Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 77

1)) ==ji[(2и 1 ) 0 "I000 ... 0}+(2u_) 0 "1111= 2".1))]{f(IШ ... 1} + IOOO ... 0)) = 2"11/J),..Ь) Теория скрытых персменных утверждает, что tт 1 и tт 2 в тобой моментврс\fени ямяются функциями набора недосrупных Jl)lЯ нас «Скрытых пере­менных». Она утверждает, чm нai[Ia неспособиость узпюъ эти переменвыеРЕШЫ-IИЕ УIIРАЖНЕНИЙ428заставляетnceизмеренияcr 1и r7 2 давать только усредне1-атые по ансамблюэтих скрытых псремспных результаты.Заметим, однако, что модуль оператора (о- 1 ± iu 2 )®n имеет mлькоодно значение д.;iя :тюбого возможноrо распределения значений наблю­яаемых и 1 иcr 2 :с) Оператор (и 1+ i17 2 )®nf-(17 1 - iu 2 ) 0 " эрмитов и, следовательно, его мо­дуль является наблюдаемой величиной.

Теория скрытых персменных пред­сказывает, что се И3мерясмос значение ТJ;ается усрсл:непным по ансамбпюопределенных значений, принимаемых ст 1 иu 2•Испо.JIЬзуя неравенствотреугольника для нормы, мы можем ограничить :этот мо;1,у.1Ь суммой ны­ражений, вычисленных в части (Ь ). Важность зто го ограничения в том, чтопычисж:нные в части (Ь) слагаемые независu:wы от любою такого распре­деления:IE,.I=1(17 1 + il7,)®n + (17 1 - il72) 0 "1 <;:+ i17,)®nl + l(и, - iu,)®nl ~.= (17 1 + il7 2 1" + (17 1 - iи,(" = IVZI" + IVZI",;;: l(u,d).~ 2" 1 '~ 1 •'Эйнштейн сказал бы:Sie haben demonstriert (wie ац( der fland gelegen haben sollte),dajJ mein A1-gument gegen Quanten Mechanik wissensc/шfilich stichhaltigist, "'eil es dш-ch Experiment fals({izierbar ist. Fйr die Systeme, dien > 2 haben, sind die Voraussagungen da lokдlen ve"teckten variahlenlheorie und Quanten Mechanik offenhar inkompatibel.

Lassen Sie unsein Experiment machen, ит zu йberprйfen, dajJ ich Recht habe 1..Под впечатлением эксперимента.Jьного свидетельства, ко1орос JJО;щср­живает квантовую мехаю1ку и опровергает теорию скрытых переменных,Эйнштейн бы ска.зал:Ach! Dieses ist -.·irklich mein grojJter Fehlg,·iff Es scheim, dajJ Gutttaf.'fachlich Wiiifel spielt'-.1Вы проде:монстрирова.'IИ (как это н должно бьпю бып.. очевидно), что мои аргументыnpontв квантовой :механики научно обоснованы, нока они не о1rрuвергнуты экспери:\Jснта.Jьно.ДШI системы из n2 частей nредсказания ,lОЮ!JtЬной теории скрытых перемскных и кяан­>товой механики, о•tсвидно, несовместимЪI. ДаВ<tй:те поставим жсперимент, '!tобы убедитьсяН ТОМ, ЧТО Я прав.··2Ах! :это поистине моя: самая большая ошибка.

Похоже, что Боr действительно играетв кости.PEIUFHИЯ УUРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ4.9.:Манипуляция запутываниема}Алисаможет связатькоманды4429с помощью обмена запутыванием.Я опишу этот процесс на я3ыке сосrояний и языке стабилизаrора. Суди­те сами, какой язык вокажется вам наиболее подходящим для э·шй задачи.Язык состояний. Начальным сосrоянием системы явдяетсяIA,Y, ,4,Р)=~(IOO)AIO)yiO)" + IJl)лll)yll)r +iiOJ) лiD)y 11) Р + llO) лli)yiO) р)-' _l_2-!2=[IФ+) А (IO),, IO) р +-ll)yl I) р) ++)л(IO)yll)p + IJ)yiO)p) +i IФ ЦIO)yiD)p -ll)yll)p)+l'l1 7+1'1,-)л(IO)yii)p- Щ,-IO)p)jАлиса измеряе:т два ее состояния н базисе Белла_ Затем она посьшает однойиз команд два полученных ей КJJассических бита. Тогда эта команда вы­полняет одну из С.lСJ!УЮЩИХ онераций.

J·арантирующих, что получающеесяв результате 50-кубитовое состояние явдяется кот-состояниемСостояниеДействиеIФ+),_____,Ничего не делает.IФ -)А_____,Один участник применяет1'11~).А_____,Ucellfг) А_____,cr z.участники применяют их.{ Вес участники применлил ихОдин участник применяет и zЯзык стабилизатора.

