Автореферат (Компьютерная реализация геометрических методов в максвелловской оптике), страница 3

В геометризации Тамма выполняется равенствоεi j = µi j .при условии g 0i = 0.В четвёртой главе рассматривается гамильтонов формализм дляэлектромагнитного поля.Можно выделить несколько вариантов гамильтонова формализма.– Симплектический гамильтонов формализм.– Формализм Дирака–Бергмана для систем со связями.– Гамильтонов формализм Гамильтона–де Дондера.– Многоимпульсный гамильтонов формализм.В главе рассмотрен симплектический гамильтонов формализм всилу его простоты.Гамильтониан электромагнитного поля строится через лагранжианс помощью преобразований Лежандра:H := pα Ȧα − L ,где pα — плотность импульса, L — лагранжиан.Требуется выразить обобщённый импульс pα через скорости Ȧα ,чтобы выписать гамильтонову плотность и соответствующие ей урав-15нения Гамильтона:δH, Ȧα =δpαδH ṗα = −.δAαПри этом требуется, чтобы детерминант матрицы Гессе (гессиан)был отличен от нуля:det{H}(L ) 6= 0,где элементы матрицы Гессе:{H(L )}αβ =∂2L.∂ Ȧα ∂ Ȧβ∂2L= 0.

Следовательно, det{H}(L ) =∂(Ȧ0 )20. То есть лагранжиан нерегулярный, и построение симплектическогоНо F00 = 0 и {H(L )}00 =гамильтонового формализма в данном случае невозможно.В случае отсутствия источников (j α = 0) можно построить симплектический гамильтонов формализм, произведя необходимую замену переменных. Рассмотрен метод удвоения переменных. Данный метод применим в случае, когда система содержит лишь обобщённыепеременные, а обобщённые импульсы отсутствуют.Рассмотрим систему s уравнений.q̇ n = f n (q n , q;in , xi , t),n = 0, s.Зададим пространство R2s со следующими координатами:ξ n := q n ,ξ n +s := pn ,ξ a ∈ R2s ;n = 0, s,a = 0, 2s.Гамильтониан определим следующим образом:H (q n , pn , xi , t) = pn f n (q n , q;in , xi , t).Тогда первая группа уравнений Гамильтона будет совпадать с ис-16ходной системой, а вторая группа будет иметь следующий вид:ṗn = −δHδf m=−p.mδq nδq nДля соответствия метода, переведём систему уравнений Максвеллав следующую редуцированную систему:(∂t Bi = −ceijk ∇j E k ,∂t Di = ceijk ∇j Hk .В качестве реализации зададим следующие материальные уравнения:Di = εij (xk )Ej ,Hi = (µ−1 )ij (xk )B j .Запишем редуцированные уравнения Максвелла следующим образом:i−1 i 1ljk ∂t E = c(ε )l p3 g ε Hk,j ,i−1 i 1ljk∂t H = −c(µ )l p3 ε Ek,j .gВыберем обобщённые координаты в виде:qn = E 1 , E 2 , E 3 , H 1 , H 2 , H 3T,n = 1, 6.Тогда система уравнений приобретает вид:i 1q̇ i = f i (q n , q;in , xi , t) = c(ε−1 )l p εljk qk+3 ,j ,3gi 1i+3= f i+3 (q n , q;in , xi , t) = −c(µ−1 )l p εljk qk ,j .q̇3gНа основе этой системы запишем гамильтониан:H (q n , pn , xi , t) = pn f n (q n , q;in , xi , t) =i 1i 1= pi c(ε−1 )l p εljk qk+3 ,j − pi+3 c(µ−1 )l p εljk qk ,j .3g3g17Соответствующая система уравнений Гамильтона будет иметь вид:δH= f n,δpnδHδf mṗn = − n = −pm n =δqδqm∂f∂f m∂f m = −pm ∂q + pm ∂i ∂q n = pm ∂i ∂q n .n,i,iВ пятой главеq̇ n =рассматривается применение геометризации уравне-ний Максвелла для расчёта оптических приборов.

