Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 72

Остаетсянычислитьтолько однослагаемое,самое правоеизприведеиныхвьnпе.,[ljiя этого имеется несколько способов. Возможно, проще всего показать,что блаrо,'l,аря спин-О симметрии синглеnюе состояние имеет один и mтже вид в mобом базисе, следовательно, мы можем выбрать систему коорди­нат, в коmройrTt=n=i.Z cos О -t- i si n (},(Ф-In ·О' л)0Более того, симметрия состояния позволяет ноложи1ътак что мы находимт· д'вiФ-) = (w-lиz ® uzii/J-) cos8+(1/J-Iu z 0+и xii/J-) siв /1 = -cos8,что дает ответЭтот результат интуитивно понятен. С большей вероятностью мы об­наруживаем снины антипараллелъными, так как матрица плотиости имеетбольшую сингJiспrую компоненту.

По этой же причине менее вероятно об­наружить спины параллельными. Вариация меж;::tу двумя возможностями,естественно, синусоидальная.Р lШПШИF. УПРАЖНЕНИЙ388Решения упражнений к rлаве3.1.РеОJ•иза•1ии ПОЗ:UПоскольку мы имеемв3N =n = ,1положите.;:Iьных оператора, дейс·rвующих2-мсрно\1 гильбертовам пространстве 'Н. то сог;~асно теореме Пай­марка эту IIOЗM можно расширить до <<ортогонального ИЗ\iерсния фонНейманю> 1 в n = 4-мерном гюьбертовом пространстве 'Ji ff!ltj_. Сдс.1аемэто путем расширения N ~ 2 проекторов до чсть•рех.

·фебуя ортонормиро­ванность состояний, из которых формируются эти проекторы. На лекt{ИЯХбы.1о показано, чrо с помощью следующс1u отображенияа=1, . .. ,n,вариант <<прямой суммЫ>> теоремы Наймарка можно преобразовать в вари­ант «тспзорного произвсдения».Есии венамагательная система прнrоrовлена в состоянииIO) в,то :ноотображение гарантирует, что даш.нейшая зво;ноция системы Л будет огра­ничена подпространством'lt.Разжриость расширенного тензорпым про­и3ведением пространства равнаN(n -Jl{+ 1),что в наше~1 случае рав­но шести.

Однако это не самое эффективное из нозможных 01uбрuжений.Мы можем использовать с;Iс,1уюrцее, более рациона.:rьное. отображенИе тойже самой размерности:а=1..... n.Очевидно, зто отображение также ограничивает систему А подпро­странствомнии/0) В•Н. ес.;~и всiJомогательная системаПриготовлена нсостоя­но размерность тензорного произведения ги~'Iьбертовых нро­странств теперь только2N = 4.·Чтобы найти IIЗИ.

сначала найдем расширение в прямую сумму иро­странств, а затем применим приRеденнос выше отображение. Состояния~ш.нк.;тючающими ПОЗМ, которую мы хоте:ш бы расширип,, являются1Некоторые авторы называют зтот тип измерения ПЗИ (проскrорпо-значное измерение).К их числу нринад.;Jежит и ав·юр, ПЗИ tupa..·щo более ясно, чем «ортоmнаm.ное измерение фонНеймана».РtШЕ::НИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 3389Чтобы расширить базис, удобнее и попятнее переписать их в спинорнойформе в 2-базисе, в коwром два после;хних состояния записываются с по­"tощью соотноШений 1Первым сосrоянием, которое будет расширено, являетсяi":\ 1).Един­ственным ограничением является нормировка, позrому мы можем расши­рить его с помощью нюб01о 2-спинора в'}-{-,имеющего норму1/2.Суще­ствует множество выборов, но реа.аьно разумны rолько те из них, у которыхили равна нулю одна компонента~ или обе компоненты имеют одинаковыезначения.

