Диссертация (Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений), страница 8

Согласно лемме 2.2.2, при достаточно малых ε > 0 имеемA+ (−1, λ)A− (1, λ) − A+ (1, λ)A− (−1, λ) =47+= A+ (−1, λ) − iC+ (1, λ) exp 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + A2 (λ) − −1/2+−iC+ (1, λ) exp 2εS(α0 (λ), z0 ) 1 + A3 (λ) + C− (1, λ) 1 + A4 (λ) −−C+ (1, λ) 1 + A1 (λ) A− (−1, λ).Используя представления для функций A± (z, λ), C± (z, λ), получаем, что нормированный характеристический определитель имеет вид−1A+ (−1, λ)A− (1, λ) − A+ (1, λ)A− (−1, λ) =q(−1, λ)q(1, λ)= exp ε−1/2 S(z0 , −1) 1 + a+ (−1, λ) ×h+× − i exp ε−1/2 S(z0 , 1) + 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + c+ (1, λ) 1 + A2 (λ) −−i exp ε−1/2 S(z0 , 1) + 2ε−1/2 S(α0+ (λ), z0 ) 1 + c+ (1, λ) 1 + A3 (λ) +i−1/2+ exp − εS(z0 , 1) 1 + c− (1, λ) 1 + A4 (λ) −− exp ε−1/2 S(z0 , 1) − ε−1/2 S(z0 , −1) 1 + c+ (1, λ) 1 + a− (−1, λ) ×× 1 + A1 (λ) =e 1 (λ) − exp ε−1/2 S(−1, 1) 1 + Φe 2 (λ) −= exp ε−1/2 S(1, −1) 1 + Φnoon−1/2++e−i exp εS(α0 (λ), 1) + S(α0 (λ), −1)1 + Φ3 (λ) −noon−1/2++e−i exp εS(α−1 (λ), 1) + S(α−1 (λ), −1)1 + Φ4 (λ) .e j (λ)| < C(Ω)ε1/2 , j = 1, 2, 3, 4.где |ΦРавенства в утверждении леммы 2.2.1 и леммы 2.2.4 записываются в виде:D (z, λ)B (z, λ)A (z, λ)B (z, λ), + = B(λ)  +, + = A(λ)  +D− (z, λ)B− (z, λ)A− (z, λ)B− (z, λ)где A(λ), B(λ) – невырожденные матрицы.

Значит, справедливы равенстваdet A(λ)B(λ) = det A(λ) det B(λ), det B −1 (λ) = (det B(λ))−1 . Характеристический определитель, построенный по ФСР A± (z, λ), представляется в видеA+ (−1, λ) A+ (1, λ).∆(λ) = A− (−1, λ) A− (1, λ)48В силу того, чтоD (−1, λ) D+ (1, λ)D (−1, λ) D+ (1, λ) + = A(λ)B −1 (λ)B(λ)A−1 (λ)  +=D− (−1, λ) D− (1, λ)D− (−1, λ) D− (1, λ)A+ (−1, λ) A+ (1, λ),= A(λ)B −1 (λ) A− (−1, λ) A− (1, λ)определитель, построенный по ФСР D± (z, λ) отличается от определителя,построенного по ФСР A± (z, λ), на множитель det(A(λ)B −1 (λ)). Для малыхε > 0 имеем | det B(λ) − 1| < Cε1/2 (см. лемму 2.2.1) и | det A(λ) − 1| < Cε1/2(см. лемму 2.2.4), значит, | det(A(λ)B −1 (λ)) − 1| < Cε1/2 . Следовательно, существует εb5 = εb5 (Ω) > 0 такое, что при ε ∈ (0, εb5 ) нормированный характеристический определитель, построенный по ФСР D± (z, λ) имеет вид∆+ (λ) = exp ε−1/2 S(1, −1) 1 + Φ1 (λ) −n −1/2o−1/2++− exp εS(−1, 1) 1+Φ2 (λ) −i exp εS(α0 (λ), 1)+S(α−1 (λ), −1) ×h+× exp ε−1/2 S(α0+ (λ), α−1(λ)) 1 + Φ3 (λ) + −1/2i+++ exp εS(α−1 (λ), α0 (λ)) 1 + Φ4 (λ) ,где |Φj (λ)| < Cε1/2 , j = 1, 2, 3, 4.

