Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 74

PDF-файл Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 74 Квантовые вычисления (53151): Книга - 7 семестрДж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2: Квантовые вычисления - PDF, страница 74 (53151) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 74 страницы из PDF

Д"1Я данных целей я буду предполагать, чтоРЕШЕНИЯ УПРАЖНRНИЙ К ГЛАВЕ 34031десь все .относящиеся к делу фунщии равномерно непрерывны, так чтозта коммутация разрешена.Используя правило дифференцировашrя сложных функций (цепноеправило), мы можем заrrnсать для Х линейное уравнение в частных произ­водных с постоянными коэффициентами:·Хах= ~2г ( alnЛ'ах)t atnЛ ·Естественно предположюь, что решение зтого равнения является функциейот .'Iинейной комбинации его аргумснrо.в:Х = X(c>lnЛ* J-iilnЛ+;t).llодставляя этот аюац в уравнение, мы находим соотношение между коэф­фициентамичтu дает искомый скейлинговый закон:X(:i,t)~X(<>InЛ' 1 ,ВlnЛ~~(a-t !З)t)~ Х (а lп (Л*е-Г'/ 2 )=+ i3ln (ле-Г'/ 2 ))X(:i',O),Ь) Прежде чем начинать решение. следует заметить, что этот кот ненорма­лен не только в житейском смысле, но и в смысле борновсrой интерпрета­ции.

Чтобы должным образом нормИJЮвать :этоrо кота, нам нужно положитьравным единице «бра-кот кет-кот»:lcat)(catlcat)=Ny'2(la 1)INI'-((a= -2+ la,)),1 la 1)+ (a 1 l<>z) + (a 2 la 1) + (a 2 la 2 ))=1.Но вмесrо того чтобы опыекаться на дальнейшие детали нормщ:ювки эmгокота, я nросто замечу, что перед ним должен быть нормирующий множи­тель.Рьш~ниR УПРАЖНЕНий404Результаты части (а) показьшают, как связаны между собой след котаи оnераюра в мо~tент времениtс их следом в моментt= О. Однако опе­ратором под знаком следа яв.:1ястся оператор «смещения» Dл -=-- c>..al е~л•а,который переводит одно когерентное сосrояпис в другое.

Поскош.ку онс­раrор любой паб.nодаемой осциллятора можно разложить по этим операто­рам сдвю·а 1 , то временная эвоmоция кота полностью опреде.:mется те~f, каки:~:v~сняется во времени действие на вего зтих онсра1uров сдвига.Конкретнее, с01::шсно части (а):tr [icat(O))(cat(O)Ie"'•' е--'"•]~ tr[Pcat(t)e-'•' е-Л'•].В общем случае Pcat ( t) не обязано быть чистым: состоянием (фактическимы увидим, что оно им не явдяется), но до норы до времени будем пред­полагать его чистым. Это даст возможность иреобразовать с."Iеды в '"ште­~штические ожилания. С IЮмощью внуrреннего произведения когерентныхсостояний(сфЗ)=_-··~<р'з-(" '+11<.')/2е-е=- ~ (Jo.

2 _,_i/11 2 -2Rc(a* Р))1'--2io:·-,8ееilm(a:* /3)ilm(a*fJ)мы находим, чrо(cat(t)le >. а t е- >.* •1cat,(t))=(cat(O)Ie Л' • t е- Л'* •1cat(O)),1См., например. А. Peres, Quantum Тheory: Concept.s and Methods, Кluwer Academic1'\ew York et al, 2002.l0nepaтop сдвиrа D(..\), действуя на jO)- основное coCТOJI.HHeгармоническо1u оспи:mятора, иреобразует в IЛ) = D(Л)IO) - собстпснное состояние опера­PuЬlishers,тора упичтожени• а! Л) = ЛjЛ} (когсрспnюс состояние). Преобразование одного коrеtжншогосостояния в другое обеспечивает сшкон умножения операторов сдви1·а D(A)D(/l) = D(Л1 J.L) cxp[(ЛJI"' - ..\ *р,)/2].