Исходным стабилизатором системы яв.ттяется 11Сrаби:шзаторы ~ симплектические коды:, корректирующие ошибки, рассматриваются- Прим. pf!iJ.в седьмой r.1аяе лекций, вошедшей во вторую часть этой книги.РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ430Янки(25кубитов)Святые отцыАлиса(25кубитов)Собственноезначение~~z z 11 z z111111+1+11111zzххххх+1+1+1+1111z 1z z111111111z1ххххх11z1Алиса измеряетZZ,+1+1затем ХХ, получая собственные значения aparи aph· После каждого измерения генераюры стабилизатора заменяютсятолько на те генераторы, которые коммутируют с измерением.

(Заметим,чтопроизведениедвухантикоммутирующихсизмереннемгенераторовкоммутирует с этим измерением.) Результирующим стабилизатором явля­ется (для ясноств две колонки Алисы сдвинуты виево)ЯнкиАлиса-СобственноеСвятые отцызначение~,.-л---...zzхх1ар,н1<>phz zz111-t-1z1+11z z1Q::par111z+1хххх"phРЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВF:4431.Цля того чтобы команды раздели.:JИ кот-сосrояние, Алиса должна со­общить одной из них собственные значения o:par и o:ph. llocлe чего этакоманда вынолняет о;~пу из снедующих операций, гарантирующих, чrо по­лучающийся в результате стабилизатор Янки и Святых Отцов имеет всесобственные значения равные+ 1 (вспомним,что операция А персводитгенератор стаби.:rnзатора М в АМА !):( CtEaPЬ)Действиеal.:'h)(+1,+1)---+Ничего не делает.(+1,-1)---+Один участник применяет(-1,+1)---+Вес участники применяют Х.(-1,-1)---+Z.{ Все участники применяют ХОдин участник применяет Z(1) Ес.•в Алиса имеет вспомогательный кубит,•.Имея вспомогательный кубит, Алиса может остапить команл:у в неко­rором смыс.'Iс в 1ом: же положении, что и в части (а).

Снова я опишу еедействия на языке состояний и я..1ыке стабилизатора.Язык состояний. А:шса готовит свой вспомогательный кубит в состоянииIA,)1= (IO)у'2+ 11) ).Следовательно, наqал_ьпым состоянием системы являетсяIA 1A 2 Y}=~(IOO)лiO)y + j1l)лll)y ++101) лiО)у + j10) лll)y)=2~ ~[/Ф 1 ).1 (jО)у + /l)v) ++IФ~) А (ID)y-II)y) ++jw+)л(IO)v + ji)v)--/Ф-Ц/О)v -II)v)]Л;шса измеряет два ее состояния в базисе Бе;1ла. (На самом деле ейнужно измерить то;~ько бит фазы.) Затем она посы,mет результат измере­ния оставшейся команде. Тоrда эта команда выполняет одну из следующихРЕШIШИЕ УПРАЖНЕНИЙ432операций, гарантирующих, что получающееся в результате 24-кубюовоссостояние является кот-состоянием:СостояниеДействиеIФ')л, IЧ~"'")л---*НичепJ не делаеr.IФ~)А, IЧJ )л---->ОдинучастникприменяетиzЯзык стабилизатора.A.m:lca готовит свой нспомогатслыrый кубит в соб­+ 1.

1 Начальным стабилизатором системы явля-ственном сосwянии Х ::етсяАшсаЯнки(24Собственноекубита)~,.___..___х111111хххz11zz+]+]+11~)111z+1значение~Алиса измеряет ХХ на ее двух кубитах, получая собственное значе­ние а. Новым стабшmзатором яв.1ЯетсяЯнкнАлисаСобственное(24)значение~ххх1~"'+11z z 11z z11+1+J~)1111z+]хххх"Алиса сообщает свое собственное значение et оставшейся команде, ко­торая выполняет одну из следующих операций, гарантирующих, что волу-1То ~t.'ТЬ в собственном состоянии опсрш:ора Х с собс·mенным значениемПpw.t.

ред+ 1.Рt:ШЕНИЯ УllРАЖШ-:НИЙ К ГЛАВЕ 4433чающийся в результате их стабили:.1юор имеет все собственные значения,равные+1:аДействие+1~Ничего не делает.-1---->Один участник применяетZ(П) ···~ а если она не нмее•· вспомогатеJJLНОГО кубита.Даже если Алиса не И'\о1ССт испомогательного кубита, прицеплявшсгосявыше, она по-прежнему может Jюю-шуть команду. Снова я опишу ее ,цсй­ствия (на обоих языках).Язык состояний.

