Диссертация (Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения), страница 14

Если в условиях Теоремы 3.2.1 T := sup {t ∈ (0, T0 ) : U (t) < ∞} <T0 , тоf ∈ X0 (0, T0 ) ⇒ f (t) = 0 п.в. на (T, T0 ).(3.2.13)83Действительно, если существует множество E ⊂ (T, T0 ), µ(E) > 0, такое что |f (t)| >0, t ∈ E, то ∃T1 > T : Φ(T1 ) > 0. Но тогдаΦ(t) ≥ Φ(T1 )χ(0,T1 ) (t),так чтоρ(Φ) ≥ Φ(T1 )ρ(χ(0,T1 ) ) = Φ(T1 )U (T1 ) = ∞.(3.2.14)Итак, допущение противоречит условию f ∈ X0 (0, T0 ). Следовательно, справедлив вывод (3.2.13).3.2.2Оптимальное ИП для конуса двоякомонотонных функций.Пусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; K1 - конус двоякомонотонных функций из Y , т.е.h(t)h(t)↓,↑ ; ρK1 (h) := ρ(h), ∀h ∈ K1 .(3.2.15)K1 = h ∈ Y : 0 ≤ h(t),ϕ(t) ψ(t)Здесь ϕ, ψ ∈ C(0, 2T0 )- заданные функции,λ(t) :=Здесь λ ∈ (∆2 ) ⇔ supt∈(0,T0 )hλ(2t)λ(t)h ∈ K1 ,iϕ(t)↑;ψ(t)λ ∈ (∆2 ) .(3.2.16)< ∞.

Отметим, чтоh 6= 0 ⇒ h(t) > 0, ∀t ∈ (0, T0 ).(3.2.17)Действительно, если допустить, что для h ∈ K1 существует t0 ∈ (0, T0 ) : h(t0 ) = 0, тоt ∈ (0, t0 ] ⇒ 0 ≤h(t0 )h(t)≤= 0 ⇒ h(t) = 0,ψ(t)ψ(t0 )t ∈ (0, t0 ];t ∈ (t0 , T0 ) ⇒ 0 ≤h(t)h(t0 )≤= 0 ⇒ h(t) = 0,ϕ(t)ϕ(t0 )t ∈ (t0 , T0 ).Далее фиксируем t0 ∈ (0, T0 ) и рассмотрим функциюh0 (t) =Имеем 0 <h0 (t)ϕ(t)↓,ϕ(t),ϕ(t0 )0<t ∈ (0, t0 ];h0 (t)ψ(t)h0 (t) =ψ(t),ψ(t0 )t ∈ (t0 , T0 ).(3.2.18)↑ . Потребуем еще, чтобы выполнялось условиеρ(h0 ) < ∞.Тогда h0 ∈ K1 .Замечание 3.2.2.

При нарушении условия (3.2.19) K1 = {0} .84(3.2.19)Действительно, если h ∈ K1 и h 6= 0, то h(t0 ) > 0 (см. (3.2.17)). При этомt ∈ (0, t0 ] ⇒ 0 ≤h(t0 )h(t)≥⇒ h(t) ≥ h(t0 )h0 (t);ϕ(t)ϕ(t0 )t ∈ (t0 , T0 ) ⇒ 0 ≤h(t0 )h(t)≥⇒ h(t) ≥ h(t0 )h0 (t);ψ(t)ψ(t0 )Итак, для любой функции h ∈ K1 имеемh(t) ≥ h(t0 )h0 (t),t ∈ (0, T0 ) ⇒ ρ(h) ≥ h(t0 )ρ(h0 ),Отметим также, что K1 ⊂ C(0, T0 ), поскольку двоякомонотонные функции непрерывны.Рассмотрим оператор A0 : M (0, T0 ) → M+ (0, T0 ) (норма по τ ):f(τ)(A0 f )(t) = ϕ(t) .(3.2.20) λ(t + τ )ψ(τ ) L∞ (0,T0 )Теорема 3.2.2.Пусть Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; пусть выполнены условия(3.2.16), (3.2.19), а также : при любом τ ∈ (0, T0 )λ(t)↑λ(t + τ )на (0, T0 )(по t).(3.2.21)Пусть K1 есть конус двоякомонотонных функций (3.2.15).

