Диссертация (Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений), страница 3

В. Ломоносова под руководством профессора А. А. Давыдова и профессора А. М.Степина;• Научный семинар “Ортоподобные системы” механико - математическогофакультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессораТ. П. Лукашенко, доцента В. В. Галатенко, доцента Т. В. Родионова;• Научный семинар Добрушинской лаборатории ИППИ РАН под руководством профессора Р. А. Минлоса и старшего научного сотрудника М. Л.Бланка.Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих13конференциях:• Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рожденияакадемика С. М. Никольского (Москва, 2015);• Международная конференция по математической теории управления имеханике (Суздаль, 2015);• Международная конференция 5th International Workshop onPseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics (Palermo, 2015);• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016);• Международная конференция “Системы Аносова и современная динамика”, посвященная 80-летию со дня рождения Дмитрия Викторовича Аносова (Москва, 2016).ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в семи работах, три изних опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК.14Краткое содержание диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых состоит изчетырех параграфов, заключения и списка литературы.Во введении дан обзор публикаций, связанных с темой исследования, приводятся постановки задач и формулируются основные результаты.В первой главе изложена общая схема метода локализации собственныхзначений задачи (1)-(2).

§1.1 содержит конструкцию ВКБ-приближений применительно к уравнению (1). Ключевым объектом здесь является кусочногладкий путь γ = γ(λ) ⊂ Cz , называющийся каноническим для ветвиS(z0 , z; λ) многозначной функцииZ zqiπ/4eQ(ζ, λ) dζ,z0если величина Re S(z0 , z; λ) изменяется монотонно вдоль γ.§1.2 посвящен применению свойств траекторий квадратичных дифференциалов для исследования структуры канонических путей. С помощью полученных результатов в §1.3 строятся формулы связи для фундаментальныхсистем решений (ФСР), имеющих ВКБ-приближения в различных частяхокрестности простого нуля Q(z, λ).

Это позволяет в рассматриваемых нижеситуациях продолжить решения уравнения (1) и получить для них асимптотические формулы, одновременно пригодные в точках A и B. Их подстановка в соответствующий условиям (2) характеристический определительY+ (A, λ) Y+ (B, λ)∆(λ) det Y− (A, λ) Y− (B, λ)15дает асимптотическое при малых ε > 0 представление аналитической функции ∆(λ), нулями которой являются искомые собственные значения.В §1.4 изучен надлежащим образом нормированный характеристическийопределительe 1 (λ) + exp ε−1/2 ϕ(λ) − ic 1 + Φe 2 (λ) ,∆(λ) = exp − ε−1/2 ϕ(λ) + ic 1 + Φгде c ∈ R, в следующих предположениях: пусть для λ, принадлежащих однопараметрическому семейству множествΣ(δ) :=a + ib : g1 (δ) < a < g2 (δ), | b − f (a)| < g3 (δ) ⊂ D ,δ > 0,где величины g1 (δ) и g3 (δ) возрастают, а g2 (δ) убывает, выполнены оценкиe j (λ)| 6 C(δ)ε1/2 , кроме того, функция ϕ(a + ib) аналитична в области|ΦD ⊂ Cλ , причем ∂Re ϕ(a + ib)/∂b > 0 и Re ϕ(λ) = 0 на некоторой кривой Γ, являющейся графиком функции b = f (a).

В этом случае доказаноeсуществование такого C(δ)> 0, что при достаточно малых ε > 0 нулиe∆(λ) в Σ(δ) расположены в C(δ)ε-окрестностяхточек λn ∈ Γ, заданныхусловиемϕ(λn ) = iε1/2 πn − π/2 + c , n ∈ Z.Здесь каждому λn ∈ Σ(δ) соответствует единственное собственное значение,лежащее в соответствующей окрестности.Глава 2 посвящена изучению задачи (1)-(2), где Q(z, λ) = Q(z) − λ, вслучае модельного монотонного потенциала Q(z) = z 3 +z при A = −B = −1.В §2.1 устанавливаются предварительные результаты, касающиеся свойств√функции α(λ) = Q−1 (λ).

