Автореферат (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике)

На правах рукописиКулябов Дмитрий СергеевичКОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ВМАКСВЕЛЛОВСКОЙ ОПТИКЕ05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы икомплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степенидоктора физико-математических наукМосква — 2017Работа выполнена на кафедре прикладной информатики и теории вероятностей Российского университета дружбы народовНаучныйконсультант:Профессор кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН, докторфизико-математических наук, профессорСевастьянов Леонид АнтоновичОфициальныеоппоненты:Декан математического факультета ТГУ,доктор физико-математических наук, профессорЦирулёв Александр НиколаевичГлавный научный сотрудник ВЦ ФИЦ ИУРАН, доктор физико-математических наук,профессорАбрамов Сергей АлександровичЗаведующий кафедрой математического икомпьютерного моделирования СГУ, докторфизико-математических наукБлинков Юрий АнатольевичВедущаяорганизация:Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (НИЯУ МИФИ)Защита состоится «13» октября 2017 г.

в 15 ч. 30 мин на заседаниидиссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университетедружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, ауд. 110.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва,ул. Миклухо-Маклая, д. 6.(Отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу.)Автореферат разослан «» сентября 2017 г.Учёный секретарьдиссертационного советак.

ф.-м. н., доцентС. А. Васильев1Общая характеристика работыАктуальность темы исследованияАвтором проводится построение геометрического описания уравнений Максвелла в терминах расслоенных пространств. Описываютсяразные варианты тензора проницаемостей и, соответственно, предлагаются варианты геометризации уравнений Максвелла. В частностивыделяется вариант геометризации на основе квадратичной метрики,приводящий к уравнениям Янг–Миллсовского типа.Также предлагается переформулировка задачи построения гамильтонова формализма уравнений Максвелла для случая полей без источников, что позволяет использовать симплектический гамильтоновформализм.Описанный формализм демонстрируется в применении к задачамтрансформационной оптики и расчёта линз.

Аналитические расчётыверифицируются с помощью численных методов.Имея в виду практическую задачу проектирования оптическихприборов и устройств субволнового диапазона решается проблема геометризации уравнений оптики разного уровня: геометрической оптики, волновой скалярной оптики, уравнений Максвелла. Максвелловская оптика учитывает векторный характер электромагнитного излучения в оптическом диапазоне.Для проведения расчётов в области оптики (расчёт линз, трансформационная оптика) и электродинамики в целом перспективнымпредставляется метод геометризации уравнений Максвелла. При этомможно геометризовать как само поле, так и взаимодействие поля с веществом. Основная идея заключается в переводе материальных уравнений Максвелла, а именно диэлектрической и магнитной проницаемости, в эффективную геометрию пространства-времени.В XIX-ом и XX-ом веках идея геометризации являлась одной измагистральных идей физики.

Геометризацией электромагнитного поля занималось большое количество учёных. Работы Вейля, Фока,2Калуцы–Клейна находились в русле исследований единой теории поля. Однако электромагнитное поле в данных работах рассматривалоськак электромагнитное поле в вакууме, то есть влияние среды не учитывалось. Были разработаны конструкции с одним полевым тензором.Поэтому многие идеи данных исследователей были включены в теорию Янга–Миллса.Тогда же возникло направление, занимавшееся геометризациейсобственно материальных уравнений. Это работы Мандельштама,Тамма, Плебаньского, де Феличе и др.

Это направление развивалосьбез чётко сформулированных идейных и целевых посылок. Оно нашло своё применение в приложении к теории гравитационных линз, апозднее в применении к трансформационной оптике. В обоих приложениях результирующие конструкции были излишне формальными.Например, в публикациях по трансформационной оптике эта реализация является набором рецептов, сделанных под конкретные случаи.Что, естественно, приводит к появлению статей, пытающихся обосновать (или переформулировать) трансформационную оптику.При описании электромагнитного поля обычно используют два тензора. Для обобщения конструкции Янга–Миллса на полевую теорию сдвумя тензорами необходимо геометризовать взаимосвязь между этими тензорами.