Доказательство окончено.Введем обозначения для функций+ξ (λ) :=+η (λ) :=S(α0+ (λ), 1; λ)= eiπ/41ZqQ(z) − λ dz,α0+ (λ)+S(α0+ (λ), α−1(λ); λ)= e+iπ/4Z+α−1(λ) qQ(z) − λ dz,α0+ (λ)iπ/4ζ (λ) := S(1, −1; λ) = eZ−1 qQ(z) − λ dz.1В дальнейшем эти функции играют важную роль при исследовании нулей49характеристического определителя. Полученная формула принимает вид∆+ (λ) = exp ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ1 (λ) − exp − ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ2 (λ) −− i exp ε−1/2 2ξ + (λ) − η(λ) + ζ + (λ) ×× exp ε−1/2 η + (λ) 1 + Φ3 (λ) + exp − ε−1/2 η + (λ) 1 + Φ4 (λ) , (2.3)таким образом, справедливо предложение 1.2.3Свойства эллиптических интеграловЦелью настоящего параграфа является исследование свойств функций ξ + (λ),η + (λ) и ζ + (λ), которые используются для локализации спектра, и доказательство утверждения 1.√Лемма 2.3.1.

При λ ∈ Π \ [0, −2i/3 3] имеют место соотношения+ξ + (−λ) = S(α−1(λ), −1; λ),η + (−λ) = −η + (λ),ζ + (−λ) = −ζ + (λ).(2.4)Доказательство. Заметим, что в симметричных точках z и ze := −z имеемϕ(ze, −λ) = π − ϕ(z, λ) ввиду (2.2). В частности, это выполнено для точек от+резков [α0+ (λ), 1] и [α−1(−λ), −1] с параметризацией z(s, λ) = α0 (λ)(1 − s) + s,+s ∈ [0, 1], и ze(s, −λ) = α−1(−λ)(1 − s) − s, s ∈ [0, 1]. Выбирая указанныеотрезки в качестве путей интегрирования, получаем первое из указанных соотношений.

Аналогично, при доказательстве второго соотношения, для η + (λ)+путь интегрирования – отрезок [α0+ (λ), α−1(λ)], а для ζ + (λ) – отрезок [1, −1].Докажем утверждение 1, установив справедливость предложения 2.3.2, утверждения 2.3.3 и предложения 2.3.4.Предложение 2.3.2. Величины Re ζ + (a + ib) и Re η + (a + ib), доопре√деленные на отрезке [0, −2i/3 3] по непрерывности, возрастают в Π по a√при фиксированном b так, что для λ = a + ib ∈ Π \ [0, −2i/3 3] выполнено∂ Re η + (λ)∂ Re ζ + (λ)> 0,> 0 причем Re η + (λ) = Re ζ + (λ) = 0 для λ ∈ iR− .∂a∂a50+(λ)(s − 1), получаемДоказательство. Полагая z(s, λ) := α0+ (λ)s − α−1! + Z 1 iπ/4 0+e zs (s, λ) ds∂Re η (a + ib)dη (λ)p= Re= Re.∂adλ0 2 Q(z(s, λ), λ)Здесь ϕ(z(s, λ), λ) = 2 arg zs0 (s, λ) + arg(z(s, λ) − α1+ (λ)) + π, s ∈ (0, 1), откудаϕ(z(s, λ), λ) π π π0+ arg zs (s, λ) −∈ − ,424 4ввиду включения arg(z(s, λ) − α1+ (λ)) ∈ (−π, 0), и, стало быть, выполнено√∂Re η + (a + ib)/∂a > 0 в Π \ [0, −2i/3 3].Установим, что Re η + (ib) = 0, b < 0.

В силу (2.4) и непрерывности η + (λ)√√при Im λ 6 −2/3 3, имеем Re η + (ib) = 0, если b 6 −2/3 3. Далее, функ√ция Q(z) двулистно отображает отрезок [0, −i] на [0, −2i/3 3], значит, для√b ∈ (0, −2/3 3) предельные значения функций αk+ (λ), k = −1, 0, при приближении λ слева и справа к ib являются мнимыми, и, выбирая для η + (λ)отрезки z± (s, ib) := α0 (ib ± 0) + (α−1 (ib ± 0) − α0 (ib ± 0))s, s ∈ [0, 1], вкачестве пути интегрирования, получаем, что Re η + (ib ± 0) = 0, так какpeiπ/4 Q(z± (s, ib)) − ib ∈ R.

