляетсобой вес их разности (количество несовпадающих элементов). Классический код[n,k,d]q состоит из qk кодовых слов в GF(q)n, где минимальноерасстояние между парами строк равноd.Граница упаковки сфер, котораядолжна быть насыщена, для того чтобы мог существовать код [п,d = 3 имеет вид1+(q+1)n~qn-k.Насыщающие эту границу приq = 2k, d]q,при(7.182)совершенные двоичные коды Хэмминга с параметрамиn= 2m- 1,допускают обобщение на любоенадGF(q)k = n-GF(q);т(7.183)совершенные коды Хэммингаможно построить приnКвантовый кодqm -1= ---,q-1[[5, 1, 3]] происходит[5, 3, 3] 4 (случай q = 4 и т= 2).k= n- т.(7.184)от классического кода ХэммингаКоды НАД7.13.69GF(4)Что общего между классическими кодами надGF(4)и двоичнымиквантовыми стабилизирующими кодами? Родство возникает, потому чтостабилизатору можно сопоставить замкнутое относительно сложения множество векторов надПолеО,1, ш, w,GF( 4)GF( 4).имеет четыре элемента, которые можно обозначить какгде1 + 1 = w + w = w+ w = о,1+ш=wи ш2= w,шw1.(7.185)Следовательно, аддитивная структураGF(4) соответствует мультиruшкативной структуре операторов группы Паули Х, У,Действительно, двоичная строка (аi,В) длины2n,Z.которую мы использовали для обозначения элемента группы Паули, может эквивалентно рассматриваться как вектор длиныnвGF(4)n(7.186)Стабилизатор с 2n-k элементами можно рассматривать как субкод кодаGF(4), замкнутый относительно сложения и содержащий2n-k кодовыхслов.Отметим, что код не должен быть векторным пространством надGF( 4),поскольку от него не требуется замкнутость относительно умножения наскаляр принадлежащийGF(4).В частном случае, когда код является векторным пространством, он называется линейным кодом.О кодах надGF(4)известно много, поэтому эта связь открыла возможность теоретикам в области (классиqеского) кодирования построитьмножество квантовых кодов коррекции ошибок.
1 Однако не каждый субкодGF( 4)nсвязан с квантовым кодом; мы до сих пор не выдвинули требование, чтобы стабилизатор былабелев-векторы (аi,В), образующие линейную оболочку кода, должны быть взаимно ортогональны относительносимплектического внутреннего произведенияа ·,В' +а' ·,в.(7.187)Это условие ортогональности может выглядеть странным для теоретикав области кодирования, которому более привычно определение внутреннегопроизведения двух векторов вGF(4)nкак элемента поляGF(4),заданногосоотношением(7.188)А. R. Calderbank, Е. М.
Rains, Р. М. Shor, and N. J. А. Sloane, Quantum error correction viacodes over GF(4), IEEE Transact. on Inform. Theor., 44, 1369 (1998); quant-ph/9608006.170ГЛАВА7где сопряжение, обозначенное черточкой, меняет местами«эрмитово» внутреннее *-произведение двух векторовv*и= а+ Ьw Еvwиw.Если этои и равно(7.189)GF(4),то наше симплектическое внутреннее произведение равноV ·и= Ь.(7.190)Следовательно, обращение в нуль симплектического внутреннего произведения является более слабым условием, чем обращение в нуль эрмитовавнутреннего произведения. В самом деле, в частном случае линейного кода самоортогональность относительно эрмитова внутреннего произведенияфактически эквивалентна самоортогональности относительно симплектического внутреннего произведения.
Отметим, что еслиортогональность относительнония требует Ь= О.симплектическогоv *и =внутреннегоа+ bw, топроизведеНо если и принадлежит линейному коду, то и wи тоже,гдеv * (wи) = Ь + aw,(7.191)v·(wи)=a.(7.192)так чтоМы видим, что еслиvи и принадлежат линейному GF(4)-коду и ортогональны относительно симплектического внутреннего произведения, то онитакже ортогональны относительно эрмитова внутреннего про изведения. Тогда мы делаем вывод, что линейный GF(4)-код определяет квантовый стабилизирующий код, если и только если этот код самоортогонален относительно эрмитова внутреннего произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
