Диссертация (Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения), страница 10

Используем теперь более подробные обозначения для величин (2.1.8) и (2.1.19):ρ0pq (g) = ρ0pqϕψ (g; (t0 , T0 ));(2.2.49)ρ̂0pq (g) = ρ̂0pqϕψ (g; (t0 , T0 ))(2.2.50)и введем функциюg1 (τ ) = g(τ −1 )τ −2 ,τ ∈ (T0−1 , t−10 ),(2.2.51)и покажем, чтоρ̂0pqϕψ (g; (t0 , T0 )) = ρ0pqϕq ψp (g1 ; (T0−1 , t−10 )),(2.2.52)Действительно, (2.2.48) и замены переменных в интегралах даютZ T00ρ̂pqϕψ (g; (t0 , T0 )) := supgf dt : ρ̂pqϕψ (f ; (t0 , T0 )) ≤ 1 =t0ZT0= sup−1 −1ˆgf dt : ρpqϕq ψp (f ; (T0 , t0 )) ≤ 1 =t0(Zt−10= supT0−1)g1 (τ )fˆ(τ )dt : ρpqϕq ψp (fˆ; (T0−1 , t−10 )) ≤ 1= ρ0pqϕq ψp (g1 ; (T0−1 , t−10 )).3. Используем теперь в соответствующих обозначениях ответ, полученный в теореме 2.1.1.

Из (2.2.52) и (2.1.9) следует, чтоρ̂0pqϕψ (g; (t0 , T0 )) ∼= ρ̇0pqϕq ψp (g1 ; (T0−1 , t−10 )).(2.2.53)Величина в правой части (2.2.53) определяется (в соответсвующих обозначениях) формулами (2.1.6), (2.1.7). ОбозначимZ t1ψpp dτ ) p , 0 < p < ∞;Ψ̃p (t) = ((2.2.54)T0−1Ψ̃∞ (t) =sup ψ∞ (τ ),p = ∞.(2.2.55)τ ∈(T0−1 ,t]Тогда, при 0 < p ≤ 1, согласно (2.1.7), g 1 ))=ρ̇0pqϕq ψp (g1 ; (T0−1 , t−1 0 ϕq LqΨ̃p (·)−1 −1,·)0 (T0Отметим, что имеет место равенство g g1 =, ϕq ϕ−1 −1Lq0 (t,T0 )L 0 (T ,t )q054.(2.2.56)L∞ (T0−1 ,t−10 )t ∈ (t0 , T0 ).(2.2.57)Действительно, при 1 < q ≤ ∞, т.е.