Если опираться на обычное представление теории Максвелла, когда тензоры F и G имеют варианты как с нижними, так и сверхними индексами, то создаётся впечатление, что на некотором многообразии одновременно заданы два касательных расслоения, связанных некоторым образом между собой, на которых и заданы тензорыF и G.Можно выделить два аспекта геометризации уравнений оптики.Первый аспект геометризации уравнений оптики заключается в геометризации материальных уравнений Максвелла. Второй аспект геометризации уравнений оптики заключается в последовательном геометрическом подходе к решению уравнений Максвелла, а именно клагранжеву и гамильтонову подходам.Однако в открытой печати, к сожалению, не решены систематиче-3ски проблемы геометризации уравнений оптики (геометрической, волновой, максвелловской).

Это делает актуальным диссертационноеисследование.Цели диссертационной работы1. Получение геометризованных уравнений Максвелла.Одной из целей диссертации является получение геометризованных уравнений Максвелла. Геометризация материальных уравнений Максвелла позволяет изменить взгляд на прямую и обратнуюзадачу оптики. В традиционном подходе нахождение траекториилучей по параметрам среды можно назвать прямой задачей оптики,а нахождение параметров среды по заданным траекториям лучей —обратной. И обратная задача сложнее прямой. В геометризованойоптике эти задачи меняются местами. Прямая задача — нахождениедиэлектрической и магнитной проницаемости по заданной эффективной геометрии (по траекториям лучей), обратная — нахождениеэффективной геометрии по диэлектрической и магнитной проницаемости.

Сложность обеих задач сопоставимая.2. Реализация геометрического подхода к решению полевыхуравнений Максвелла.Второй целью диссертации является реализация геометрическогоподхода к решению собственно полевых уравнений Максвелла. Прирешении полевых задач, в частности задач электродинамики, используются лагранжев и гамильтонов формализмы. Лагранжев игамильтонов формализмы играют определяющую роль про построении вычислительных схем типа вариационных и симплектическихинтеграторов. При этом полевой гамильтонов формализм имеет топреимущество перед лагранжевым, что уже содержит калибровочное условие.

В то время как в лагражевом формализме калибровочное условие вводится из некоторых внешних соображений. Однако использование гамильтонового формализма в полевых задачахзатруднено из-за нерегулярности полевых лагранжианов. Действи-4тельно, можно установить однозначное соответствие между гамильтонианом и лагранжианом в случае гиперрегулярного лагранжиана. Данное условие не выполняется в калибровочно-инвариантныхтеориях поля. В случае нерегулярного лагранжиана применяетсяобычно гамильтонов формализм со связями, использование которого связано с определёнными трудностями.Задачи диссертационной работы1. Необходимо последовательно записать разные представления уравнений Максвелла в криволинейных координатах для примененияметодов дифференциальной геометрии к уравнениям Максвелла.2.

Необходимо установить топологическую природу связи тензоровэлектромагнитного поля F и G.3. Необходимо установить топологическую природу материальныхуравнений Максвелла, а именно тензора проницаемостей λ, и соответственно тензора диэлектрической проницаемости ε и магнитнойпроницаемости µ.4. Необходимо реализовать структуру расслоения без предварительного задания метрической структуры на базе.5.

Необходимо конкретизировать конструкцию расслоенного пространства на случай квадратичной метрики, заданной на базе.6. Необходимо произвести геометризацию уравнений Максвелла исходя из структуры лагранжиана типа Янга–Миллса.7. Необходимо проверить состоятельность геометризации на основелагранжиана Янга–Миллса путём сравнения с геометризацией Плебаньского.8.

Необходимо построить методику решения обратной задачи оптики.9. Необходимо показать, что конструкция геометризации на основелагранжиана Янга–Миллса обосновывает методы трансформационной оптики.10. Необходимо решить проблему вырожденности полевого лагранжиана теории Максвелла при переходе к гамильтонову формализму.5Положения, выносимые на защиту1. Записаны уравнения Максвелла в различных представлениях в криволинейных координатах с учётом материальных уравнений.2. Установлено соответствие между тензорами F и G.3. Построен формализм расслоенных пространств без заранее введённой метрики на базе расслоения.4. Записаны тензоры диэлектрической проницаемости ε и магнитнойпроницаемости µ через квадратичную метрику на базе с сигнатурой(+, −, −, −).5.