Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 82

1 Чтобы-1измерить произведение Х-операторов, мы выполняем схе­му1234/"5r~6А- (IO) + ll))а затем измеряем служебный кубит в базисе ~(IO)••5(IO)+ ll))А- (IO) -11))± 11)).Таким образом, действующая на любой один из девяти кубитов в бло­ке ошибка не вызывает непоправимого повреждения. Но если в одном кла­стере из трех кубитов инвертируются два, то закодированная информациябудет разрушена.

Например, если в кластере одновременно инвертируютсядва первых кубита, то мы неверно определим ошибку и, пытаясь исправитьее, инвертируем третий кубит. Эти ошибки совместно с неправильной по­пыткой исправления действуют на кодовый блок оператором Х 1 Х 2 Х 3 . По­сколькуIO)и11)являются собственными состояниями оператора Х 1 Х 2 Х 3с различными собственными значениями, то в результате инвертированиядвух битов в одном кластере в закодированном кубите возникает фазоваяошибка(7.7)Закодированная информация также будет повреждена, если фазовые ошиб­ки возникнут в двух разных кластерах.

Тогда в результате неверной по­пытки исправления мы внесем фазовую ошибку в третий кластер, так чтов итоге будет применен операторZ 1 Z4 Z 7 ,который инвертирует закодиро­ванный кубит(7.8)1Другими словами, в базисе собственных состояний оператора Х управляющий (контро­лирующий, или источник) и управляемый (контролируемый или целевой) кубиты вентиляCNOT меняются ролями. В том, что это действительно так, петрудно убедиться, используя егоопределение (4.11) в базисе собственных состояний оператора Z. Напомним, что в последнемслучае под действием CNOT, в зависимости от состояния управляющего кубита изменяется(инвертируется) или остается неизменным управляемый кубит.

- Прим. ред.ГЛАВА 714Если вероятность ошибки достаточно мала и если ошибки, действую­щие на разные кубиты, не сильно скоррелированы, то использование девя­тикубитового кода позволяет сохранить неизвестный кубит надежнее, чемв том случае, когда мы вообще не беспокоимся о его кодировании. Пред­положим, например, что на каждый из девяти кубитов окружающая сре­да действует как описанный в третьей главе деполяризующий канал с ве­роятностью ошибки р. Тогда вероятность инвертирования бита равна ~р,а вероятность обращения фазы - ~р.

(Вероятность одновременного появ­ления обеих ошибок равна iP·) Нетрудно видеть, что вероятность фазовойошибки, непоправимо искажающей логический кубит, ограничена сверхувеличиной 4р2 , а вероятность подобной ошибки инвертирования бита величиной 12р 2 . Полная вероятность ошибки не превышает 16р 2 ; то естьулучшение по сравнению с вероятностью ошибки р незащищенного кубитаимеет место при условии р< 1/16.Конечно, в приведеином выше анализе по умолчанию предполагалось,что кодирование, декодирование, измерение синдрома ошибки и ее исправ­ление выполняются идеально точно. Более реалистический случай, когдаошибки возникают и во время этих операций, обсуждается в приложении.7.2.Критерии исправления квантовых ошибокПри обсуждении исправления ошибок с помощью девятикубитовогокода предполагалось, что каждый кубит подвержен либо ошибке инверти­рования бита, либо ошибке обращения фазы (или им обеим).

Это нереали­стическая модель ошибок, и нам следует понять, как осуществлять коррек­цию квантовых ошибок в более общих условиях.Рассмотрим сначала один кубит, первоначально находящийся в чистомсостоянии и произвольным образом взаимодействующий со своим окруже­нием. Из третьей главы мы знаем, что без потери общности (мы все ещеможем представлять, что на наш кубит действует самый общий суперапера­тор) можно предполагать, что начальным состоянием окружения являетсячистое состояние, которое мы обозначим какJO) Е·Тогда эволюция кубитаи его окружения может быть описана унитарным преобразованиемU: JO) ® JO) Е11) ® JO)Eздесь->->JO) ® Jeoo) Е+ 11) ® Je01) Е>JO) ® Je1olE + Jl) ® Jен)Е;(7.9)Jeijl Е- четыре состояния окружения, которым не обязательно бытьнормированными или взаимно ортогональными (хотя они удовлетворяют7.2.КРИТЕРИИ ИСПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ОШИБОКнекоторым ограничениям, вытекающим из упитарностиемU произвольнос состояние кубита /Ф) = а/0)U).+ Ь/1)15Под действи­эволюционируеткакU:(а/0)+ Ь/1))0/О)в -+ а(/0) 0/е 00 )в+ /1)0/е 01 )в)++ Ь(/0)@ /е 10 ) Е+ /1)@ /е 11 ) в)==(а/0)+ Ь/1)) 0+ (а/1) + Ь/0)) 0+12(/еоо)в+ /ен)в) +12(/eol) Е+ /e1ol в)+1(а/1)- Ь/0))@ 2(/eollE -/еlО)в)++ (а\0)- Ь\1)) 0 ~(/eoolE -\ен)в) == 1/ф) 0/еr)в + Хjф)@ /ех)в ++ У/Ф) 0/еу) Е + Zjф) 0/ez) в·(7.10)ДействиеU может быть разложено по (унитарным) операторам Паули{1, Х, У, Z}, просто потому, что они образуют базис в векторном простран­стве 2 х 2-матриц.