Результаты расчётов сравниваются с расчётами по методу трансформационной оптики.Индуцированная метрика должна быть связанна с метрикой лабораторного пространства. При этом в прямой задаче геометризованнойоптики задаётся траектория в лабораторной системе координат, далеепо этим траекториям задаются геодезические в индуцированной (электромагнитной) системе координат. По уравнениям геодезических строится метрика в индуцированной системе координат. Далее возможныдва пути.– Вычисления проводятся в электромагнитной системе координат.При этом уравнения Максвелла рассматриваются как уравненияв криволинейных системах координат и в вакууме.

После решенияпереводятся в лабораторную систему координат.– Метрика в электромагнитной системе координат преобразовывается в тензор проницаемостей в лабораторной системе координат. После этого вычисления проводятся в лабораторной системе координат для уравнений Максвелла в среде.Также демонстрируется применение геометрической оптики длярасчёта линз. В качестве примеров используются линзы Люнебергаи Максвелла.В шестой главе рассматривается математический аппарат, применяемый в диссертационной работе и вспомогательные математическиевыкладки.18Исторически сложилось так, что трёхмерные уравнения Максвеллазаписывают в неголономном формализме.

В этом случае запись уравнений в криволинейной системе координат несколько громоздка. Прииспользовании тензорного формализма обычно предпочитают использовать голономный базис.Однако в векторном анализе распространено использование неголономного базиса. Дело в том, что неголономный базис может предоставлять некоторые удобства. В данном случае это:– сохранение величин при преобразовании координат (т. е. расстоянияпереходят в расстояние, углы в углы и т. д.);– неразличимость контравариантных и ковариантных векторов, чтопозволяет использовать только один тип индекса.Квадрат интервала в голономном базисе имеет вид:ds2 = gi j dxi dxj ,i , j = 1, n,где gi j — метрический тензор.Аналогично квадрат интервала в неголономном базисе принимаетследующий вид:00ds2 = gi 0 j 0 dsi dsj ,i 0 , j 0 = 1, n.Выразим вектор f i через его компоненты f i в голономном δii инеголономном δii 0 базисах соответственно:0i0f i = f i hi ,i , i 0 = 1, n.Аналогично для ковекторов имеем:fi 0 = fi1i0hi,i , i 0 = 1, n.Для записи операций на расслоенных пространствах используетсяформализм внешних форм.

Обычно используется исчисление Ходжа.19Однако оно обычно требует предварительного задания метрики. В нашем формализме требуется построение формализма без предварительного задания метрики.Дифференциальная структура на алгебре дифференциальныхk-форм задаётся комплексом де Рама. Комплекс де Рама можно записать как цепной комплекс:ddn−1dd01n0 → Ω0 (M ) −→Ω1 (M ) −→. .

. −−−→ Ωn (M ) −→0.Пусть на ориентируемом многообразии M задан элемент объёмаV ∈ Ωn . С помощью оператора двойственности Пуанкаре ] можнозадать изоморфизм между пространствами Ωk и Ωn−k :] : Ωk → Ωn−k .Используя оператор ], можно определить оператор дивергенции δ,сопряжённый оператору d:δ = ]−1 d],δ : Ωk → Ωk−1 .На римановом многообразии с метрикой gµν можно задать изоморфизм ıg :ıg : T M → T ∗ M.Через оператор двойственности Пуанкаре можно определить линейный оператор дуальности Ходжа:∗ = ](ıg ∧ · · · ∧ ıg )−1,∗ : Ωk (M ) → Ωn−k (M ).На основе оператора дуальности Ходжа можно определить кодиф-20ференциал:δ = (−1)k ∗−1 d ∗ = (−1)k(n−k)+1 sign(g) ∗ d ∗,δ : Ωk → Ωk−1 .В случае согласованной с метрикой связности кодифференциал δможно выразить через оператор ковариантной производной ∇:p1(δA)A = (∇A)A = ∇µ AA µ = p ∂µ|g|AA µ .|g|Для записи формализма для 3-форм и 3-векторов нужно записатькомплекс де Рама для многообразия R3 :gradrotdiv0 → Ω0 (R3 ) −−→ Ω1 (R3 ) −→ Ω2 (R3 ) −−→ Ω3 (R3 ) → 0.Таким образом, получаем следующие преобразования:– градиент (grad) переводит функции (0-формы) в векторные поля(1-формы);– ротор (rot) переводит векторные поля (1-формы) в (аксиальные)векторные поля (2-формы);– дивергенция (div) переводит векторные поля (2-формы) в функции(3-формы).Также доказана справедливость утверждений.Утверждение 6.1.