Я прол;емонстрирую, что по.;rучится, если выбрать расширениеенинора первого типа:lи,) =l/V2J .1/f(СледуЮщий Reкrop до.1жен быть орrогонюен предьщуrцему и такженормирован. С rочностью до произвольной фазы зrо фиксирует его расши­рение, которое мы можем применить. Вновь имеется тодько один разумныйвыбор, дающий тривиальную фазу:lи,) =-,-------(1/~J!/~ .1Записывая состояния таким обра:юм, я явно иснользую соr:пашение о фазе спинора.\-ф(O,I.fJ)) -- (~~'::i~i12 ). как э·ю oбы'ffio делается. Хотя cor.'luweниe о i<распрелелеmюйфазе)> l"l/.>(0, l.fJ)} =в1ix)иllx),."-•<?1 2(cosB/2)-~io.p/'1. siп0/ 2RЫГ.1Ядит более сим.\н:•Jрично, оно IJСдст к общим фазамкоторые труднее запомнюь и уж во всяком случае нефн.зичны.РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ390Два nоследних выбора полностью фиксируются требованиями ортогональ­ности и нормировки и имеют видlиз)=1/2 )1/2-1/2 ,(-1/2lи4)1/2 )-1/2-1/2 .(1/2=Теперь нужно применять наше отображение, чrобы прсобразонать эти«прямые суммы» состояний в тензорные произведения состояний.

То естьвзять нашу исходную систему А и ввести вспомогательную систему В та­ким образом, чтобы базисные состояния в НА ED нА~ отобразились на ба­зисные состояния в НА@ н вНепосредственная проверка показывает, чтоэrо получается,ecJmвыполнить следующее 01uбражснис базисных векто­ровгде введены обозначенияIO) в=1 Т,) в,11) в1Lz) в.Это позволяетзаписать проекторы в видеП, ~ lи,) (u,lс1 ооо1ооо4со~ ~о-!- 2о о1П, = lщ)(и,l=о1оооо=1т z x)(i z i х 1,~)~ll,T,)(l,lx 1,rПз = lиз)(изl=±( i111-1-1 -11 -1)-1-1 -1~1=1f xlx)(j xlx l,РЕШI::НИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 3=Дляwro,l (4~1-1-1ll]-1l-l-1l-1 1 )1 -1=391IJ.J,)(lxlx 1чrобы в исходной системе бъша реаJШзована ПОЗМ, вспомо~rате;11.ная система тлжна быть приl()товлена в состоянии1 Т z) в.Как упоминалось в ходе вывода, существует свобода в выборе путей,СJIСдовате.1ьно, возможны другие решения.3.2.

Обратимостьсупероператорова) Предположим, что сунерап ератор М имеет левый обратный супераnера­тор N такой, что N оМ =Т. Согласно теореме о представлен1<и Крауса Ми N имеют представления операторных сумм:М(р) = LM~pM1,раБолее того, представление операrорной суммы их композиции выражаетсяиа языке операторов R{ap) =LRia"JPRJa"JN.M":1=LN.M"p(N.M") ==LN.M,.pM~N! =NoM(p),арРF.ШRНИЕ УПРАЖНt:НИЙ392Но посколькуNоМ= Т, то операmры R{a~} одновременно должны бытьоператорами Крауса для тождественного сунероператора, имеющего триRи­а.оьное предстаюение Т(р) =lpl t.В наиболее общем случае операторыКрауса определены с точностыо до унитарного поворота; отсюда следует,что NaMp ~ ламl, где Лар- элемент унитарной МО'!рИЦЫ, а I: [Л,мf'' -_ 1арсогласно нормировке столбцов унитарной матрицы 1 •Ь) Используя rождествснную вставкуL NlNa=l и соотношение NaMJl:.

:;__а-о Ламl из части (а), получим требуемый результат:(6.2Ща(6.282)а(6.283)с) Из части (Ь) мы 1паем, чm мtмм ~ 'Уvм 1. Эmго достаmчно, чmбыrюказать nронорциональность ;(руг другу всех операторов М, посколькув этом случае разложение Крауса имеет всего одно слагаемое, ко·rорое в со­ответствии с нормировкой 11,олжно быть унитарным.Так как мы рассматриваем только иенулевые онераrоры, нам известно,что 'УvмfО.