На множестве Π \ [0, −2i/3 3], гдеΠ := {Re λ ∈ Q([−1, 1]), Im λ < 0},выделяются однозначные ветви αk+ (λ), k = 0, ±1, удовлетворяющие условиям αk+ (+0) = ik. В §2.2 (с использованием результатов §1.3) получено16асимптотическое представление для характеристического определителя соответствующей задачи (1)-(2). При этом спектр задачи описывается в терминахфазовых интегралов+ξ (λ) :=S(α0+ (λ), 1; λ)= eiπ/41ZqQ(z, λ) dz,α0+ (λ)+η + (λ) := S(α0+ (λ), α−1(λ); λ) = eiπ/4+ζ (λ) := S(1, −1; λ) = eiπ/4ZZ+α−1(λ) qQ(z, λ) dz,α0+ (λ)−1 qQ(z, λ) dz,1и асимптотику характеристического определителя описываетПредложение 1.

Для произвольной ограниченной области Ω, лежащей√вместе со своим замыканием Ω в Π\[0, −2i/3 3], существует εb = εb(Ω) > 0такое, что при ε ∈ (0, εb) аналитический в Ω характеристический определитель ∆+ (λ) имеет вид∆+ (λ) = exp ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ1 (λ) − exp − ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ2 (λ) −− i exp ε−1/2 2ξ + (λ) − η + (λ) + ζ + (λ) ×× exp ε−1/2 η + (λ) 1 + Φ3 (λ) + exp − ε−1/2 η + (λ) 1 + Φ4 (λ) .где |Φj (λ)| 6 C(Ω)ε1/2 , j = 1, 2, 3, 4.В §2.3 изучены свойства эллиптических интегралов ξ + (λ), η + (λ), ζ + (λ) вполуполосе Π и ее части Π+ := {λ ∈ Π : Re λ > 0}.

Ключевым для дальнейшей локализации спектра являетсяУтверждение 1. Функции Re η + (λ), Re ζ + (λ), λ = a + ib ∈ Π, доопреде√ленные на отрезке [0, −2i/3 3] по непрерывности, возрастают по a при√фиксированном b так, что ∂Re η + (a + ib)/∂a > 0 для b < −2/3 3 иRe η + (λ) = Re ζ + (λ) = 0 на луче iR− . Величина Re ξ + (a + ib), продолженная по непрерывности на замыкание множества Π+ = Π ∩ C+ , возрастаетпо b при фиксированном a ∈ [0, 2] и ∂Re ξ + (a + ib)/∂b > 0 для a + ib ∈ Π+ .17Линия уровняΓ :=λ = a + ib ∈ Π+ : Re ξ + (λ) = 0представляет собой график гладкой функции b = f (a) с производной√f 0 (a) < 1/ 3, a ∈ (0, 2).

Кривая Γ пересекает действительную ось под√√углом π/6 и лежит в треугольнике с вершинами 2, −2i/ 3, −2i(2 − 3).Для точки пересечения Γ∩iR = iµ справедливо неравенство µ+2/3 < 1/20.Утверждение 1 позволяет в различных частях Π получать редуцированнуюформулу для характеристического определителя.В §2.4 дважды используются результат §1.4, а именно для локализацииспектра в правой полуплоскости и вблизи мнимой оси. В правой полуплоскости асимптотику спектра задачи (1)-(2) описываетТеорема 1. В случае Q(z) = z 3 + z при фиксированном M < 0 для произвольного δ > 0 найдется ε1 = ε1 (δ) > 0 такое, что множествоλ ∈ Π : Re λ > δ, dist(λ, Γ) > δ, Im λ > Mпри ε ∈ (0, ε1 ) не содержит точек спектра задачи (1)-(2), а в областиλ ∈ Π : Re λ > δ, dist(λ, Γ) < δ, |λ − Q(1)| > δспектр задачи состоит из однократных собственных значений, причем длянекоторой константы C (1) (δ) > 0 все они находятся в C (1) (δ)ε-окрестностях(1)корней λn ∈ Γ уравненияcos iε−1/2 ξ + (λ) + π/4 = 0.Наряду с найденной в теореме 1 спектральной серией, имеется симметричнаяей относительно оси iR серия собственных значений, которые концентрируются вблизи кривой −Γ.