Введем функционалρ0 (f ) = ρ(A0 f ), где A0 − оператор (3.2.20).Тогда, ρ0 есть ИКН, а порожденное ею пространствоX0 = X0 (0, T0 ) = f ∈ Y : kf kX0 = ρ(A0 f ) < ∞(3.2.22)(3.2.23)есть ИП, причем X0 ⊂ Y ; более того X0 - минимальное среди всех ИП X = X(0, T0 )для вложения K1 7−→ X.Замечание 3.2.3. В частности, при ϕ(t) = 1,квазивогнутых функций.K1 = {h ∈ Y : 0 ≤ h(t) ↓, th(t) ↑} ,ψ(t) = t−1 , мы получим конус K1ρK1 (h) = ρ(h),h ∈ K1 ,(3.2.24)и в формуле (3.2.20) τ f (τ ) (A0 f )(t) = .t + τ L∞ (0,T0 )(3.2.25)Замечание 3.2.4.

При ϕ(t) = 1, ψ(t) = tβ−1 , 0 < β < 1, получим конусK1 = h ∈ Y : 0 ≤ h(t) ↓, t1−β h(t) ↑ , ρK1 (h) = ρ(h), h ∈ K1 ,(3.2.26)85и в формуле (3.2.20) 1−β τ f (τ ) (A0 f )(t) = (t + τ )1−β .(3.2.27)L∞ (0,T0 )Замечание 3.2.5. Пусть λ удовлетворяет условию (3.2.16), причем λ ∈ C 1 (0, 2T0 ).Тогда,λ(t)λ0 (t)↓ на (0, 2T0 ) ⇒↑ (по t) на (0, T0 ),(3.2.28)λ(t)λ(t + τ )при любом τ ∈ (0, T0 ), т.е. выполнено условие (3.2.21).Доказательство Теоремы 3.2.2.Нужно проверить выполнение условий (3.1.3)-(3.1.6), (3.1.10),(3.1.11) Теоремы 3.1.1.Выполнение свойств (3.1.4)-(3.1.6) для оператора A0 (3.2.20) следует из известных свойствнормы в L∞ . Кроме тогоλ ∈ (∆2 ) ⇒ λ(t + τ ) ∼= λ(τ ),τ ∈ (t, T0 ).(3.2.29)Поэтому,f(τ)(A0 f )(t) ≥ ϕ(t) λ(t + τ )ψ(τ ) L∞ (t,T0 ) f (τ ) ∼.= ϕ(t) ϕ(τ ) L∞ (t,T0 )Применим теперь Лемму 3.2.1 и получим почти всюду на (0, T0 ), что f (τ ) |f (t)|≥.

ϕ(τ ) ϕ(t)L∞ (t,T0 )(3.2.30)Итак, существует c0 ∈ R+ , такая что почти всюду на (0, T0 )|f (t)| ≤ c0 (A0 f )(t),f ∈ M.Значит, выполнено свойство (3.1.3).Далее, функция h ∈ K1 непрерывна на (0, T0 ), так что()h(τ )h(τ )h(τ )= ϕ(t) max sup; sup.(A0 h)(t) = ϕ(t) supτ ∈(0,t] λ(t + τ )ψ(τ )τ ∈(t,T0 ) λ(t + τ )ψ(τ )τ ∈(0,T0 ) λ(t + τ )ψ(τ )При τ ∈ (0, t] или τ ∈ (t, T0 ) применим, соответственно, неравенства11≤,λ(t + τ )λ(t)11≤.λ(t + τ )λ(τ )Тогда,((A0 h)(t) ≤ ϕ(t) max1h(τ )h(τ )sup; supλ(t) τ ∈(0,t] ψ(τ ) τ ∈(t,T0 ) ϕ(τ )Учитывая, чтоh ∈ K1 ⇒h(τ )↑;ψ(τ )86h(τ )↓,ϕ(τ )).получим(A0 h)(t) ≤ ϕ(t) max1h(t) h(t)·;λ(t) ψ(t) ϕ(t)= h(t),t ∈ (0, T0 ).Следовательно,ρ(A0 h) ≤ ρ(h),h ∈ K1 ,т.е. выполнено условие (3.1.10) . Наконец, если f ∈ X0 , то ρ(A0 f ) < ∞, т.е.