Таким образом, Re η + (λ) однозначно доопреде√ляется по непрерывности на [0, −2i/3 3] так, что Re η + (λ) = 0 на луче iR− .Аналогично, для доказательства монотонности функции Re ζ + (λ) в качестве пути интегрирования выбирается отрезок [1, −1]. В силу (2.4) и непрерывности ζ + (λ), выполнено Re ζ + (ib) = 0, b < 0. Доказательство окончено.Уточним структуру множества Γ корней уравнения Re ξ + (a + ib) = 0 .Утверждение 2.3.3. Величина Re ξ + (a + ib) возрастает по b < 0 прификсированном a ∈ [0, 2], обращаясь на мнимой оси в нуль в точке iµ , гдеµ ∈ (−0.68, −0.62). При этом ∂Re ξ + (a + ib)/∂b > 0 для a + ib ∈ Π+ .Доказательство. Для λ = a + ib, a ∈ (0, 2] и b < 0, установим положительность производной+∂Re ξ (λ)= −Im∂b+dξ (λ)dλiπ/4= Im51e2Z1α0+ (λ)pdzQ(z) − λ!.Если z ∈ (iIm α0+ (λ), α0+ (λ)), то ввиду (2.1)+arg(z−α−1(λ)) ∈ (−π/2, π/2),arg(z−α0+ (λ)) = π,arg(z−α1+ (λ)) ∈ (−π, 0).При этом Re (Q(z) − λ) < 0, откуда ϕ(z, λ) ∈ (π/2, 3π/2).

Аналогично, имеемϕ(z, λ) ∈ (−π/2, π/2) для z ∈ α0 (λ) + R+ , и ϕ(z, λ) ∈ (−π/2, 3π/2) приz ∈ (1 + iIm α0+ (λ), 1). Интегрируя функцию (Q(z) − λ)−1/2 вдоль ломаной(α0+ (λ), 1 + iIm α0+ (λ)] ∪ [1 + iIm α0+ (λ), 1], получаем Im(ξ(λ))0 < 0.Далее, заметим, что функция Q(z) взаимно-однозначно отображает криp√вую z(s) := s − i Q(s)/3s, s > 0, на луч −2i/3 3 + iR− , а для ломаной√√[−i/ 3, 0] ∪ [0, 1] имеем Q(z) ∈ [−2i/3 3, 0] ∪ [0, 2]. Отсюда ввиду (2.1) в√случае b < −2/3 3 получаем ϕ(z, ib) ∈ (0, π/2] для указанной ломаной иϕ(z(s), ib) = π/2, s ∈ (0, Re α0+ (ib)).

Интегрируя функцию (Q(z) − λ)−1/2вдоль указанных кривых с учетом того, что arg z 0 (s) ∈ (−π/2, 0), устанавливаем положительность производной dRe ξ + (ib)/db. Аналогично, в случае√b ∈ (−2/3 3, 0), полагая α0+ (ib) := α0+ (ib + 0) получаем dRe ξ + (ib)/db > 0,так как Q(z) ∈ (ib, 0] ∪ [0, 2], если z ∈ (α0+ (ib), 0] ∪ [0, 1]. Таким образом, величина Re ξ + (λ), доопределенная в Π+ по непрерывности, возрастает по b прификсированном a.Выбирая те же пути интегрирования, что и выше, получаем отрицатель√√ность величин Re S(α0+ (λ), −i/ 3; λ) и Re S(−i/ 3, 0; λ) и положительностьRe S(0, 1; λ). Оценивая эти функции при b = −0.62 и b = −0.68, покажемзнакоопределенность их сумм Re ξ + (−0.62i) > 0 и Re ξ + (−0.68i) < 0, откудабудет следовать указанная локализация точки iµ.√1.

