Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 74
Описание файла
PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 74 страницы из PDF
Д"1Я данных целей я буду предполагать, чтоРЕШЕНИЯ УПРАЖНRНИЙ К ГЛАВЕ 34031десь все .относящиеся к делу фунщии равномерно непрерывны, так чтозта коммутация разрешена.Используя правило дифференцировашrя сложных функций (цепноеправило), мы можем заrrnсать для Х линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:·Хах= ~2г ( alnЛ'ах)t atnЛ ·Естественно предположюь, что решение зтого равнения является функциейот .'Iинейной комбинации его аргумснrо.в:Х = X(c>lnЛ* J-iilnЛ+;t).llодставляя этот аюац в уравнение, мы находим соотношение между коэффициентамичтu дает искомый скейлинговый закон:X(:i,t)~X(<>InЛ' 1 ,ВlnЛ~~(a-t !З)t)~ Х (а lп (Л*е-Г'/ 2 )=+ i3ln (ле-Г'/ 2 ))X(:i',O),Ь) Прежде чем начинать решение. следует заметить, что этот кот ненормален не только в житейском смысле, но и в смысле борновсrой интерпретации.
Чтобы должным образом нормИJЮвать :этоrо кота, нам нужно положитьравным единице «бра-кот кет-кот»:lcat)(catlcat)=Ny'2(la 1)INI'-((a= -2+ la,)),1 la 1)+ (a 1 l<>z) + (a 2 la 1) + (a 2 la 2 ))=1.Но вмесrо того чтобы опыекаться на дальнейшие детали нормщ:ювки эmгокота, я nросто замечу, что перед ним должен быть нормирующий множитель.Рьш~ниR УПРАЖНЕНий404Результаты части (а) показьшают, как связаны между собой след котаи оnераюра в мо~tент времениtс их следом в моментt= О. Однако оператором под знаком следа яв.:1ястся оператор «смещения» Dл -=-- c>..al е~л•а,который переводит одно когерентное сосrояпис в другое.
Поскош.ку онсраrор любой паб.nодаемой осциллятора можно разложить по этим операторам сдвю·а 1 , то временная эвоmоция кота полностью опреде.:mется те~f, каки:~:v~сняется во времени действие на вего зтих онсра1uров сдвига.Конкретнее, с01::шсно части (а):tr [icat(O))(cat(O)Ie"'•' е--'"•]~ tr[Pcat(t)e-'•' е-Л'•].В общем случае Pcat ( t) не обязано быть чистым: состоянием (фактическимы увидим, что оно им не явдяется), но до норы до времени будем предполагать его чистым. Это даст возможность иреобразовать с."Iеды в '"ште~штические ожилания. С IЮмощью внуrреннего произведения когерентныхсостояний(сфЗ)=_-··~<р'з-(" '+11<.')/2е-е=- ~ (Jo.
2 _,_i/11 2 -2Rc(a* Р))1'--2io:·-,8ееilm(a:* /3)ilm(a*fJ)мы находим, чrо(cat(t)le >. а t е- >.* •1cat,(t))=(cat(O)Ie Л' • t е- Л'* •1cat(O)),1См., например. А. Peres, Quantum Тheory: Concept.s and Methods, Кluwer Academic1'\ew York et al, 2002.l0nepaтop сдвиrа D(..\), действуя на jO)- основное coCТOJI.HHeгармоническо1u оспи:mятора, иреобразует в IЛ) = D(Л)IO) - собстпснное состояние операPuЬlishers,тора упичтожени• а! Л) = ЛjЛ} (когсрспnюс состояние). Преобразование одного коrеtжншогосостояния в другое обеспечивает сшкон умножения операторов сдви1·а D(A)D(/l) = D(Л1 J.L) cxp[(ЛJI"' - ..\ *р,)/2].