при 1 ≤ q 0 < ∞, с учетом (2.2.46), получим q0 ! q10q0 ! q10Z t−1 Z t−1 −1−1 g1 g(ξ)g(ξ)dξ ===dξ ϕq 2−1ϕq (ξ)ξϕ(ξ )ξ2T0−1T0−1L 0 (T −1 ,t−1 )q0Z=tT0g(λ)ϕ(λ)! 10q0qdλ g=.ϕLq0 (t,T0 )Легко проверить, что равенство (2.2.57) верно и при q = 1, т.е. q 0 = ∞.Из (2.2.56) заменой t на t−1 получим#" g1 −10−1 −1Ψ̃p (t ) .ρ̇pqϕq ψp (g1 ; (T0 , t0 )) = ess sup ϕq t∈(t0 ,T0 )L 0 (T −1 ,t−1 )q0Подставим сюда равенство (2.2.57):" #g Ψ̃p (t−1 ) .ρ̇0pqϕq ψp (g1 ; (T0−1 , t−10 )) = ess supϕt∈(t0 ,T0 )Lq0 (t,T0 )Наконец, заметим, что из (2.2.54) и (2.1.12) следуетΨ̃p (t−1 ) = Ψ̂p (t).Действительно, при 0 < p < ∞Z t−1Z1p−1pψp (τ )dτ ) = (Ψ̃p (t ) = (T0−1t−1pψ (τ−1T0−1(2.2.58)Z T01dτ p1) 2) = (ψ p (ξ)dξ) p = Ψ̂p (t).τtПри p = ∞, как легко видеть из (2.2.55), (2.1.13), равенство (2.2.58) также справедливо.В результате, приходим к равенству (2.1.17).При 1 < p ≤ ∞ из (2.1.6), (2.2.54), (2.2.55) следует, что 10#p0" pZ t−10dΨ̃(t)g1p0−1 −1−1  .ρ̇pqϕq ψp (g1 ; (T0 , t0 )) = Ψ̃p (t)(2.2.59) ϕq −1Ψ̃(t)T0−1pLq0 (T0 ,t)Не ограничивая общности, можно считать, что Ψ̂p (t) абсолютно непрерывна (при p < ∞это прямо следует из (2.1.12)).Тогда, из (2.2.58) по правилу дифференцирования сложной функции получим:−Ψ̂0p (t−1 )dtdΨ̃p (t)[Ψ̂p (t−1 )dt]0==.Ψ̃p (t)Ψ̂p (t−1 )Ψ̂p (t−1 )t2Подставим это равенство с (2.2.58) в формулу (2.2.59):#  p10#p0 "" Z t−10−10 g1 −Ψ̂p (t ) dt  .ρ̇0pqϕq ψp (g1 ; (T0−1 , t−1Ψ̂p (t−1 )−10 )) =ϕq L 0 (T −1 ,t)Ψ̂p (t−1 ) t2T0−1q550Замена τ = t−1 в интеграле дает:ρ̇0pqϕq ψp (g1 ; (T0−1 , t−10 ))ZT0=t0#p0 "" g1 ϕq L−1Ψ̂p (τ )−1 −1)q 0 (T0 ,τ−Ψ̂0p (τ ) 10p#Ψ̂p (τ )dτ  .С учетом равенств (2.2.57) и dΨ̂p (τ ) = Ψ̂0p (τ )dτ, отсюда получим (2.1.18).

4Замечание 2.2.6. Доказательство Теоремы 2.1.4 получается сведением к Теореме2.1.2 так же, как сведение Теоремы 2.1.3 к Теореме 2.1.1.Доказательство Теоремы 2.1.5.++(t0 , T0 ) = Kpq (t0 , T0 )∩= KpqРассмотрим конус неотрицательных функций из Kpq , то есть Kpq+M (t0 , T0 ), снабженный функционалом ρpq (2.1.4). Ясно, что оптимальное ОБФП Ǩpq (t0 , T0 )+7−→ X(t0 , T0 ). Согласнодля Kpq совпадает с оптимальным ОБФП для вложения Kpq0Определению 1.2.5 для ассоциированного ОБФП Ǩpq норма имеет вид (2.1.8). Она эквивалентна по Теореме 1.1 норме ρ̇0pq (2.1.7). По той же теореме (с p = 1) для ρ̌pq (2.1.13)ассоциированная норма эквивалентна g −1 ρ̌0pq = ,(2.2.60)Ψ̌(·)1 ϕ Lq (t0 ,·)L∞ (t0 ,T0 )где Ψ̌1 (t) =Rtt0ψ̌p (τ ).

Подставим сюда равенство (2.1.24) и учтем (2.1.1).1Ψ̌1 (t) =pZ t Zτpψ dξt0 p1 −1Zptd [Ψp (τ )] = Ψp (t), t ∈ (t0 , T0 ).ψ (τ )dτ =t0t0Итак, нормы (2.1.7) и (2.2.60) совпадают. Для оптимального ОБФП в силу принципадвойственности имеем норму, ассоциированную с нормой (2.2.60), то есть совпадающуюс (2.1.23).Замечание 2.2.7. Доказательство Теоремы 2.1.6 получается двукратным применением Теоремы 2.1.3 точно так же, как доказательство Теоремы 2.1.5 сводилось кдвукратному применению Теоремы 2.1.1.2.3Оптимальная банахова оболочка для конуса функций из Lp.Рассмотрим задачу построения оптимального (т.е. минимального) обобщенного банахова функционального пространства (кратко: ОБФП) или оптимального (т.е. минимального) банахова функционального пространства (кратко: БФП), содержащего заданный конус неотрицательных убывающих функций из весового пространства Lp,u (0, T ),0 < p < ∞, T ∈ R+ , u-положительная, измеримая функция:K0 = {h ∈ Lp,u (0, T ) : 0 ≤ h ↓, t ∈ (0, T )},56(2.3.1)снабженный естественным функционалом ZTρK0 (h) = khkLp,u (0, T ) = p1h u dt .p(2.3.2)0Через L0 (0, T ) обозначим множество измеримых по Лебегу, конечных почти всюдуфункций.