Представим функцию Re S(−i/ 3, α0+ (λ); λ) в видеsrZ Re α0+ (λ)2+12 ix28x+0Re S − √ , α0 (λ); λ = −|b| −+Im z (x) dx.33330pТак как функция (x2 + 1)/3 2/3 + 8x2 /3 при (x1 , x2 ) ⊂ (0, Re α0+ (λ)) воз-52растает и не превосходит |b|, тоvsuux21 + 1 2 8x21tIm z(x1 ) − z(x2 )|b| −+>333srZ x2 2+12x28x|b| −+dx >>−Im z 0 (x)333x1vsuux22 + 1 2 8x22t> Im z(x1 ) − z(x2 )+.|b| −333(−0.62i) < 0.36, справедливой ввиОтсюда с использованием оценкиRe α0+!r0.362 + 1ду неравенства Im Q 0.36 − i< −0.62, получаем3iRe S − √ , α0+ (−0.62i); −0.62i <3s20.62 − √ < 0.0176,< Im z(0) − z(Re α0+ (−0.62i))3 3iRe S − √ , α0+ (−0.68i); −0.68i >3sr0.32 + 1 2 8 · 0.32+> 0.00735.> Im z(0.1) − z(0.3)0.68 −333√2.

Полагая z = −is, s ∈ [0, 1/ 3], оценим функцию Z 1/√3 qiRe S 0, − √ ; ib =|b| + s3 − s ds30в точках b = −0.68 и b = −0.62 с использованием неравенствqqx|C| + x < |C| + pпри − |C| < x,2 |C|qqxx23|C|− pпри −< x < 0.|C| + x > |C| + p52 |C| 5 |C|353Используя дважды первое неравенство, получаемiRe S 0, − √ ; −0.62i =3Z 1/2√3 pZ 1/2√3 s√2=0.62 − s + s3 ds+0.62 − √ + 3t2 − t3 dt < 0.35446,3 300√√где в первом слагаемом C = 0.62 и x = s3 − s > −2/3 3, s ∈ (0, 1/2 3), а во√√√√втором C = 0.62−2/3 3, t = 1/ 3−s, s ∈ (1/2 3, 1/ 3), и, соответственно,√ 23t − t3 > 0.Аналогично, однократно используя второе неравенство при C = 0.68 иx = s3 − s, получаем, чтоiRe S 0, − √ ; −0.68i > 0.37498.33. Для оценки оставшегося слагаемого в точках b = −0.68 и b = −0.62заметим, чтоZRe S (0, 1) = Re1qi(s + s3 ) − |b| ds =0Z01sp(s + s3 )2 + b2 − |b|ds.2Используя неравенстваqqqq |C| + x < |C| +|C| + x1 − |C| x/x1 при 0 < x1 < x,qqqq |C| + x > |C| +|C| + x2 − |C| x/x2 при 0 < x < x2 ,полагая C = b2 , x = (s3 + s)2 на интервале (s1 , s2 ) ⊂ (0, 1) получаемsp(s31 + s1 )2 + b2 − |b| s42 s41 s22 s21− + −>2(s31 + s1 )24422sZ s2 p 3(s + s)2 + b2 − |b|ds >>2s1sp(s32 + s2 )2 + b2 − |b| s42 s41 s22 s21>− + −.2(s32 + s2 )24422При этом на промежутке [0, s2 ) также имеемsZ s2 3Z s2 p 3s +s(s + s)2 + b2 − |b|p ds >ds > 0,22 |b|0054так как |b| + x/2|b| >√b2 + x > 0, x > 0.Оценивая с помощью полученных неравенств каждое слагаемого в сумме19Xk k+1Re S,; ib = Re S(0, 1; ib),2020k=0получаемRe S (0, 1; −0.62i) > 0.373,Re S (0, 1; −0.68i) < 0.381.Доказательство окончено.Таким образом, Γ, ввиду теоремы о неявной функции, представляет собойграфик дифференцируемой функции.

Уточним локализацию Γ. Предвари√√√тельно введем обозначение ` := Q((−i/ 3, 1)). При z(s) = −i/ 3+s+is/ 3,s ∈ (0, 1), имеем2i2is2 8is3Q(z(s)) = 2s2 − √ − √ + √ ,3 333 3и, сделав замену 2s2 = a, получим2iia4ia3/2Q z s(a) = a − √ − √ + √ ,3 333 6a ∈ (0, 2).Так как функция Im Q(z(s(a))) выпукла, то кривая ` лежит ниже отрезка√[−2i/3 3, 2]. Расположение Γ описываетПредложение 2.3.4. Линия уровняΓ := {λ ∈ Π+ : Re ξ(λ) = 0 }представляет собой график гладкой функции b = f (a), пересекает R в точ√ке λ = 2 под углом π/6, лежит выше интервала (−2i/ 3, 2) и ниже ин√√тервала (−2i(2 − 3), 2), при этом f 0 (a) < 1/ 3, a ∈ (0, 2).Доказательство.