На русском пьпrе с теорией кшеренmых состояний можно позна+комиться по книгам И. А. Малкин, В. И. Манько, Диисv.tические симметрии и ~;:огерентиыеспстошщя квантовых cucm~t, М.: НаукаcocmfJянuя и ll.X при.менения,(1987). -( 1979);А. М. Переломов, Uбобщен.ные когеретпныеПр им. ред.]РLШШНИЯ УIIРАЖНЕНИЙ К ГЛАDЕ 3405Эти ~лагаемые можно бьuю бы почти сог:tасоватъ друг с друrом~ предналагая, что эволюция во времени преобразует чистое состояние в другоечистое~ но эrо ведет к ·юму, что недиагонааьные элементы не подходят другк другу:Чтобы исправить это несоотвстствие нсдиаrональных элементов:, мыдолжны потребовать~ чтобы недиаrональные компоненты шта затуха.mбыстрее диагона.:rы-Iых, как раз ба..1ис д.:м когерентных состояний яв.'1Ястсязю:ухающим. Это ведет к поJПiостыо перемсшивающей состояния эволюции:la,)(a,l--->[ate-Гt/2) ( йte-Гt/2j,l<>z)(a21--->la2e-Гt/2) \ о:2е-Гt/2,,la 1 )(a21-4(a,la2) (1-е-'') /а! е-Гt/2) \ а2е-Гt/21,1<>2)(a,l--->(<>zla,)(l-e г') /aze-Гt/2) ( a,"-rt/21·Таким образом, наш кот эво.:nоционирует в нечто бодее диагональное:lcat(O))(cat(O)IINI 2 (----> - ? -2INI2[1(a 1 1aJ(l-e-г') )ll J(l-e-г')(а 2 а 1+е1-~!а,-а,1 2 (1-е-Г')(ихcosе ()21t~++ <Туоiп021 (t))],I'J~C матрица п;ютности выше выражается в зависящем от времени базисе=(/:~: ;::;~~ } а углы поворота021 (t)опреле;шются как1121 (t) =Im(<>2a 1 )(l- cr').Если мы рассматриваем затухание rолько недиаrональных элементов,то можно игнорировать фазу1121 (t).)(ля иременt«1/Г базисные состоя---------------------------РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ406ния остаются приблизите.'1ьно такими же:а амшштуды недиагопа.льных элементов экспоненциально затухают со нременем:Решения упражнений к главе4.1.
ТеоремаБоб и4ХардиKlJepделят множество идентично приготовленных копийcocm-яниягде х --вещественное число из интервала [О,1/2].а) Если Боб выпОJJНЯСТ измерение в башсе{10), /1) ), а Клер - в базисе{/'Р), /'P_j_) }, то всякий раз, когда ре.зультатом Боба ятiЯется /0), Клер получает /'Р)- Вследствие симметрии подсистем в /tЬ) 80 , такая же картина будетнабJподаться, если Боб и Клер обменяются базисами.Тогда мы можем спроецировать рюделенное состояние наподсистеме, чтобы найти j<.p) в дру1uй подсистеме;(/О)вв(0/®1с)/Ф)вс ~=jO}в однойv'I -2х/0) 8 ®/0) 0 + .f:i'/0) 8 ® /l)c/0) 8 ® (v'l- Zx/0) 0 + .f:i'/1) 0 )~(/О)в в(О/ ® lc) /Ф)пс =/О) в® (N/'P)c)Нормируя проекцию, мы находимI'P)=J\-_ ~/О)+ J1 :._х /1).Рассмотрим некоторое нормированное состояние /х) =а/О)+ Ь/1), гдеа, Ь ЕIC.Поскольку(xJ.Ix) ~ (b(O/-a(l/)(a/0) +Ь/1)) =0,407РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4то ортопшальное ему нормированное состояние равноСJюдовательно, учитывая, что при х Еlxj_} = Ь* ]О} -а* /1}.[0, 1/2] коэффициенты вещественны,мы можем опрелслить/'Pj_)=J 1-хх /О)-р-2х/1 ),1-хЬ) Боб и Клер оба выбрали {/'fJ}, ]'Pj_}} в качестве базиса юмерения.
Вероятность Р(х) того, что результатом обоих измерений является I'P~ ), вычисляется как квадрат соответствующей ампшпудьr состояния /Ф} в с:Мы можем вычисЛl1тьн('Р/®c('Pj_/=(Jl=:xв(OI-J\-_2;в(!/)0(J1:в('Рl j ..( .1®с'Р1c~1ххс(О/- ) \ --~ с{1/),/-xв(O®c{OJ+JX{l- 2х)1_хJ - 2х1 _xв(1/0c(1/-(в(О/0 с(1/ + в(1/0 0 {0]).Подсталовка разложений в('Pj_l ® с('Р 1 ] и /..Р)вс в базисе {/0), /1)}в определение Р(х) дает следующий результат:х2~1- 2хJx(1- 2х)1Р(х)= т::-;:v1-2х+ 1 _х ·(О)l-x(vx+vx)122xv'l=2Xl-x=Р(х) =1xv'1=2XI'1-хх 2 (1-2х)(1- ж)21-хРЕШЕНИН УПРАЖНЕНИЙ408с) Заметим, что Р(х);:"О при х Е[0, 1/2]и Р(О) ~ Р(1/2)= О. Таккак Р(х) непрерывна в этом интернале~ ее максимум достигается в нско·ю-__~df'(x)рои внуrреннеи критячеекои точке, удовлетворяющеп ус:ювию ----;;ь;- = О(или х):dP(x) = _d._dxdx2[х (1-2х] ~(1-х) 22х(1-х) 3[ 1 _ 4 х+Зх2t-x- 2x"],2х ( 2)х -3х+1.(1- х)·3Корнями приведеrшоtu выше квадратно1'0 ]рсхч.1ена являются .т-~(3 ±dP(x) _-d-·х"15).
Внутри О < х < 1/2 лежит топько одна критическая точка l'(x):.т = !(3- "15). 11одста&1ЯЯ ее значение в выражение ;щя Р(х), нахО!\ИМ1)max -·21 ("/0.::>у О - 11) •d) Если Р(х) не равна ну;но (что соответствует О<х< 1/2),то существует измеримое нарушение предсказания А;п.бсрта (и теоре"ы Хард")Рассуж.цения А.:1ьберта пекоррсктпы на этапе комбшшрования резрьтатовдвух 11заимпо исключюо1цих экснерименrов. Наблюдаемые, соответствующие измерениям в различных бюисах, не кuммуiируют :между собой, тоесть не имеет смысла рассматривать систему общих собственных состояний обеих наблюдаемых.
Коль скоро Боб (или Клер) выбирает и.змерениев бюисе {!О},11}},мы нико1да не сможем (с определенностью) узнать, каким был бы результат измерения в бюисе {i'f'}, I'PJ.} }.Заметим, что одного запутывания недостаточно, чтобы опроверrnутьрассуждения Альберта. До тех пор, пока Альберт рассматривает толькокоммутирующие набшодаемые, он мо·жет построить теорию скрытых переменных, чтобы обьяспить корреляции результатов измерений. Например,в случаях х =О их= 1/2 оба базиса становятся идентичными и, как пре!\сказывал А;Iьберт, Р( х) ~ О-'4_2_Закрытие JJазейки деrектированниа) Выберем переменные х,х',у,у' Еху1{0, 1}.
Мы хотим покюать, чтоху' tx'y-x'y'(x+y:\fx)x',y,y'.1Заметим, что состояние 1~/J) в с, факюризуемое при хх =1/2. -Прим. ред.-=- О, остается '3аНушнным приРF.ШЕНИЯ УIIРАЖНlШИЙ К ГЛАНЕ 4Конечно, можно перебрать все16409возможностей. С другой сrороны, мымог.:ш бы воспользоваться перавенетвам КГПIХ (доказанным на лекциях),определив nеременвые а = 2хЗаметим, что а,oi, [3, ,В'- 1, а' = 2х'- 1• .В = 2у - 1, {3 1 = 2у' - 1.{ -1, 1}, Применим неравенство КГШХ:Е2 ) af3 + а{З'+ а'/З- (/ (1',2;:, (2х -1)(2у -1) + (2х -1)(2у' -1) ++(2х'- 1)(2у -1)- (2х' -1)(2у' -1),+ 1 + 4ху' - 2х - 2у' + 1 ++ 1- 4х'у' + 2х' 1, 2у'- 1,2:;?: 4ху + 4ху' + 4х у- 4х у - 4х- 4у + 2,2;:, 4[(ху + ху' + х'у- х'у')- (х + yJ] + 2,2 ;:, 4ху - 2х - 2у+4х'у- 2х'- 2у111О) (ху +ху' 1 х'у- х'у')- (х -t у),+ ху' + х'у- х'у' ,:; х +уСJiедовательно, ху\f х, х', у, у' Е {0, 1 },Ь) Предположим.
что существует лока.,r:rьная теория скрытых пере:\Iенных,описывающая результаты иыпо.lнясмых Анисой и Бобом измеренийNфотонных пар. Нусть персменные xi, х~: Yi, у: Е {О, 1} обозначают результатырегистрации фотонов i-й пары. А именно, xi, х~ Е {0, 1} обозначают, сработал и:ш нет детектор A:rncы, ориентированный вдо.1ь оси а идиd'соответственно. Аналогично переменвыеyi, у~ Е {0, 1} обозначают, сработал илинет детектор Боба, ориентированный вдоль оси Ь или Ь' соответственно,Каждый набор переменных х, х', у, у' должен удовдетворять .J.оказанномув части (а) соотношениюX.iYiСложимN+ XiY; + X~Yi -х~у: ~ Xi+ Yi ·неравенств, чтобы получитьNNL~)X1 Yi + xiy: + x;yi- х~у;) :::.;; L(xi + Yi),i=lNi=lNNNNLxiyi + Lxiy: + L:r~yi- Ех~у; ~LXi + LYi·i-1i=li=li-- 1i=lNi=ll(eJICПиe обеих частей на положительное целое число не меняет неравенство, поэтомуNN1~r Lxiyi + ~~ Lxiy~i=li=ltNNNNi=li=li=li=l~ Lx~Y1.- ~ Lx~y: ~ ~ Lxi + 1~ LYi·РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ410Выражения в лезой части этогонеравенства дают оценки вероятностейтопJ, что Алиса и Боб одновременно детектируют отдельную фотонную паРУ (при опредепенном расположении нх детекторов).
Выражения в правойчасти дают оценки вероятностей тоrо, что Алиса или Боб независимо детектнруют фотон детекторами, ориентированными вдоль осей а и Ь соответственно. ПустьNнастолько велико, что :пи оценки досtаточно близки ксоотвстствуюiцим нерояпюс1ЯМ скрытмх nеременных. Тогда мы nриходимк выводу, чтоРн (аЪ)+ Pн_(rtb')+ Рн(а'Ь)- Р, ,(а'Ь') ( Р,_ (а)+ Р+(Ь).с) Заметим, что базис состояний БeJUia {IФ 1 ), IФ-·), IФ+), IФ-)} удовдетворяетих® 11Ф+) ~ l'll+) ~1 ® uxiФ~),й'у G 1IФ+) = il'll-) = -1 ® uyiФ+),<Тz ® 11Ф+) ~ IФ-) =1 ® й'ziФ+).Таким образом, (Ф+ l& ·б® 1IФ+) ~-О= (Ф' 11 ® Ь · бiФ') при любых а, Ь.При данном единичном 3-векторс д.
операторные значения{ -1, +1},d · ifимеет собственсоответствующие собственным состояниям кубита, ориентированным ИШ1 антиnараллельно, JL'lll парал.аеsrьно оситор ~ ( 1 + азначениямиil.Оnера· U) имеет те же собственные оостоя:ния, но с собственными{0, +1}.Математическое ожидание этого последнего оператора в точ•юсти совпадает с вероятностью срабатьmания ориентированногоВДОJIЬ ОСИ а деТСКГОра При уСЛОВИИ еГО ИдеаЛЬНОЙ эффеКТИВНОСТИ.Тшда мы можем выразить верояmость одновременного детектирования Алисой и Бобом фотонов из разделенного состояния IФ+) при эффективностях детектщюв rJл, 'Г/в:Рн(аЬ)= (Ф'1 17;(1+а а)® 17;(1+ь а)!Фt)=с= ' л4'~в (Ф+I10l+a u®1+l®b·u+(ii-u)®(b1=Р++(аЬ) ='7л4'7в1[1 +0+0+&· ь],''4 '1л'lв(1 +а· Ь).а)!Фt) ~РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 4411Аналогичным образом находимР,.+(аЬ')=i'1л'1в(1 +а· Ь'),Р++(а'Ь) ~ i'lл'lв(l +а:.