Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 73

В GL( N, С) существует N 2 линейно независимых матриц. чтоозначает, что prima [acie 2 $ зависит самое большее от 2N 2 (IV 2 ) ~ 2N4вещестпенных параметров.МатрицыMJLдолжны также удовлетворять условию нормировкиLмtм,, = 1.Это дает только"N 2 допоШIИтельныхсвязей, так как эрмнто во сонряженноеуравнение идентично записанному выше. Наконец, мы видели на лекции,чю наиболее общей неоднозначностъю в определении матриц М 11 являетсяунитарная перестаиовка операторов:M,u..-.......+U,u.",Mv.Так как существует самое большее N 2 матриц М", то И"" Е П(N 2 ) зави­сит от N 4 вещественных параметров. Таким образом, мы находим, что $зависит самое большее от 2N 4 - N 2· - N 4 = N 4 - N 2 вещественных пара­метров.В обоих подсчетах мы нaniШI, что $ зависит самое большее от N 4 - .N2вещественных параметров.3.4. Насколькобыстра декоrсревтнзация?а) Уравнение движения простого затухающего гармонического осциллятораимеет вид1G L( N, С) 1руппа невщюжденНЬiх матр1щ размерности N над полем кuмплексньсх чи­сел С.-Прим.

ред.2Primu facie (лат) - по первому виду, на первый взrл1д. - ЛpWtt. перев.РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 3395Мы ожидаем, что при слабом затухании средняя энергия осциллятора убы­вает экспоненциально:Таким образом, а.;иплитуда осцИЛJIЯций должна затухать как е -Ьt/ 2 m.Из классической механики шm откуда-нибудь еще :мы помним. что прислабом затухании добротность определяется как~ 271"Q~(ПOJrnaя энергияПотеря энергии за период)На лекции мы иапmи, чrо декогерентизация хорошо моделируется ка­налом затухания фазы.

Из основного уравнения /ЩЯ зrого канала сдедует,что недиагона.тьные в базисе когерентных состояний элементы матрицыпл:отности затухают какгде Г-темn рассеяния одного кванта осциллятора его окружением. Та­кой вид зюухания наводит на мысль иитерпретировюъ Г как коэффициентэффективной радиационной силы зюухания с добротностьюВремя дскоrерентизации системы по порядку величины представляетсобой время, за которое нс;щаrональные элемен1ЪI уменьшаются в е раз по.сравнению с их нача .-тьными значениями:tdecoh =2Гln~rnl 2·Данное в :Jадаче кот-состояние не выражается н базисе когерентных состоя­ний. Однако для сюiьно локализованных rауссовских волновых накеrов мыожидаем, что собственное состояние оператора уничrожения будет пример­но пропорционально собственному сосrоянию х-операrора:mw ( ,.

. .z. .-.. )а= ..jг---2n, x-t rnwP ,.-..Г)~ г;;;;((~)i (~)) ~~ {'fhг;;;;;(х) .,а ~ V'ihх + mw рРЬШЫIИЕ УПРАЖНЕНИЙ396Следовательно, мы ожидаем, что показателъ экспоненты недиаt'ОПЗЛЫIЫХзлемеН1-'ОВ матрицы мотиости будет иметь порядокln- ml 2 =mw lx-2h(-x)l 2 =2rru...;x2•".Теперь у нас есть все необходимое, ч-rобы вычислить время декогерен­тк~ации маятника:tdecah==2---'"---о2Гln-ml2Q'h.w(2mwx 2 )Qhmc.v2x2Ь) При нуленой температуре все уровни энер1ии осциллятора былп связаныс основн:ым состоянием окружения.

При конечной темперюурс n = k'Г coh"'стояний окружения дос·Jу:IТНЫ для взаимодействия 1. Таким образом, 1ю но­рял.ку веJШчины тем11 за1ухания становится вnраз быС'lрсе. Соответствен­но время д:екоrерентизации должно уменьшиться на эrот фактор:fdecoi,(T)~r';tdecoh(O) =ro- 34 J . s.. 1 с'to- 23 J . к ' . to 2 KМора.%: декогерентизация-очень быстра.

Это один из самых быст­рых известных в насrоящее время физических нроцессов.3.5. Затухание фазыа) Непосредственно видно, что Мо,две mшейно nезависимые матрицыMl 11(1им2 выражаются ТОЛJ>КО черезu 3 ).Э10 наводит на мыс.1.ь, чтовоз:можпо нредставление операторной суммы, испо~JЪзующее толы:.о два1Это справед.'Utво приkT»hw. -- Прим. ред.Р~ШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ к ГJJABE 3397оператора Крауса. (Фактически всегда, КОL)Щ набор операторов Крауса за­висит от п линейно не1ависимых матриц, можно lfайти nредставление опе­раторной суммы, исполь.1ующсе зтиnоператоров.)Посмотрим явно, как оnераторы М действуют на маrри•IУ плотносш робщеru видар __, М 0 рМЬ(1- р)р+ M,pMJ + М 2 рМ1 =р+ 4 (1(1- ~) Рt-1 о- 3 )р(1 ~о-,)+р4(1- o- 3 )p(l- о-3 ) --~<ТзР"зЗта форма nодсказывает выборNo=N,=~<rзв качестве операторов Крауса канала затухания фазы.