На русском пьпrе с теорией кшеренmых состояний можно позна­+комиться по книгам И. А. Малкин, В. И. Манько, Диисv.tические симметрии и ~;:огерентиыеспстошщя квантовых cucm~t, М.: НаукаcocmfJянuя и ll.X при.менения,(1987). -( 1979);А. М. Переломов, Uбобщен.ные когеретпныеПр им. ред.]РLШШНИЯ УIIРАЖНЕНИЙ К ГЛАDЕ 3405Эти ~лагаемые можно бьuю бы почти сог:tасоватъ друг с друrом~ пред­налагая, что эволюция во времени преобразует чистое состояние в другоечистое~ но эrо ведет к ·юму, что недиагонааьные элементы не подходят другк другу:Чтобы исправить это несоотвстствие нсдиаrональных элементов:, мыдолжны потребовать~ чтобы недиаrональные компоненты шта затуха.mбыстрее диагона.:rы-Iых, как раз ба..1ис д.:м когерентных состояний яв.'1Ястсязю:ухающим. Это ведет к поJПiостыо перемсшивающей состояния эволюции:la,)(a,l--->[ate-Гt/2) ( йte-Гt/2j,l<>z)(a21--->la2e-Гt/2) \ о:2е-Гt/2,,la 1 )(a21-4(a,la2) (1-е-'') /а! е-Гt/2) \ а2е-Гt/21,1<>2)(a,l--->(<>zla,)(l-e г') /aze-Гt/2) ( a,"-rt/21·Таким образом, наш кот эво.:nоционирует в нечто бодее диагональное:lcat(O))(cat(O)IINI 2 (----> - ? -2INI2[1(a 1 1aJ(l-e-г') )ll J(l-e-г')(а 2 а 1+е1-~!а,-а,1 2 (1-е-Г')(ихcosе ()21t~++ <Туоiп021 (t))],I'J~C матрица п;ютности выше выражается в зависящем от времени бази­се=(/:~: ;::;~~ } а углы поворота021 (t)опреле;шются как1121 (t) =Im(<>2a 1 )(l- cr').Если мы рассматриваем затухание rолько недиаrональных элементов,то можно игнорировать фазу1121 (t).)(ля иременt«1/Г базисные состоя---------------------------РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ406ния остаются приблизите.'1ьно такими же:а амшштуды недиагопа.льных элементов экспоненциально затухают со нре­менем:Решения упражнений к главе4.1.

ТеоремаБоб и4ХардиKlJepделят множество идентично приготовленных копийcocm-яниягде х --вещественное число из интервала [О,1/2].а) Если Боб выпОJJНЯСТ измерение в башсе{10), /1) ), а Клер - в базисе{/'Р), /'P_j_) }, то всякий раз, когда ре.зультатом Боба ятiЯется /0), Клер полу­чает /'Р)- Вследствие симметрии подсистем в /tЬ) 80 , такая же картина будетнабJподаться, если Боб и Клер обменяются базисами.Тогда мы можем спроецировать рюделенное состояние наподсистеме, чтобы найти j<.p) в дру1uй подсистеме;(/О)вв(0/®1с)/Ф)вс ~=jO}в однойv'I -2х/0) 8 ®/0) 0 + .f:i'/0) 8 ® /l)c/0) 8 ® (v'l- Zx/0) 0 + .f:i'/1) 0 )~(/О)в в(О/ ® lc) /Ф)пс =/О) в® (N/'P)c)Нормируя проекцию, мы находимI'P)=J\-_ ~/О)+ J1 :._х /1).Рассмотрим некоторое нормированное состояние /х) =а/О)+ Ь/1), гдеа, Ь ЕIC.Поскольку(xJ.Ix) ~ (b(O/-a(l/)(a/0) +Ь/1)) =0,407РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4то ортопшальное ему нормированное состояние равноСJюдовательно, учитывая, что при х Еlxj_} = Ь* ]О} -а* /1}.[0, 1/2] коэффициенты вещественны,мы можем опрелслить/'Pj_)=J 1-хх /О)-р-2х/1 ),1-хЬ) Боб и Клер оба выбрали {/'fJ}, ]'Pj_}} в качестве базиса юмере­ния.