Далее, L+0 (0, T ) = {g ∈ L0 (0, T ), g ≥ 0}. Для конуса (2.3.1) определим вложение в БФП (ОБФП) X = X(0, T ).Определение 2.3.1. ВложениеK0 7→ X(2.3.3)означает, что K0 ⊂ X и существует постоянная cK0 ∈ R, такая чтоkhkX ≤ cK0 ρK0 (h),h ∈ K0 .(2.3.4)Определение 2.3.2. БФП (ОБФП) X0 = X0 (0, T ) называется оптимальным (минимальным) для вложения конуса в БФП (ОБФП), если1) K0 7→ X0 ,2) для любого БФП (ОБФП) X = X(0, T ) из вложения K0 7→ X следует, чтоX0 ⊂ X.В Главе 1 для ассоциированных к оптимальным БФП (ОБФП) X00 (соответственно)получена формула для нормы: ZTkgkX00 = sup|g|h dt : h ∈ K0 . ρK0 (h) ≤ 1 .(2.3.5)0Здесь g ∈ L0 (0, T ). Напомним, что для БФП (ОБФП) X(0, T ) ассоциированное БФП(ОБФП) X 0 (0, T ) имеет норму (см.

Определение 1.2.5) ZTkgkX 0 = sup|g|hdt : h ∈ X(0, T ), khkX ≤ 1(2.3.6)0Таким образом, если бы конус K0 совпадал со всем БФП (ОБФП) X и ρK0 (h) =khkX , то формула (2.3.5) по принципу двойственности привела бы к равенству X0 =X000 = X. В интересующем нас случае это не так, и формула (2.3.5) позволяет восстановить по конусу K0 пространство, ассоциированное к оптимальному БФП (ОБФП)X0 (0, T ), содержащему K0 .Наша цель — опираясь на формулу (2.3.5), восстановить оптимальное ОБФП (БФП)X0 (0, T ) для конуса K0 .

Основной результат формулируется следующим образом.Теорема 2.3.1ПустьR t дан конус K0 (2.3.1), снабженный функционалом ρK0 (2.3.2). ОбозначимU (t) = 0 udτ, 0 < U (t) < ∞, t ∈ (0, T ). Тогда оптимальное ОБФП X0 , содержащееконус K0 (2.3.1), имеет нормуZ T p1(2.3.7)kf kX0 (0,T ) =kf kpL∞ (t,T ) u(t)dt , 1 ≤ p < ∞;057TZkf kX0 (0,T ) =0kf kL∞ (t,T ) ũ(t)dt, 0 < p < 1,11ũ(t) = U (t) p −1 u(t)p(2.3.8)p0Замечание 2.3.1. В случае U (T − 0) < ∞ при выполнении условия: u− p ∈Lloc1 < p < ∞; u−1 ∈ Lloc1 (0, T ),∞ (0, T ) при p = 1 X0 является БФП.