Уравнение∇α Fβγ + ∇β Fγα + ∇γ Fαβ = F[αβ;γ] = 0.можно записать в виде:∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = F[αβ,γ] = 0.Утверждение 6.2. Для метрического тензора gαβ справедливы21следующие соотношения:1 k 0 0jjgi k g − 00 g g= δi .g1jgi k −g0i g0k g k j = δi .g00В заключенииkjприводятся результаты, полученные в диссертации.1. Записаны уравнения Максвелла в различных представлениях в криволинейных координатах с учётом материальных уравнений.2. Установлено соответствие между тензорами F и G.3.

Построен формализм расслоенных пространств без заранее введённой метрики на базе расслоения.4. Записаны тензоры диэлектрической проницаемости ε и магнитнойпроницаемости µ через квадратичную метрику на базе с сигнатурой(+, −, −, −).5. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе программы Плебаньского.6. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе лагранжиана типа Янга–Миллса.7. Результаты геометризации верифицированы с помощью геометризации Плебаньского.8. Построена методика решения обратной задачи оптики.9. Показана обоснованность методики при сравнении с методом трансформационной оптики.10. Построен симплектический гамильтониан Максвелловской оптики.В приложении Aрассматриваются разные подходы к обозначениютензорных операций и обосновывается использование формализма абстрактных индексов.В приложении Bобосновывается применение системы СГС.22В приложении Cописывается инструментарий компьютерного мо-делирования.Описываются подходы к вычислительным методам на основе интеграторов, строящихся на основе лагранжева и гамильтонова формализмов.

Отличительной чертой этих подходов является сохранениеинвариантов (нётеровских, симплектических и т.д.) при дискретизации непрерывной задачи. В качестве примера применения интеграторов рассматривается метод конечных разностей в пространственновременной области (Finite-Difference Time-Domain, FDTD).

Метод реализован в рамках пакета openEMS.Описан программный пакет численного решения уравнения эйконала методом характеристик. Приводится алгоритм расчёта на основе метода метод быстрого подметания/уборки (Fast Sweeping Method,FSM).Также описывается применение методов и систем компьютернойалгебры для манипуляции тензорными объектами и геометризацииуравнений Максвелла. Проводится сравнительный анализ систем тензорной компьютерной алгебры. Приводятся листинги конкретный символьных манипуляций при геометризации уравнений Максвелла.Список работ, в которых опубликованы основныеположения диссертацииВ изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России1. Kulyabov D.

S., Ul’yanova A. G. Application of Two-Spinor Calculusin Quantum Mechanical and Field Calculations // Physics of Particlesand Nuclei Letters. — 2009. — Vol. 6, no. 7. — P. 546–549. — DOI:10.1134/S1547477109070115. — arXiv: 1312.6655.232. Sevastianov L. A., Kulyabov D. S., Kokotchikova M. G. An Application of Computer Algebra System Cadabra to Scientific Problemsof Physics // Physics of Particles and Nuclei Letters. — 2009. —Vol. 6, no. 7. — P. 530–534. — DOI: 10.1134/S1547477109070073.3. Кулябов Д. С., Немчанинова Н.

А. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах // Вестник РУДН. Серия «Математика.Информатика. Физика». — 2011. — № 2. — С. 172—179.4. Kulyabov D. S., Korolkova A. V., Korolkov V. I. Maxwell’s Equations in Arbitrary Coordinate System // Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia.

Series “Mathematics. Information Sciences.Physics”. — 2012. — No. 1. — P. 96–106. — arXiv: 1211 . 6590.5. Korol’kova A. V., Kulyabov D. S., Sevast’yanov L. A. Tensor Computations in Computer Algebra Systems // Programming and Computer Software. — 2013. — Vol. 39, no. 3. — P. 135–142. — ISSN0361-7688. — DOI: 10.1134/S0361768813030031. — arXiv: 1402.6635.6.