В области, ограниченной отрезком [−2, 2] и ребрами Γ и −Γ, спектр рассматриваемой задачи при малых ε > 0 оказывается18непустым и концентрируется вблизи вертикального отрезка, соединяющего√точки iµ и −2i/3 3. А именно, имеет местоТеорема 2. Для Q(z) = z 3 + z и произвольного δ > 0 существуютε2 = ε2 (δ) > 0 и C (2) (δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε2 ) множество√λ ∈ Π : |Re λ| < δ, Im λ > −2/3 3 + δне содержит собственных значений задачи (1)-(2), а в области√λ ∈ Π : |Re λ| < δ, µ + δ < Im λ < −2/3 3 − δспектр задачи исчерпывается однократными собственными значениями,√(2)расположенными в C (2) (δ)ε-окрестностях нулей λn ∈ [iµ, −2i/3 3] функции cos iε−1/2 η + (λ) , занумерованных согласно правилу квантования+ (2)1/2η (λn ) = iε π n + 1/2 , n ∈ Z.В Главе 3 рассматривается случай потенциала Q(z) = z 3 − z, имеющегодве критические точки на [−1, 1].

В §3.1 в полосеΠ := {Re λ ∈ Q([−1, 1]), Im λ < 0}выделяются однозначные ветви корней , удовлетворяющие условиямαk− (λ) = k, k = 0, ±1. Локализация собственных значений рассматриваемойзадачи описывается в терминах фазовых интеграловZZ −1 q−iπ/4−iπ/4Q(z, λ) dz , η (λ) := eξ (λ) := eζ (λ) := eQ(z, λ) dz ,−α−1(λ)−α−1(λ)−α0− (λ)qiπ/4Z−1qQ(z, λ) dz .1Для исследования спектра в правой полуплоскости C+ в §3.2 (с использованием результатов §1.3) доказываетсяПредложение 2. Если ограниченная область Ω содержится в√Π+ := Π ∩ C+ , ∂Ω ∩ R+ ⊂ (0, 2/3 3) и ∂Ω ∩ iR− ⊂ (0, iν), то существует19εe = εe(Ω) > 0 такое, что при ε ∈ (0, εe) аналитический в Ω характеристический определитель ∆− (λ) для λ ∈ Ω имеет вид∆− (λ) = exp ε−1/2 ζ − (λ) 1 + Ψ1 (λ) −− exp − ε−1/2 ζ − (λ) 1 + Ψ2 (λ) −−i exp ε−1/2 2ξ − (λ) − ζ − (λ) 1 + Ψ3 (λ) −−i exp ε−1/2 ζ − (λ) − 2ξ − (λ) + 2η − (λ) 1 + Ψ4 (λ) ++ exp ε−1/2 ζ − (λ) + 2η − (λ) 1 + Ψ5 (λ) ,где |Ψj (λ)| 6 C(Ω)ε1/2 , j = 1, 2, 3, 4, 5.В §3.3 устанавливаются следующие свойства эллиптических интеграловУтверждение 2.

Для λ = a + ib ∈ Π+ выполнены неравенства∂Re ξ − (λ)/∂a > ∂Re η − (λ)/∂a, ∂Re ξ − (λ)/∂b > 0, ∂Re η − (λ)/∂b > 0 и∂Re ζ − (λ)/∂a > 0, величина Re ζ − (λ) обращается в нуль на луче iR− , абоковые ребра предельного комплексаΓ1 :=λ ∈ Π+ : Re η − (λ) = 0, Re ξ − (λ) > 0 ,Γ2 := λ ∈ Π+ : Re ξ − (λ) = Re η − (λ) < 0 ,Γ3 : = λ ∈ Π+ : Re ξ − (λ) = 0, Re η − (λ) > 0 ,являющиеся графиками монотонных функций, соединяют узел их сочлене√ния Λ = ρ + iµ с точками 0, 2/3 3 и iν соответственно, где| Λ − 1/4 + i/8 | < 1/25 и |ν + 9/20| < 1/40.С использованием полученных результатов устанавливается, что формуладля ∆− (λ) допускает в Π+ упрощение√ ∆− (λ) = exp ε−1/2 ζ − (λ)1 + O( ε) + exp 2ε−1/2 η − (λ) ×h√ √ i−1/2 −× 1 + O( ε) − i exp − 2εξ (λ) 1 + O( ε) .20В §3.4 с использованием развитой в §1.4 методики проводится локализация спектра рассматриваемой задачи (1)-(2). Асимптотическое распределениесобственных значений задачи в окрестности Γ1 ∪ Γ2 описываетТеорема 3.