Действительно,N0и N 1 у!lовлетвор>LLОТ ус;ювию NbN 0 + N\N 1 ~ 1 и, с~едователъно, долж­ным образом нормированы.Ь) Соотношение М,,компонентU11a:~ U~aNa ,~аст с;тедующую систему уравнений дляГрy'J=P1 ~ U00 .гРV 1- 21-t-U01 \j~o-з,v (1г;;~ГР-1- "з) = U!Oy 1-д(l- о-,)= U20ГР2 1 + ULI у 2 о-3 ,Vl- ~1 + И21 ~ о- 3 •Сравнение коэффициентов при линейно нсзависимыхUoo=и и 3 11.аетv12- 2рР,2-Иш- V4 !' 2р'[!20 =1j !' 2р'4Uн =u2lj'f,-с -л.РЕШЕIШЕ УllРАЖНF.НИЙ398Осталось лишь дополнить матрицуlJдо унитарной, п01ребовав, чтобывсе ее строки и столбr1ы бьши взаимно ортогональны и нормированы:J/иоо/ 2 + /Иоt/ 2 1- /Ио,/ 2 ~ 1 * Ио2 =е'" 2 ~ р'/и10/' + /И11 /'i /и,,/ 2 ~_ 1*hlf 12 -е_ '"' у 2=Р'/И,о/ 2 + /И21 / 2 + /И22 / 2 = 1 * И22 = e''f+ Иi1 И12 + lf21 U22UaaUo, + UioИ12 t U;оИ"и;,v02*-О *=О[§,,* 'Р ~ 'lj;,~ -1 * О~ 'Р +е'('I'-Ф) = 1ei(&-<p)1r.Больше связей нет, следовательно, с rочнос'IЪЮ л;о неопределенной общейфазы(N 2~О не может иметь хорошо опреl\еленной фазы)fi - Р О -е'"' v2-pfi.v-2-pИ= J4JJ2p Л е'"'/§с_р- - [i2I е'"' ~v4-2pV2v~2с) Операторы Крауса для кана.п:а, имеющего унитарное нредстанление И АЕ•определяются какМ~'= (!LE/~AE/OE),где l.и) Е - ортого1lальные состояния окружения.

Мы можем обычным спо­собом сформироватъортогоналный базис окружения из {/0) Е> /'to) Е• i't 1) Е}­Одним из методов яв.."'I.Яется применение процесса Грама- Шмидта, но вме­сто этого я выберу базис, отражающий симметрию между/±)Е=а± (V2/ro)E ± /r,)E ) ,(±/±) = 1,2/а±/ (1 ± (ro/r,))*1=1,/'to) Еи/1 1 ) Е:РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К f'ЛЛВЕ3399В этом бюисе операторы Крауса имеют видМ 0 = (O"IИ,tEIOв)=yl=Pl,М±= (±в[ИАвiОв) =ор(1±(1-s)±[l±(J2[1 ±(1-s)lОр[1 ± (1 -f )] (21оо±1)-с)])-.О»и не похожи на операюры канала затухания фюы, но их можно иреобра­зовать в три таких оператора.

И даже более того, их можно преобрюоватьв два оператора, которые выглядят как операторы канала затухания фюы.Чтобы найти их, рассмотрим, как и в части (а), действие операторов Мо,±на произвольную матрицу rшотностиР ~ МорМ6 + М+рМ~р(2 -s)(1-р)р+Na =2+ М_рМ 1psp+тtrзPtrзг;-1JfV' -тl,В такой форме очевидно, что это оnераторы Крауса для канала зату­хания фа..%r, имеющего вероятность декогерентизации с его окружением,равную Ер. Обратим внимание на то, чrо нри е ----~>1мы воспроизводимканал затухания фюы из части (а), а nри е ~О затухание фюы исчезает.d)Uсли капал из (с) описывает рассеяние о·щельноrо фоrона, то мы име­ем Гscatt= рдt.