Вероятность Р(х) того, что результатом обоих измерений являет­ся I'P~ ), вычисляется как квадрат соответствующей ампшпудьr состоя­ния /Ф} в с:Мы можем вычисЛl1тьн('Р/®c('Pj_/=(Jl=:xв(OI-J\-_2;в(!/)0(J1:в('Рl j ..( .1®с'Р1c~1ххс(О/- ) \ --~ с{1/),/-xв(O®c{OJ+JX{l- 2х)1_хJ - 2х1 _xв(1/0c(1/-(в(О/0 с(1/ + в(1/0 0 {0]).Подсталовка разложений в('Pj_l ® с('Р 1 ] и /..Р)вс в базисе {/0), /1)}в определение Р(х) дает следующий результат:х2~1- 2хJx(1- 2х)1Р(х)= т::-;:v1-2х+ 1 _х ·(О)l-x(vx+vx)122xv'l=2Xl-x=Р(х) =1xv'1=2XI'1-хх 2 (1-2х)(1- ж)21-хРЕШЕНИН УПРАЖНЕНИЙ408с) Заметим, что Р(х);:"О при х Е[0, 1/2]и Р(О) ~ Р(1/2)= О. Таккак Р(х) непрерывна в этом интернале~ ее максимум достигается в нско·ю-__~df'(x)рои внуrреннеи критячеекои точке, удовлетворяющеп ус:ювию ----;;ь;- = О(или х):dP(x) = _d._dxdx2[х (1-2х] ~(1-х) 22х(1-х) 3[ 1 _ 4 х+Зх2t-x- 2x"],2х ( 2)х -3х+1.(1- х)·3Корнями приведеrшоtu выше квадратно1'0 ]рсхч.1ена являются .т-~(3 ±dP(x) _-d-·х"15).

Внутри О < х < 1/2 лежит топько одна критическая точка l'(x):.т = !(3- "15). 11одста&1ЯЯ ее значение в выражение ;щя Р(х), нахО!\ИМ1)max -·21 ("/0.::>у О - 11) •d) Если Р(х) не равна ну;но (что соответствует О<х< 1/2),то суще­ствует измеримое нарушение предсказания А;п.бсрта (и теоре"ы Хард")­Рассуж.цения А.:1ьберта пекоррсктпы на этапе комбшшрования резрьтатовдвух 11заимпо исключюо1цих экснерименrов. Наблюдаемые, соответствую­щие измерениям в различных бюисах, не кuммуiируют :между собой, тоесть не имеет смысла рассматривать систему общих собственных состоя­ний обеих наблюдаемых.

Коль скоро Боб (или Клер) выбирает и.змерениев бюисе {!О},11}},мы нико1да не сможем (с определенностью) узнать, ка­ким был бы результат измерения в бюисе {i'f'}, I'PJ.} }.Заметим, что одного запутывания недостаточно, чтобы опроверrnутьрассуждения Альберта. До тех пор, пока Альберт рассматривает толькокоммутирующие набшодаемые, он мо·жет построить теорию скрытых пе­ременных, чтобы обьяспить корреляции результатов измерений. Например,в случаях х =О их= 1/2 оба базиса становятся идентичными и, как пре!\­сказывал А;Iьберт, Р( х) ~ О-'4_2_Закрытие JJазейки деrектированниа) Выберем переменные х,х',у,у' Еху1{0, 1}.

Мы хотим покюать, чтоху' tx'y-x'y'(x+y:\fx)x',y,y'.1Заметим, что состояние 1~/J) в с, факюризуемое при хх =1/2. -Прим. ред.-=- О, остается '3аНушнным приРF.ШЕНИЯ УIIРАЖНlШИЙ К ГЛАНЕ 4Конечно, можно перебрать все16409возможностей. С другой сrороны, мымог.:ш бы воспользоваться перавенетвам КГПIХ (доказанным на лекциях),определив nеременвые а = 2хЗаметим, что а,oi, [3, ,В'- 1, а' = 2х'- 1• .В = 2у - 1, {3 1 = 2у' - 1.{ -1, 1}, Применим неравенство КГШХ:Е2 ) af3 + а{З'+ а'/З- (/ (1',2;:, (2х -1)(2у -1) + (2х -1)(2у' -1) ++(2х'- 1)(2у -1)- (2х' -1)(2у' -1),+ 1 + 4ху' - 2х - 2у' + 1 ++ 1- 4х'у' + 2х' 1, 2у'- 1,2:;?: 4ху + 4ху' + 4х у- 4х у - 4х- 4у + 2,2;:, 4[(ху + ху' + х'у- х'у')- (х + yJ] + 2,2 ;:, 4ху - 2х - 2у+4х'у- 2х'- 2у111О) (ху +ху' 1 х'у- х'у')- (х -t у),+ ху' + х'у- х'у' ,:; х +уСJiедовательно, ху\f х, х', у, у' Е {0, 1 },Ь) Предположим.

