Диссертация (Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений)

ФГБОУ ВО “Московский государственный университетимени М. В. Ломоносова”Механико-математический факультетна правах рукописиУДК 517.9Фуфаев Владимир ВладимировичМетод фазовых интегралов в одной задачеасимптотической теории возмущений01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализдиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор С. А. СтепинМосква - 2017СодержаниеВведение4Актуальность проблемы . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Обзор исследований, связанных с диссертационной темой . . . . . . .6Краткое содержание диссертации151 Геометрические свойства приближений Лиувилля-Грина231.1Асимптотика решений вдоль канонического пути . . . . . . . . 231.2Структура линий уровня . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3Асимптотические формулы для матрицы перехода . . . . . . . 291.4Локализация собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Монотонный кубический потенциал2.137Аналитические свойства корней уравнения z 3 + z = λ и построение канонических путей . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 372.2 Фундаментальные системы решений и характеристическийопределитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3 Свойства эллиптических интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4 Локализация собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Случай разветвленного накрытия3.164Аналитические свойства корней уравнения z 3 − z = λ и построение канонических путей . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 6423.2Фундаментальные системы решений и характеристический определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3Линии уровня аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . 773.4Локализация собственных значений .

. . . . . . . . . . . . . . . 87Заключение93Литература953ВведениеАктуальность проблемыАсимптотическая (сингулярная) теория возмущений линейных операторовнаходит применение в различных вопросах спектрального анализа и характеризуется использованием топологии резольвентной сходимости по параметрувозмущения. Одной из важных проблем здесь является изучение спектральных асимптотик краевых задач для дифференциальных уравнений с малымпараметром при старшей производной. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для построения приближений ЛиувилляГрина решений и локализации спектра широко используется метод фазовыхинтегралов или метод ВКБ.

Настоящая диссертация посвящена развитию метода фазовых интегралов применительно к модельной несамосопряженнойкраевой задаче Штурма-Лиувилляiε y 00 (z) + Q(z, λ) y(z) = 0 ,(1)y(A) = y(B) = 0 ,(2)с краевыми условиями на отрезке вещественной оси, малым параметром ε > 0и спектральным параметром λ в случае линейной зависимости потенциалаQ(z, λ) = Q(z) − λ от λ, где функция Q(z) – аналитическая.Подобные задачи наряду с теоретическим имеют и прикладной характер.Задачи рассматриваемого типа (см. [15], [32]) возникают при изучении устойчивости плоско-параллельного течения с профилем скорости Q(z). Для тако4го течения волновые возмущения вида ψ(z)eiα(x−ct) описываются уравнениемОрра-Зоммерфельда (являющимся следствием уравнения Навье-Стокса)iε(ψ (4) (z) − 2α2 ψ 00 (z) + α4 ψ(z)) + (Q(z) − c)(ψ 00 (z) − α2 ψ(z)) − Q00 (z)ψ(z) = 0с условиями ψ(−1) = ψ 0 (−1) = ψ(1) = ψ 0 (1) = 0, где ε > 0 – малый параметр,пропорциональный вязкости.

Известно (см. [4]), что его решения асимптотически (при ε ↓ 0) приближаются решениями уравнения Рэлея(Q(z) − c)(ψ 00 (z) − α2 ψ(z)) − Q00 (z)ψ(z) = 0,и решениями уравнения вида (1)iε(ψ (4) (z) − 2α2 ψ 00 (z) + α4 ψ(z)) + (Q(z) − c)(ψ 00 (z) − α2 ψ(z)) = 0.Для самосопряженных сингулярно возмущенных операторов, как известно, из резольвентной сходимости следует нижняя полунепрерывность спектра(см.

[8]), которая (в случае операторов с компактной резольвентой) описывается в терминах плотности концентрации собственных значений (см. [1]). Внесамосопряженном случае это свойство предельного (в смысле резольвентной сходимости) оператора, как правило, нарушается, что может приводить(см. [16]) к росту степени неортогональности системы собственных и присоединенных функций. Обусловленный этим резонансный эффект, возникающий в теории гидродинамической устойчивости, служит предметом экспериментальных исследований и численного моделирования (см. [35] и [44]).Рассматриваемая задача тесно связана с теорией PT −симметричных операторов (см.