Таким обра-зом 2 ,detM~Mм ~ det 'У~мl,detMtd~tMм ~ ('Yм~Jn,( det Мм)' det М,.f О,detM,. f О.1На самом деле требование унитарносm маrрицыраыенства Л/ о М(р) =NaMp. -:--: >." 1,1,I(p) -,\,J.tздесь излишне. Справедливостьр для любого оператора nлотности р 1ребует выполнениягде Лaft -элемент произволышй матрицы с единичной нормой Ги:Iьберта­l!lмидта, определяемой уравнениями(6.104), (6.105).Впрочем уже н следующем пункте ре111е­ния данной зада•m упитарность маtрицы Лар. не предполагается, в противном с."Iучае ~штрица'i'vp.• опреде;Iяемая как~ Л~v..\ар.

= 1-v!-1- была бы равна единичной матрице "'vp, _:___ bvp.·Прим.ред.2Здесь Iю втором равенстве n - размерносп, гиш,бертова nространства состояний рас­- Прим. ред.сматриваемой кнаН'L\JВой системы.J>J~IIIEHИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАНЕ 3СJJе;щватсльно, каждый из операторовMJ.L393должен быть обратим и, в част~н ости,М1М,. ~ '1,.,.1,M tj t_-ljtp,.м-tр. .Отсюда следует, что все онсраторы М нрОlюрциональпы друг другу:мtмJ.l·мvмtмр.= fvJ.ll,='YvJtM,пMv(lvvM~ )MJ.t = fuJLMv,1MJL3.3.

Как'lvl'= -;:;;-Mv.'""MIIOI о супероператоров?На лекции мы видели, что существует три эквива."Iентных способаустановить, что1. $2. $$является супероператором:нрсобразует матрицы плотности в матрицы плотности.является впшrnе положительным линейным отображением, сохра­няющим эрми·rовость и еле;~ своего аргумента.3. $имеет пре;1ставление операторвой суммы.Необходимо найти ко.nrчество степепей свободы$,исnо.ТhЗуя любойиз эmх критериев. Здесь я опишу подходы, исполь..1ующие только крите­рии(1)и(3). Dкаждом из этих •ю;tходов р рассматр11вается какNхNоператор шютности, который полностью описывает с\iешанное состояние(то есть ансамб.% чистых состояний) в N-мерном гильбертоном простран­стве.Матрица плотности р является эрмитовой матриr{сЙ с единичным еле~дом и, следовательно~ зависит от N 2-было бы ошибкой думать, что действие1 свободных параметров.

Однако$ сводится всего лишь к случай~ному нсрсмсшиванию этих параметров. Базис для р фактически являеl'СяN 2 -:vrерным, ар может быть записана как р ~ ~(l+а-Л), где л, представ­ляет собой 1\r 2этой записи,меняя б, но- 1 линейно независимых базисных матриц. Как видно из$ снособен не только случайно персмешивать матрицы Лi, из­также может отображать единицу на линейную комбинацию 1и Л:1 ) = -(11$ ( -122- t-(3-Л)1~1я нскоторого /].РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ394При таком подсчете количество свободных параметров равно (N 2 -1) 2для отображения Х и - N 2 - 1 для аффинного сдвига 1, что в сумме дает(N 2 -1) 2 +N 2 -1- N 4 -N 2 вещественных параметров.Если вы не убеждены в существовании аффинного сл.вига, то посмот~ритс, как сдпигается центр сферы Блоха под действием канала затуханияамюmуды в задачеПоскольку$3.6 Ь.имеет представление операторной суммы, мы можем за­писать$(р)=LM"pMt,"где каждый оператор М" Е GL(N,C) 1 зависит от 2N 2 вещественных параметров.