В случаеU (T ) = ∞ X0 является ОБФП, но не БФП.Замечание 2.3.2. Отметим, что невесовой случай u ≡ 1 рассмотрен в работе [65].Доказательство Теоремы 2.3.1.1. Доказательство теоремы 2.3.1 в случае 1 ≤ p < ∞.Рассмотрим два случая.1.1 U (T ) = ∞. Перейдем к построению оптимального ОБФП. Будем рассматривать следующее разбиение: U (tm ) = 2m , m ∈ Z. Поскольку 0 < U (t) ↑, U (+0) =0, U (T ) = ∞, то 0 < tm < tm+1 < . . . < T, m ∈ R, lim tm = 0, lim tm = T .Сначала рассмотрим случай p = 1. Для gm→−∞∈ L+0 (0, T ),m→+∞согласно (2.3.5), ZTkgkX00 (0,T ) = supgh dt : h ∈ L1,u (0, T ), 0 ≤ h ↓, khkL1,u (0,T )≤1 .0Эта величина вычислена, в частности, в работе [41]:kgkX00 (0,T )Zt−1= Ag := sup U (t)g dτ : t ∈ (0, T )(2.3.9)0Наша цель — показать, что норма, ассоциированная с нормой (2.3.9), эквивалентнанорме в правой части (2.3.6) при p = 1. Для этого обозначим при Z = 0, ±1, ±2, .

. .−lZtlBg = sup 2gdτ.(2.3.10)l∈Ztl−1Очевидно, что Bg ≤ Ag . Обратно,Ag = supU (t)−1supZtk∈Z t∈[tk−1 ,tk )ZtlНоtlXZ−(k−1)g dτ ≤ sup 2g dτ .k∈Z0l≤k tl−1g dτ ≤ 2l Bg , l ∈ Z. Поэтому,tl−1Ag ≤ Bg supk∈Z−(k−1)2X 2l = Bg sup [2−(k−1) 2k+1 ] = 4Bg .k∈Zl≤k58(2.3.11)Далее, для f, g ∈ L+0 (0, T ) имеемZTf g dτ =tkXZf g dτ ≤k−1≤ BgXg dτ ≤kf kL∞ (tk−1 ,tk )tk−12k kf kL∞ (tk−1 ,tk ) ≤ Agk∈ZX2k kf kL∞ (tk−1 ,tk ) .k∈ZТаким образом, согласно (2.3.9), для f ∈ ZTkf kX0 (0,T ) = supZtkk∈Zk∈Zt0Xf g dτ : g ∈L+0 (0, T ),L+0 (0, T ), XAg ≤ 1 ≤2k kf kL∞ (tk−1 ,tk ) .(2.3.12)k∈Z0f ∈ L+0 (0, T ), k ∈ Z, найдется функция gk ,С другой стороны, для ∀ ∈ (0, 1),такая чтоZtk0 ≤ gk ∈ L1 (tk−1 , tk ),gk dτ = 1;(2.3.13)tk−1Ztkf gk dτ ≥ (1 − )kf kL∞ (tk−1 ,tk )(2.3.14)tk−1Теперь, определим функцию ge ∈ L+0 (0, T ) формуламиge = 2k gk (τ ),τ ∈ [tk−1 , tk ) k ∈ Z.(2.3.15)Тогда, согласно (2.3.10), (2.3.13),Ztk−kBge = sup 2ge dτ = 1;k∈Ztk−1так что, в силу (2.3.11), Age ≤ 4.