Но декоrерентизация возникает только тогда, когда окру­жение может различить результаты рассеяния, то есть Г decoh =донатеm.но,Г decoh = Е Г 6Catt ·spAt. Сле­400РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ3.6. Декогерентизациина сфере Блохаа) Под действием ~<анала заrухания фазы матрица Iшотности р ~ ~(1 t-t Р· if) эволюционирует как (исполиуя операторы Мм из задачи 3.5)р __,MorM6 + M1rMI + м,рмjР(1- р)р 1·1(1 !-и 3 )р(1( 1-~-+ и 3 ) + р4(1- u 3 )p(1 -а 3 )=~) Р + ~"зР"з =(1-~)r+~ [H1i-a3 (P 8)аз)] ~­(1- ~) р+ ~ [~(1- f>.if+2Р3 а3 )]! [(1 - ~ ~) 1+ ( 1 - ~ - ~) Р! [1-t (1-p)J'.a t-рР""з] ~tа 1 рРзи 3J -Hl+ (cl-p)P,,(!-p)P,,F~,) .ст]Таким образомj мы видим, что действие каиала затухания фа:зы сжима­ет сферу Б;юха, нревращая ее в вытянутый вдоль осивращения). Вьще;rснное положение осиzzсфероид (элиипсоидозначает, что канал заrуханин фа­зы действует в пекотором нредпочтитс::rьном базисе.Ь) Под действием канала заrухания амплитуды матрица плотности р эво­люционирует какр __, М 0 рМЬHU+ м,rмiy'lo-p)cl+Pif)U+4 [( ~ ':;')1 [( 1-• 2ООуТ=р(1 IP·if) () (1 + Р3t iP2Р1у'1о-р)]+::r ~ )]Р1- iP21 - Р3=)(1ОРЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАШ~ 3! [( ()о уР ) ( 1 + Р3 Р1 - iP2ОР1 + iP21 - Р3+2~)(401О,fP~)] ~I(Hf\+p-pP1 (P1 -iP2 )y'l-p)(Р1 + iP2 )y'l-p 1 -Р3 -р+рР3~2=~[1+(v"!"=PP1 ,,;J=PP2 ,Pз fp(l-P,)) а]Таким образом, мы видим, что действие канала затухания амплиrуды сжи­мает сферу Блоха в сплюснутый вдоль осиzэллипсоид вращения и сдви­гает ее вверх.с) Пщ~ /~сйствием «двойного канала Паулю> матрица шютности р эвОJJЮци­онирует какр ~ М 0 рМ6 + М 1 рМ1~+ M 2 pMj =(1- Р )Р+ 2<Т1Р<Т, + 2<ТзР<Тз ~рр=.(1-p)pt~[Hl+u 1 (Pd)u 1)+Hl+u3 (P(1-p)p+~[l-~P d+P1 u 1 -~Pdtд')u,)]=Г3 а 3]~ d- p1' u ]21 [(1- р + p)l + (1- р- р)Р~ ·а+ рР.2 2~ [11((1- р)Г1 , (1- 2р)Р2 , (1- р)Р3 ) а].Таки~ оfiразом, действие двойного канала Паули при р < ~ сжимаетсферу Блоха в СIL"ПОснутый вдоль оси у Э;mинсоид вращения, а при р > ~в вытянутый nдоль оси у инвертированный сфероид (однополосnтой гипер­болоид вращения).3.

7.ДеiСОI"ерентизация затухающего осциллятораа) Рассмотрим производную Х по времени:Х = tr [i>r(t)e-"•'e л•а] =~ Г tr [ ( ap1at - ~at ар 1 - ~ p 1at а) е"•' е-л •а] .PEIПRHИF УПРАЖНЕНИЙ402Чтобы упростить это выражение, мы хотим преобразовать два вторых сда­гасмых под знаком саеда к такому же виду, что и первое (с целью по воз­можности сократить их друг с другом). Это можно сделать, испо:JЪЗуя свой­ство инвариантности следа относительно циюшческих перестановак и ком­мутационные соотношения меЖ11У операторами уничтожения и рождения:[a,al]1,=[а, е""']= [a,atj a:t (е"•') = Ле"•',[е "'•, a!J:а (е-"'•) [а, al]==~л• е-"'•.Применяя :ни манипуляции к Х, найдемХ = Гtr [ ( ap 1 at ~ !ap1 (at ~Л')~ !(а+ Л)р 1 аt) е"• 1 е-"'•]=Or~ tr [Л* р 1 елаt ае-.\"'а - Лр 1 аt е>.а' е ->.•а J .лишних онератщюн рожж:ния и уничтожения можно избавиться,используя правила дифференпирования экспонент:ддЛ*сд->.*адЛ е=-ае..\а1 --.\*а,t ла'~а етаким обрюом, мы лолучаем для Х дифференцюыьное уравнение в част­ных производных:Х = ~!:2 tr [л·р 1 е"•' _j)__(е-"'•) + Лр1 !}__(е"•') е-"'•]дЛ'дЛ '== ~Iл•_j)__tt· [Р1 е"•' е-"'•] ~ !.:лд._tr[р 1е""' е·-''•] =2=ал•2 алГ ( Л , ддХдХ) .~2Л* +Л д,\Здесь я довольно бесцеремонно лереставю nорядок операций дифферен­цщювания и вычисления следа.