Начальным состоянием системы являетсяIAY) ==~(IOJ,IO)y + ll),ll)y =~ [(10) 4 + II) 4 )(IO)y + II)y) + (IO) А- II),)(IO)y -ll)y)].Алиса измеряет стх на своем спине и посьL1ает результат оставшейсякоманде. Эта команда вынолняет одну из следующих операций, гаранти­рующих, что понучающссся в результате 24-кубитовое состояние являетсякот-состоянием:СостояниеДействие-------+Ничего не делает.-------+Один участник нрименяет и zЯзык стаби.""lизатора. Нача.1ЫIЫМ стабилизатором системы яw_тястсяАлисаЯнки(24Собственноскубита)значение,.-л-...~ххххzz11+1+]1zz1+!111z+!РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ434AJIИca измеряет Х на своем кубите, получая собстнспное значение а.Новым стаби~wзатщюм являетсяАлисаЯнкиСобственное(24)значение~~х11z z1 z z11+1+11111zхххх+1"'Алиса сообщает свое собственное значение а оставшсйся команде, которая выполняет одну из следующих операций, гарантирующих, что полу­чающийся в ре.зуш;rате их стабИJ""Iизаrор имеет все собственные значения,раnные+1:Действие<>+- 1--+Ничего не делает.-1---4Один участник применяетРешения упражнений к главе5.1.

Раз.:1вчимость веортоrопаш~ныхZ5состоянийВ отсутствие какой-JШбо предварительной информации, мы (как правовер­ные бейесиане) доджны прсдположи1ъ, ч·rо с ранной вероятностью Алисаготовит одво из состоянийlu}иl'v}.Пусть во всех частях этой задаЧи определены с~l.е;(ующие случайныепеременные:А = сосmяние, которое готовит Алиса,В = результат, который получает Боб.Пусть для краткости В принимает значения1, 2и.w3,соответствующиеприменяемому Бобом имерительному оператору, а А принимает значенияtt и 11, соответствующие приготавливаемым Алисой состояниям.llкаждойчасти этой задачи мы должны вычисли-л~ следующие ВС;Iичины 1 .(il )Р w1= {l(wiE;Iш}l 2 (ортогональное измерение)l(wiFilw}l 2 (ПОЗМ)'Консчно, учм'!Ъiвая связь J(B;A) =!А; В):__:: Il(A)- П(ЛjВ), вместо :УГОго ,J..JIЯ вы­числений можно выбратьH(AIB)и Н(А).РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ5435II(BIA) ~- I>(a,Ь)Iogp(Ьia) ~а,ЬL>(Ьia)p(a) logp(bla),= -а,ЬII(B) ~- I><a,Ь)Iogp(Ь) =а,Ь~- LP(Ьia)p(a) log (Lp(blc)p(c)),а,Ь!(В; А) =сJI(B)- II(BIA).а) Результатом исходной «фон нейманоRсКОй» стратегии Боба якiЯетсяприобретение с;Jсдующей информации.Вероятности:р(11и) =р(21и) ~О,1,р(и) =12'Ус~ювная энтропия:H(BIA)о 1og ( cos2 е)12.2=~-cos-221 .2е 1og ( .2~-sш-2е)2sш-2'Энтропия Шеннона:Н(В) =_.l2 (1 +cos2 ~)log [1 (1 +cos2 ~)]- lsin2 ~log (1sin 2 ~)2222222'Взаимная информация:l(B;A)=1-~(1f cosf cos2Ю log ( 1 + cos2 ~) + ~ cos2 ~ Iog ( cos2 *) =2~) н2(.1) ,J+cos 2 !1.2где Н2 (х)= -х Jogx- (1- х) log(l- х)- бЮ!арная функциJi энтропии.PFIUF.HИE УIТРАЖНЕНИЙ436Ь) Осущестюяя более симметричное измерение ПОЗМ, Боб рассчитываетувеличить приобретение информации.

Фактически мьт находим, что, посту­пая так, он на самом деле уменьшает приобретение информации.Вероятности:p(llu)p(2lv) =О,=О,.~'р(21и) ~ Аsш "оp(llv)р(:31и)p(Зiv) = 1- А f-=p(u) =2,1 -А+ А cos 2 ~'&·Р(<•)==A"in2,еА cos 2'ьУсловная энтрония:H(BIA)=-[Asiн 2 ~ log ( Asiн 2 о +( 1 ~.А+А cos 2 ~) log ( 1 - А + А cos2 ~)] .Энтропия IIIеннона:Н(В) ~ -[ Asin2~ log (~А siн 2 ~)+ (1-A+Acos2+~) log (1- A+Acos 2 IOJ·Взаимная информация:Г(В;А) ~·- [лsin 2 ~log~ t (1-А 1 Acos'~)log1] ~.