Поэтому,kf kX0 (0,T )1= sup4 ZTf g dτ : g ∈L+0 (0, T ),Ag ≤ 4 ≥014ZT0Ztk1 X kf ge dτ =2f gk dτ.4 k∈Ztk−1С учетом неравенств (2.3.14), (2.3.12), отсюда получимkf kX0 (0,T ) ≥1 X k12 kf kL∞ (tk−1 ,tk ) ≥ kf kX0 (0,T ) .4 k∈Z459(2.3.16)Оценим теперь правую часть (2.3.7) при p = 1. Имеем,ZTkf kL∞ (τ,T ) u(τ ) dτ =tkXZkf kL∞ (τ,T ) u(τ ) dτ ≤Xk−1=Xkf kL∞ (tk−1 ,T ) 2k−1 ≤k∈Z=X2k−1k∈ZXkf kL∞ (tk−1 ,T )k∈Zk∈Zt0Ztkkf kL∞ (tl−1 ,tl )l∈ZXXu(τ )dτ =tk−1kf kL∞ (tl−1 ,tl ) =l≥k2k−1 =Xk≤lkf kL∞ (tl−1 ,tl ) 2l .(2.3.17)l∈ZС другой стороны,ZTkf kL∞ (τ,T ) u(τ ) dτ =tkXZkf kL∞ (τ,T ) u(τ ) dτ ≥k−1≥Ztku(τ ) dτ ≥kf kL∞ (tk ,T )k∈Zk∈Zt0Xtk−11 X1 Xkf kL∞ (tk ,tk+1 ) 2k+1 =kf kL∞ (tl−1 ,tl ) 2l .4 k∈Z4 l∈Z(2.3.18)В итоге, из (2.3.17) и (2.3.18)получимZTkf kL∞ (τ,T ) u(τ ) dτ ≤Xlkf kL∞ (τ,T ) u(τ ) dτ.kf kL∞ (tl−1 ,tl ) 2 ≤ 4l∈Z0ZT0Отсюда и из (2.3.16) следует оценка1kf kX0 (0,T ) ≤4ZTkf kL∞ (τ,T ) u(τ ) dτ ≤ 4kf kX0 (0,T ) .0Это доказывает эквивалентность (2.3.7) при p = 1.Теперь рассмотрим случай 1 < p < ∞.

Для g ∈ L+0 (0, T ), согласно (2.3.5), имеем ZTkgkX00 (0,T ) = supgh dt : 0 ≤ h ↓; t ∈ (0, T ); khkLp,u (0,T )≤1 .0Для этой величины из результатов [44] следует двусторонняя оценка: пусть g ∈ L+0 (0, T ),тогдаkgkX00 (0,T ) ∼(2.3.19)= ρe0 (g),где ZT Z tρe0 (g) =p0g dτ0060U−p0 10pu(t) dt.(2.3.20)Покажем, что для g ∈ L+0 (0, T )ρe0 (g) ∼= ρ1 (g) :=X0− kpp Ztkpg dτ2k∈Zp0 10.(2.3.21)tk−1Имеем,ρe0 (g) = X Ztk Z tk∈Ztp0 10p−p0g dt U u(t) dt.(2.3.22)0k−1Следовательно,ρe0 (g) ≤ X Ztkk∈ZПоскольку 2−(k+1)p0pp0 Ztkg dτ0 10 X X Ztlp0 10ppkp0−∼u(t) dtg dτ 2 p.=k∈Ztk−1p0= 2− p 2− X X Ztlk∈ZU−p0kp0pl−1p0, причем 0 < 2− p < 1, то по Лемме 2.1.1,p0g dτl≤k t0− kpp2 10p∼= X Ztkk∈Zl≤k tl−1p0g dτ0− kpp2 10p.(2.3.23)tk−1Из этих оценок получаем:ρe0 (g) ≤ cρ1 (g).(2.3.24)Получим обратную оценку. Согласно (2.3.22), имеем для g ∈ L+0 (0, T )tk−1tk−1p0 ZtkX Zp0X Z 10 100pp(k−1)p0−− pp −1∼pg dτ 2≥g dτUu(t) dtρe0 (g) ≥=k∈Z0k∈Ztk−10tk−1p0X Z p0 10 X Ztl 10pp(k−1)p0lp0−−pg dτ 2≥=g dτ 2 p.k∈Zl∈Ztk−2tl−1Отсюда и из (2.3.24) следует оценка (2.3.21).Теперь покажем, что для любых f, g ∈ L+0 (0, T )ZTX p1pkf g dτ ≤ ρ1 (g)2 kf kL∞ (tk−1 ,tk ) .(2.3.25)k∈Z0Действительно, используя последовательно неравенства Гельдера для интегралови для сумм, имеемZTf g dτ =0tkXZk∈Ztk−1f g dτ ≤Xk∈Z61Ztkkf kL∞ (tk−1 ,tk )tk−1g dτ ≤≤Xk2kf kpL∞ (tk−1 ,tk ) p1 X Ztkk∈Zk∈Zp0g dτ0− kpp 10p2,tk−1что дает (2.3.25).