что существует лока.,r:rьная теория скрытых пере:\Iенных,описывающая результаты иыпо.lнясмых Анисой и Бобом измеренийNфо­тонных пар. Нусть персменные xi, х~: Yi, у: Е {О, 1} обозначают результатырегистрации фотонов i-й пары. А именно, xi, х~ Е {0, 1} обозначают, срабо­тал и:ш нет детектор A:rncы, ориентированный вдо.1ь оси а идиd'соответ­ственно. Аналогично переменвыеyi, у~ Е {0, 1} обозначают, сработал илинет детектор Боба, ориентированный вдоль оси Ь или Ь' соответственно,Каждый набор переменных х, х', у, у' должен удовдетворять .J.оказанномув части (а) соотношениюX.iYiСложимN+ XiY; + X~Yi -х~у: ~ Xi+ Yi ·неравенств, чтобы получитьNNL~)X1 Yi + xiy: + x;yi- х~у;) :::.;; L(xi + Yi),i=lNi=lNNNNLxiyi + Lxiy: + L:r~yi- Ех~у; ~LXi + LYi·i-1i=li=li-- 1i=lNi=ll(eJICПиe обеих частей на положительное целое число не меняет неравен­ство, поэтомуNN1~r Lxiyi + ~~ Lxiy~i=li=ltNNNNi=li=li=li=l~ Lx~Y1.- ~ Lx~y: ~ ~ Lxi + 1~ LYi·РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ410Выражения в лезой части этогонеравенства дают оценки вероятностейтопJ, что Алиса и Боб одновременно детектируют отдельную фотонную па­РУ (при опредепенном расположении нх детекторов).

Выражения в правойчасти дают оценки вероятностей тоrо, что Алиса или Боб независимо де­тектнруют фотон детекторами, ориентированными вдоль осей а и Ь соот­ветственно. ПустьNнастолько велико, что :пи оценки досtаточно близки ксоотвстствуюiцим нерояпюс1ЯМ скрытмх nеременных. Тогда мы nриходимк выводу, чтоРн (аЪ)+ Pн_(rtb')+ Рн(а'Ь)- Р, ,(а'Ь') ( Р,_ (а)+ Р+(Ь).с) Заметим, что базис состояний БeJUia {IФ 1 ), IФ-·), IФ+), IФ-)} удовдетво­ряетих® 11Ф+) ~ l'll+) ~1 ® uxiФ~),й'у G 1IФ+) = il'll-) = -1 ® uyiФ+),<Тz ® 11Ф+) ~ IФ-) =1 ® й'ziФ+).Таким образом, (Ф+ l& ·б® 1IФ+) ~-О= (Ф' 11 ® Ь · бiФ') при любых а, Ь.При данном единичном 3-векторс д.

операторные значения{ -1, +1},d · ifимеет собствен­соответствующие собственным состояниям куби­та, ориентированным ИШ1 антиnараллельно, JL'lll парал.аеsrьно оситор ~ ( 1 + азначениямиil.Оnера­· U) имеет те же собственные оостоя:ния, но с собственными{0, +1}.Математическое ожидание этого последнего операто­ра в точ•юсти совпадает с вероятностью срабатьmания ориентированногоВДОJIЬ ОСИ а деТСКГОра При уСЛОВИИ еГО ИдеаЛЬНОЙ эффеКТИВНОСТИ.Тшда мы можем выразить верояmость одновременного детектирова­ния Алисой и Бобом фотонов из разделенного состояния IФ+) при эффек­тивностях детектщюв rJл, 'Г/в:Рн(аЬ)= (Ф'1 17;(1+а а)® 17;(1+ь а)!Фt)=с= ' л4'~в (Ф+I10l+a u®1+l®b·u+(ii-u)®(b1=Р++(аЬ) ='7л4'7в1[1 +0+0+&· ь],''4 '1л'lв(1 +а· Ь).а)!Фt) ~РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4411Аналогичным образом находимР,.+(аЬ')=i'1л'1в(1 +а· Ь'),Р++(а'Ь) ~ i'lл'lв(l +а:.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее