Диссертация (Исследование свойств регулярных экстремалей в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями)

Министерство образования и науки Российской ФедерацииФедеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования “Российский университет дружбы народов”На правах рукописиГорбачева Анна ВикторовнаИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ РЕГУЛЯРНЫХ ЭКСТРЕМАЛЕЙВ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯС ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ01.01.02 - дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеДИССЕРТАЦИЯна соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель: докторфизико-математических наукД. Ю.

КарамзинМосква – 20162СодержаниеВведение13Исследование регулярных экстремалей в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями111.1 Постановка задачи и основные определения . . . . . . . . . . . . .121.2 Гельдеровость µ2 (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.3 Ослабление условий регулярности . . . . . . . . .

. . . . . . . . .361.4 Липшицевость µ2 (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472 О некоторых свойствах кратчайшей кривой в сложной области 542.1 Вспомогательный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .552.2 Уравнение кратчайшей для сложной области . . . . . . . . . . . .603 Исследование вариационных систем общего вида673.1 Критерий метрической регулярности и модифицированный вариационный принцип Экланда . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .673.2 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Заключение75Список условных обозначений76Литература773ВведениеНастоящая диссертационная работа посвящена изучению задач оптимального управления с различными типами ограничений, включая фазовые ограничения типа равенств и неравенств. Задача оптимального управления по своейпостановке является дальнейшим развитием и обобщением классической задачи вариационного исчисления.

Приведем некоторые аспекты истории развитиятеории вариационного исчисления и оптимального управления.Вариационное исчисление как научная дисциплина начала развиваться вконце XVII века. В 1687 году Иссак Ньютон сформулировал и опубликовал одну из первых задач вариационного исчисления. Ньютон поставил следующийвопрос: “тело, образующееся при вращении кривой вокруг оси при движении вупомянутой среде [...] будет испытывать меньшее сопротивление, нежели всякое иное тело вращения при той же высоте и наибольшей ширине.” [48].

Ещетри задачи, такие как задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях,изопериметрическая задача, оказали большое влияние на развитие вариационного исчисления. В 1696 И. Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне,т. е. задачу о нахождении кривой в вертикальной плоскости, по которой поддействием силы тяжести из заданной точки с заданной начальной скоростью взаданную конечную точку движующееся тело приходит за кратчайшее время.Эту задачу пытались решить многие математики XVII века – Галилео, Лейбниц,Лопиталь, Ньютон, братья Якоб и Иоанн Бернулли, но впервые данная задачабыла решена Я. Бернулли. В работах Эйлера и Лагранжа был дан общий метод решения задач такого типа.

Общие методы решения изопериметрическихзадач, т. е. в которых длина кривой фиксирована, разработал Эйлер. В развитие вариационного исчисления внесли большой вклад Вейерштрасс, Гамильтон,Лагранж, Лежандр, Эйлер, Якоби, Гаусс, Остроградский, Пуассон, Больц, Кнезер, Блисс, Морс и другие (см., например, [30] – [32], [50]).4Однако, в середине двадцатого века было замечено, что многие задачи техники (в частности, задача Ньютона), экономики и других прикладных областей,использующих математические средства, не укладываются в рамки вариационного исчисления. Поэтому в двадцатом веке вариационное исчисление получаетдальнейшее развитие в рамках оптимального управления. Задачи оптимального управления рассматривались на семинарах Л.

С. Понтрягина в пятидесятыегоды прошлого века. Понтрягин вместе со своими учениками сформулировали доказал принцип максимума (соотношения, выражающие необходимые условия сильного экстремума для неклассической вариационной задачи или задачиоптимального управления), который в дальнейшем получил название “принципмаксимума Понтрягина” (см. [49]).Впоследствии были изучены необходимые условия оптимальности в задачах управления с фазовыми ограничениями в форме Понтрягина.

В 1959 годудля таких задач необходимые условия были впервые получены Р. В. Гамкрелидзе (см. [17], [18]) и затем опубликованы в классической монографии [49].Р. В. Гамкрелидзе доказал принцип максимума при некоторых предположениях регулярности оптимальной траектории. Позднее, А. Я. Дубовицким и А. А.Милютиным был доказан другой принцип максимума для задач с фазовымиограничениями (см. [33]). В этой работе необходимые условия оптимальностибыли получены без условий регулярности оптимальной траектории. Позже в работе А. В. Арутюнова и Н. Т.

Тынянского (см. [4]) было показано, что принципмаксимума в форме А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина может вырождаться, и были предложены условия, которые гарантировали его невырожденность.Это теория получила дальнейшее развитие в работах (см. [5] – [7], [35], [38],[76]). В целом по теории задач с фазовыми ограничениями имеется огромныймассив публикаций (см. [1], [4], [8] – [11], [17] – [19], [29], [36], [40] – [46], [52] –[57], [61], [65], [66], [70] – [75], [77] – [78].)5Большой вклад в развитие теории задач управления с фазовыми ограничениями внесли Арутюнов А.

В., Асеев С. М., Благодатских В. И., ГамкрелидзеР. В., Дубовицкий А. Я., Дубовицкий В. А., Зеликин М. И., Куржанский А. Б.,Матвеев А. С., Милютин А. А., Осипов Ю. С., Половинкин Е. С., ТынянскийН. Т., Clarke F., Ferreira M. M., Pereira F. L., Russak I. B., Vinter R. V. и другие.Объектом исследования диссертационной работы являются задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств,кратчайшая кривая, вариационная система.Предметом исследования являются необходимые условия оптимальности в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств; свойства функции распределения меры-множителя Лагранжа; свойства кратчайшей кривой в сложной области; вариационные принципы;свойства вариационных систем.В первой главе исследуется свойство непрерывности меры-множителя Лагранжа из принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств.

При определенных предположениях регулярности, наложенных на экстремальную траекторию, доказано, чтофункция распределения меры-множителя Лагранжа гельдерова. Если вдобавок к условиям регулярности предполагается выполненным усиленное условиеЛежандра, то мера оказывается уже абсолютно непрерывной, а ее функцияраспределения даже липшицевой.

Основные результаты первой главы опубликованы в [23] – [27].Во второй главе некоторые результаты Главы 1 получают дальнейшее развитие и приложение к исследованию свойств кратчайшей кривой в сложнойобласти. Под сложной областью понимается область, задаваемая регулярнойсистемой ограничений типа равенств и неравенств. Основные результаты второй главы опубликованы в [20], [21], [28].6В третьей главе исследуются вариационные системы общего типа, доказывается некоторый модифицированный вариационный принцип Экланда, и сего помощью критерий метрической регулярности. Рассматриваются приложения к исследованию свойств управляемости дифференциальных управляемыхсистем с ограничениями. Основные результаты третьей главы опубликованы в[22].Методы исследования.Для решения поставленных задач использовались методы функционального анализа, вариационного анализа, многозначного анализа, выпуклого анализа, математического анализа, нелинейного анализа, теории функций вещественной переменной, теории экстремума.Актуальность работы.Актуальность диссертационного исследования прежде всего обусловленатем, что теория задач оптимального управления с фазовыми ограничениямиявляется современным и широко исследуемым разделом математики.

Значимым вопросом теории задач оптимального управления с фазовыми ограничениями является исследование экстремалей принципа максимума Понтрягина.Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями имеют широкийспектр различных инженерных приложений. Данная диссертационная работапосвящена исследованию свойств регулярных экстремалей в задачах с фазовыми ограничениями.Цель диссертационной работы.Основной целью диссертационной работы является исследование необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств, свойств функции распределениямеры-множителя Лагранжа и приложений полученных результатов к изучениюсвойств кратчайшей кривой.7Задачи диссертационной работы.• Исследование достаточных условий непрерывности функции распределения меры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина длязадач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенстви неравенств.• Исследование достаточных условий липшицевости функции распределениямеры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенстви неравенств.• Исследование свойств кратчайшей кривой в сложной области.• Исследование вариационных систем общего вида.Научная новизна.Все результаты, полученные в работе, являются новыми.

В диссертационной работе получены новые результаты, касающиеся свойств регулярных экстремалей Понтрягина в задачах с фазовыми ограничениями типа равенств инеравенств, и свойств кратчайших кривых в сложной области. Получены новые результаты, касающиеся исследования вариационных систем общего вида.Теоретическая и практическая значимость.Диссертационная работа носит в основном теоретический характер. В работе исследуются свойства функции распределения меры-множителя Лагранжаиз принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления в видеравенств и неравенств. Вопрос о непрерывности и абсолютной непрерывностимеры-множителя Лагранжа является важным для различных приложений, вчастности для некоторых проблем механики и задач кинематического управления (см., например, [51, 59, 60]).