h = A0 f ∈ Y+ .Кроме того, в силу (3.2.20)f (τ )A0 f (t) =↓;ϕ(t)λ(t + τ )ψ(τ ) L∞ (0,T0 )λ(t) f (τ ) A0 f (t) =↑,ψ(t)λ(t + τ ) ψ(τ ) L∞ (0,T0 )λ(t)↑ (по t), в силу (3.2.16) и (3.2.21).поскольку λ(t + τ ) ↑; λ(t+τ)Итак, f ∈ X0 ⇒ A0 f ∈ K1 , т.е. выполнено условие (3.1.11). Таким образом, мы получаемтребуемый результат, применяя Теорему 3.1.1. ∆3.2.3Оптимальное ИП для конуса обобщенно двояко монотонных функцийПусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, причем считаем, что ρсогласована со следующим отношением порядка:для f, g ∈ M+ (0, T0 )ZtZtf ≺ g ⇔ f dτ ≤ gdτ, t ∈ (0, T0 ).(3.2.31)00Зафиксируем β ∈ (0, 1) и рассмотрим конусZtK0 = h ∈ Y : h ≥ 0; t−1 hdτ ↓,t−β0Zt0hdτ ↑ ,(3.2.32)снабженный функционалом ρ :ρK0 (h) = ρ(h), h ∈ K0 .(3.2.33)Наша цель - найти оптимальное ИП X0 , порожденное ИКН, которая согласована сотношением порядка (3.2.31), для конуса K0 .Рассмотрим оператор A0 : M (0, T0 ) → M+ (0, T0 )Zτ −ββ−1(A0 f )(t) = |f |dξ , t ∈ (0, T0 )(3.2.34)τ (t + τ )087L∞ (0,T0 )(норма в L∞ (0, T0 ) берется по τ ).

Функция под знаком нормы является непрерывной попеременной τ ∈ (0, T0 ), если f ∈ Lloc1 (0, T0 ) (иначе, норма бесконечна), так чтоZτ(A0 f )(t) = sup τ −β (t + τ )β−1 |f |dξ  , t ∈ (0, T0 ).τ ∈(0,T0 )0Теперь для этого оператора нужно проверить выполнение свойств (3.1.16)-(3.1.19), (3.1.10),(3.1.11) Теоремы 3.1.2.Ясно, что на (0, T0 )0 ≤ A0 f ↓, t1−β (A0 f )(t) ↑ .(3.2.35)Более того,Zt|f |dξ ≤tβ (A0 f )(t)= 21−β t(A0 f )(t),(2t)β−1t ∈ (0, T0 ).(3.2.36)t ∈ (0, T0 ).(3.2.37)0Учитывая, что A0 f убывает, получимZtZt(A0 f )dξ ≥ (A0 f )(t)0dξ = t(A0 f )(t),0Из (3.2.36) и (3.2.37) следует, что для f ∈ M (0, T0 )Zt|f |dξ ≤ 21−βZt0(A0 f )dξ ⇒ |f | ≺ 21−β A0 f.(3.2.38)0Таким образом выполнено свойство (3.1.16) для оператора A0 .

Далее, A0 (αf ) = αA0 f,α ≥ 0;A0 (f + g) ≤ A0 f + A0 g ⇒ A0 (f + g) ≺ A0 f + A0 g, т.е. выполнено свойство (3.1.17) дляоператора A0 с c1 = 1.Проверим (3.1.18). Пусть f, g ∈ M . ТогдаZτ|f | ≺ |g| ⇒Zτ|f |dξ ≤0|g|dξ,τ ∈ (0, T0 ) ⇒ (A0 f )(t) ≤ (A0 g)(t), t ∈ (0, T0 ),0так что |f | ≺ |g| ⇒ A0 f ≺ A0 g.Далее, если 0 ≤ fn ↑ f , то по Теореме ЛевиRτ|fn |dξ ↑0Rτ|f |dξ, τ ∈ (0, T0 ). Из этого0следует, что (A0 fn )(t) ↑ (A0 f )(t) для п.в.

t ∈ (0, T0 ) по известным свойствам нормы вL∞ (0, T0 ), так как для всех τ ∈ (0, T0 )τ−β(t + τ )β−1Zτfn dξ ↑ τ0−ββ−1Zτ(t + τ )f dξ.088Таким образом выполнено свойство (3.1.19).Итак, A0 обладает свойствами (3.1.16)-(3.1.19); ИКН ρ согласована с отношением порядка ≺, и по Теореме 3.1.2 (Часть 1) видим, что ρ0 (f ) = ρ(A0 f ) есть ИКН, а порожденноеею пространство X0 = X0 (0, T0 ) с kf kX0 = ρ0 (|f |) = ρ(A0 f ) < ∞ есть ИП, причем ρ0согласована с отношением порядка и справедливо вложение X0 ⊂ Y .