[27], [28], [29]), удовлетворяющих условию[H, PT ] = 0,где Pψ(x) = ψ(−x), T ψ(x) = ψ(x). Для PT −симметричного оператораH=−d2+ iV (x)dx25в случае различных кубических полиномов V (x) было установлено (см. [37],[45]), что при условии y(−∞) = y(∞) = 0 спектр задачи лежит на положительной вещественной полуоси.Соответствующий задаче (1)-(2) дифференциальный операторLε = iε ∂z2 + Q(z) ,заданный в подходящем функциональном пространстве, в качестве которого в диссертации (для определенности) выбирается пространство функцийинтегрируемых с квадратом на [A, B], имеет дискретный спектрσ(Lε ) ⊂ Π :=λ = a + ib : a ∈ Q([A, B]), b < 0 ,состоящий из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности.

Собственные значения рассматриваемой задачи совпадают(см. [11]) с нулями целой функции – характеристического определителя, построенного по фундаментальной системе решений уравнения (1). При ε ↓ 0оператор Lε в смысле сильной резольвентной сходимости (см. [9], [42]) имеет своим пределом оператор L0 умножения на Q(z), спектр σ(L0 ) которого заполняет отрезок Q([A, B]). Оператор Lε является, таким образом,сингулярным возмущением оператора умножения L0 , а задача (1)-(2) представляет собой модель перехода от дискретного спектра к непрерывному внесамосопряженном случае.Обзор исследований, связанных с диссертационной темойКлючевым элементом используемого в настоящей работе подхода к локализации спектра задачи (1)-(2) является метод фазовых интегралов (методВКБ), которому посвящено большое число работ (см. [12], [26]).

Его основыбыли заложены в трудах Дж. Грина [38] и Ж. Лиувилля [41] (1837). Ключевой результат может быть сформулирован следующим образом: в случае6достаточно гладкой вещественной функции Q(z) для уравненияεy 00 (z) − Q(z)y(z) = 0,приближениями решений при ε ↓ 0 и вещественных z вне окрестностей точекповорота – нулей Q(z) – являются функцииZ zq1−1/4Q(z) exp ± 1/2Q(ζ) dζ .(3)εВ различных частях окрестности точки поворота уравнения второго порядкаодно и то же решение может иметь различные асимптотические представления. Дж. Стокс ([46]), изучая уравнениеy 00 (z) − 9zy(z) = 0обнаружил, что комплексная плоскость разбивается на области, в которыхкоэффициенты линейной комбинации функций вида (3), аппроксимирующейрешение, различны. Это обстоятельство впоследствии было названо явлениемСтокса. Причина этого явления – рост погрешности асимптотики при приближении переменной z к границам этих областей – линиям Стокса.

Основнаятрудность, таким образом, состоит не в получении асимптотических формулдля различных решений, а в построении асимптотических формул для одногои того же решения, но в разных областях изменения аргумента.Широкое распространение приближения Лиувилля-Грина получили послепубликации работ Дж. Вентцеля [48], Г. Крамерса [40] и Л. Бриллюэна [31](1926). В них устанавливалась связь между приближениями Лиувилля-Гринана интервале, где Q(z) меняет знак. В связи с этим приближения (3) также называются ВКБ-приближениями, а их построение и анализ измененияасимптотики решения при продолжении – методом ВКБ.Важный вклад в развитие метода ВКБ внес Дж. Биркгофф. В работе [30],с использованием канонических путей – кривых, вдоль которых величинаRzpReQ(ζ) dζ изменяется монотонно, – были выделены подобласти, в которых строятся приближения решений уравнения (3).7М.

В. Федорюк (см. [23], [24]) разработал подход к исследованию глобальной асимптотики решений уравнения вида (1) для широкого класса функцийQ(z). Было установлено, что при некоторых предположениях линии Стокса разбивают комплексную плоскость на части, отображающиеся функциейRzpQ(ζ) dζ на вертикальную полосу, либо на полуплоскость.