Эвристически мы можем интерпретировать это разложе­ние, говоря, что с кубитом происходит одно из четырех возможных собы­тий: ничегоошибки (У(1 ), инвертирование бита (Х), обращение фазы (Z) или обеiXZ). Однако не следует понимать эту классификацию бук­=вально, поскольку, пока состояния окружения {Jer)в, Jех)в, /еу)в, Jez)в}не являются взаимно ортогональными, не существует мыслимого измере­ния, которое могло бы идеально различить эти четыре альтернативы.Аналогично, действующая в п-кубитовом гильбертоном пространствепроизвольпая 2n х 2n-матрица может быть разложена по 2 2 n операторам{1, Х, У, Z} 0 n;(7.11)то есть каждый такой оператор может быть представлен как тензорное про­изведение однокубитовых операторов, каждый из которых выбирается изединичного1и трех матриц Паули Х, У,произвольнога унитарного оператора наnZ.Таким образом, действиекубитов и их окружение мож­но представить в виде разложения(7.12)аздесь индекс а пробегает 22 n значений.

{Еа} -множество всех линейнонезависимых операторов Паули, действующих наnкубитов, аJea) Е-со-ГЛАВА 716ответствующие состояния окружения (которые не предполагаются норми­рованными или взаимно ортогональными). Важной для дальнейшего осо­бенностью этого разложения является то, что каждый оператор Е а являетсяунитарным.Уравнение(7 .12)обеспечивает идейную основу коррекции квантовыхошибок.

При разработке КККО мы определяем подмножество Е всех опе­раторов Паули(7.13)это множество тех ошибок, которые мы хотим уметь исправлять. Нашейцелью является выполнение коллективного измеренияnкубитов в кодовомблоке, которое позволяет определить, какая из ошибок Еала. Если IФ)-Е Е возник­состояние, принадлежащее кодовому подпространству, тодля некоторых (но не для всех) кодов это измерение приготовит состояниеЕаi'Ф) ®lea)E, где значение а известно из результата измерения. Так какоператор Еа является унитарным (и одновременно самосопряженным), мыможем применить к кодовому блоку операторEl (= Е а), восстанавливаянеповрежденное состояние IФ).Каждому оператору Паули можно сопоставить вес, целое числовлетворяющее неравенству О'( t '( n;t,удо­вес представляет собой количествокубитов, на которые действует нетривиальная матрица Паули (Х, У илиТогда эвристически слагаемое разложенияимеет весt,(7.12),Z).в котором оператор Еаможно интерпретировать как событие, состоящее в появле­нии ошибок вtкубптах (и вновь не следует принимать эту интерпретациюбуквально, если состояния{iea)E} не являются взаимно ортогональными).Как правило, в качестве Е выбирается совокупность всех операторов Паулис весами вплотьдонекоторогоtвключительно; тогда если удается восста­новить исходное состояние после действия на него любого супероперато­ра ошибки с носителем из множества Е, то мы говорим, что код можетисправитьtошибок.

Такой выбор множества Е неявно предполагает, чтоошибки, возмущающие разные кубиты, слабо коррелируют между собой,поэтому вероятность возникновения большего, чемнаnt,количества ошибоккубптах относительно мала.Каким необходимым и достаточным условиям должно удовлетворятькодовое подпространство, для того чтобы было возможно исправление за­данного множества ошибок Е? Обозначим как { lz)} ортонормированныйбазис в кодовом подпространстве. (Будем говорить об этих базисных эле­ментах как о «кодовых словах».) Очевидно, необходимо, чтобыi-1 j,(7.14)7.2.КРИТЕРИИ ИСПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ОШИБОК17i i= j,ТО ошнбки МОГЛИ бы разрушить Идеальную разлИЧИМОСТЬ ОрТОГОНалЬНЫХгде Е а ь Е Е.

Если бы это условие не выполнялось для некоторыхкодовых слов и закодированной квантовой информации наверняка был бынанесен ущерб. (Более подробный вывод этого необходимого условия будетпредставлен ниже.) Также нетрудно видеть, что достаточным условиемявляется(7.15)В этом случае операторы Еа разбивают кодовое подпространство на сово­купность взаимно ортогональных «подпространств ошибок»(7.16)Предположим, что в Произвольное состояние IФ), приготовленное в кодо­вом пространстве, вкралась ошибка. Тогда итоговым состоянием кодовогоблока и окружения являетсяLЕа/·ф) ® /еа) Е'(7.17)EaEt:где суммирование ведется по ошибкам, принадлежащим множеству[. Вэтомслучае можновыполнитьортогональное измерение,nроецирующеекодовый блок на одно из пространств На, так что состояние приобретаетвид(7.18)Наконец, для завершения процедуры восстановления к кодовому блоку при­меняется унитарный оператор Е1.Код, удовлетворяющий условию(7.15),называется невырожденным.Этот термин означает, что существует измерение, которое может однознач­но выявить возникшую ошибку Е а Е [.

Но пример девятикубитового кодатолько что показал, что возможны более общие коды. Девятикубитовый кодвырожден, поскольку фазовые ошибки, действующие на разные кубиты од­ного и того же кластера из трех кубитов, одинаковым образом влияют накодовое подпространство (например, Z 1 /Ф)= Z 2 /ф)).Хотя ни одно изме­рение не может определить, в каком из кубитов возникла ошибка, это неявляется помехой для ее успешного исправления.Нетрудно установить необходимое и достаточное условие возможности восстановления(7.19)где Еа ь Е[, а Саь = (z/E!Ea/z/- произвольпая эрмитова матрица.