Итак,Zτ(3.2.39)kf kX0 = ρ  sup τ −β (t + τ )β−1 |f |dξ  .τ ∈(0,T0 )0Покажем, что выполнены свойства (3.1.10) и (3.1.11).Для f ∈ M (0, T0 ) имеем, согласно (3.2.34)(A0 f )(t) = maxsup τ −β (t + τ )β−1τ ∈(0,t]Zτ|f |dξ  ; sup τ −β (t + τ )β−1τ ∈(t,T0 )0Zτ0∼|f |dξ=ZτZτβ−1−β−1∼sup τ|f |dξ ; sup τ.|f |dξ= max tτ ∈(0,t]τ ∈(t,T0 )00Тогда, для h ∈ K0 получимZτZtsup τ −β hdξ  = t−β hdξ;sup τ −1τ ∈(0,t]0(3.2.40)τ ∈(t,T0 )0Zτhdξ  = t−10Zthdξ,(3.2.41)0так что из (3.2.40) с f = h ∈ K0 следует:h ∈ K0 ⇒ (A0 h)(t) ∼= t−1Ztt ∈ (0, T0 ).hdξ,(3.2.42)0Поэтому,Zt0(A0 h)(τ )dτ ∼=Ztτ −1 0ZτZthdξ  dτ =0−βZt≤ tτ β−1 τ −β0Zτhdξ 0τβ−101dτ =βZτhdξ  dτ ≤0Zth(ξ)dξ,0т.е. A0 h ≺ c̃0 h, h ∈ K0 ⇒ ρ(A0 h) ≤ c̃0 ρ(h), h ∈ K0 .Это и есть свойство (3.1.10).

Теперь проверим (3.1.11). Видим, чтоf ∈ X0 ⇒ A0 f ∈ Y+ , так как ρ(A0 f ) < ∞.Обозначим h(t) = A0 f (t) для f ∈ X0 (0, T0 ). Тогда h ≥ 0, ρ(h) < ∞, и согласно (3.2.35)t1−β h(t) ↑,0 ≤ h(t) ↓,89и мы имеем−1Zt0 ≤ h(τ ) ↓⇒ thdτ ↓,0τ1−βZth(τ ) ↑⇒Zthdτ =0τ1−βh(τ )τβ−11−βdτ ≤ tZth(t)0τ β−1 dτ =h(t)t.β0Поэтому,t−βZt0hdτ  = t−β h(t) − βt−1Zthdτ  ≥ 0 ⇒ t−βZt00hdτ ↑ .0Видим, что h ∈ K0 .

То есть выполнено свойство (3.1.11). Итак, для оператора (3.2.34)выполнены свойства (3.1.16)-(3.1.19),(3.1.10),(3.1.11). Значит, по Теореме 3.1.2, справедлив следующий результат.Теорема 3.2.3. Пусть Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, котораясогласована с отношением порядка (3.2.31). Пусть K0 есть конус (3.2.32). Для f ∈M+ (0, T0 ) введем функционал ρ0 (f ) = ρ(A0 f ), где A0 f -оператор (3.2.34).Тогда, ρ0 есть ИКН, согласованная с отношением порядка (3.2.31), а порожденное еюпространствоX0 = X0 (0, T0 ) = {f ∈ M (0, T0 ) : ρ0 (|f |) < ∞}есть ИП, причем X0 ⊂ Y и X0 является оптимальным ИП с нормой, согласованнойс отношением порядка (3.2.31), для вложения K0 7−→ X.3.2.4Оптимальное перестановочно инвариантное пространстводля конуса двоякомонотонных функцийПусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, согласованной с отношением порядка в терминах убывающих перестановок (т.е.

монотонной относительноубывающих перестановок)f ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g∗,f, g ∈ M+ (0, T0 );(3.2.43)где f ∗ , g ∗ - убывающие перестановки функций:f ∗ (t) = inf {y > 0 :λf (y) ≤ t} ,t ∈ (0, T0 )(3.2.44)и λf (y) - Лебегова функция распределенияλf (y) = µ {x ∈ (0, T0 ) : f (x) > y} , y ∈ R+ .(3.2.45)f ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g ∗ ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g).(3.2.46)Итак,ПустьK0 = {h ∈ Y : 0 ≤ h(t) ↓; th(t) ↑} ,90ρK0 (h) := ρ(h).(3.2.47)Введем оператор A0 : M (0, T0 ) → M+ (0, T0 ) : ∗ τ f (τ ) (A0 f )(t) = .