Диссертация (Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения), страница 13

Пусть (S, µ), (T, ν)-пространства с неотрицательными σ-конечнымимерами; в M+ (T, ν) введем отношение порядка ≺, подчиненное отношению ≤ ν- п.в.Пусть Y = Y (S, µ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; пусть оператор Ã : M (T, ν) →M + (S, µ) обладает следующими свойствами: Ãf = Ã(|f |);Ãf = 0 ⇒ f = 0 ν − п.в.;Ã(f ) < ∞ µ − п.в.

⇒ |f | < ∞ ν − п.в.;Ã(αf ) = αÃf,α ≥ 0; f ∈ M (T, ν);(3.1.28)(3.1.29)существуют ограниченные операторы Bi : Y → Y, i = 1, 2 и постоянная c1 ∈[1, ∞), такие чтоÃ(f + g) ≤ c1 [B1 Ãf + B2 Ãg],|f | ≺ |g| ⇒ Ãf ≤ Ãgf, g ∈ M (T, ν);(3.1.30)µ − п.в.;(3.1.31)0 ≺ fn ↑f ⇒ 0 ≤ Ãfn ↑ Ãf.78(3.1.32)Тогда,f ∈ M+ (T, ν),ρ̃(f ) = ρ(Ãf ),(3.1.33)есть ИКН, согласованная с отношением порядка ≺ и обладающая порядковым свойством Фату; X = X(T, ν) -ИП, порожденное ИКН ρ̃ :X = {f ∈ M (T, ν) : kf kX = ρ̃(|f |) < ∞} .(3.1.34)Доказательство Теоремы 3.1.3.1. Проверим, что ρ̃ обладает свойствами квазинормы (Р1).

Имеем,ρ̃(f ) = ρ(Ãf ) = 0 ⇒ Ãf = 0 µ − п.в. ⇒ f = 0 ν − п.в.Далее, если α ≥ 0, тоρ̃(αf ) = ρ(Ã(αf )) = αρ(Ãf ) = αρ̃(f ),Кроме того, с учетом (3.1.30) и (Р1) для ρρ̃(f + g) = ρ(Ã(f + g)) ≤ c1 ρ(B1 Ãf + B2 Ãg) ≤ c1 c[ρ(B1 Ãf ) + ρ(B2 Ãg)].Отсюда и из ограниченности Bi : Y → Y, i = 1, 2, следует, чтоρ̃(f + g) ≤ c1 c[kB1 k ρ̃(f ) + kB2 k ρ̃(g)].(3.1.35)Таким образом,ρ̃(f + g) ≤ D[ρ̃(f ) + ρ̃(g)],D = c1 c max {kB1 k , kB2 k} .(3.1.36)2. Далее, f, g ∈ M+ (T, ν), f ≺ g ⇒ Ãf ≤ Ãg ⇒ ρ(Ãf ) ≤ ρ(Ãg) (последнее, в силусвойства (Р2) для ρ; мы учли также свойство (3.1.31).Итак, f ≺ g ⇒ ρ̃(f ) ≤ ρ̃(g), т.е. ρ̃ обладает свойством (3.1.15), а значит, и свойством(Р2).3. Пусть 0 ≺ fn ↑f .

Используя свойство (3.1.32), а затем свойство Фату (P 3) для ρ,имеем ρ(Ãfn ) ↑ ρ(Ãf ), так что0 ≺ fn ↑f ⇒ ρ̃(fn ) ↑ ρ̃(f ),(3.1.37)т.е. справедливо порядковое свойство Фату (а значит и обычное свойство Фату (Р3))для ρ̃.4. Наконец, из (Р4) для ρ и (3.1.28) следует для f ∈ M+ (T, ν)ρ̃(f ) < ∞ ⇔ ρ(Ãf ) < ∞ ⇒ Ãf < ∞ µ-п.в. ⇒ f < ∞ ν - п.в.Итак, ρ̃ обладает свойствами (Р1)-(Р4), т.е. является ИКН, причем согласованной с отношением порядка и обладающей порядковым свойством Фату. ∆Пример 3.1.1.79Пусть (S, µ) = (R+ ; m),задается условиемm− мера Лебега на R+ , а отношение порядка в M+ (T, ν)f ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g∗.(3.1.38)Здесь f, g ∈ M+ (T, ν), f ∗ , g ∗ - их убывающие перестановки; такf ∗ (t) = inf {y ∈ R+ : λf (y) ≤ t} ,λf (y) = ν {x ∈ T : |f (x)| > y} .Введем оператор Ã:(Ãf )(t) = f ∗ (t), t ∈ R+ ; f ∈ M (T, ν).(3.1.39)Считаем, что в ИП Y = Y (R+ ; m) ограничены операторы вида Sβ , 0 < β < 1,(Sβ h)(t) = h(βt),t ∈ R+ .Тогда, по известным свойствам убывающих перестановок при 0 < β < 1(f + g)∗ (t) ≤ f ∗ (βt) + g ∗ ((1 − β)t) = (Sβ f ∗ )(t) + (S1−β g ∗ )(t),t ∈ R+ ,т.е.

Ã(f + g) ≤ B1 Ãf + B2 Ãg; B1 = Sβ , B2 = S1−β .Это дает оценку (3.1.30) с c1 = 1. Остальные свойства (3.1.28),(3.1.29),(3.1.31)(3.1.32)следуют непосредственно из известных свойств перестановок. Итак, ρ̃(f ) = ρ(f ∗ ) естьИКН, согласованная с отношением порядка (3.1.38) и обладающая порядковым свойством Фату: fn∗ ↑ f ∗ ⇒ ρ(fn∗ ) ↑ ρ(f ∗ ), а пространствоX = {f ∈ M (T, ν) : kf kX = ρ(f ∗ ) < ∞}(3.1.40)есть перестановочно инвариантное ИП.Пример 3.1.2.Пусть (S, µ) = (R+ ; m), а отношение порядка в M+ (T, ν) задается условиемf ≺ g ⇔ f ∗∗ ≤ g ∗∗ .где f ∗∗ (t) =1tRtf ∗ dτ,(3.1.41)t ∈ R+ .0Считаем, что ИП Y = Y (R+ ; m) порождено ИКН ρ.

Введем оператор(Ãf )(t) = f ∗∗ (t), t ∈ R+ ; f ∈ M (T, ν).(3.1.42)Выполнение свойств (3.1.28)-(3.1.32) следует из известных свойств убывающих перестановок, причем в (3.1.30) можно считать c1 = 1, B1 = B2 = I− тождественный оператор.Итак, ρ̃(f ) = ρ(f ∗∗ ) есть ИКН, согласованная с отношением порядка (3.1.41) и обладающая порядковым свойством Фату: fn∗∗ ↑ f ∗∗ ⇒ ρ(fn∗∗ ) ↑ ρ(f ∗∗ ), причем если ρ естьнорма, то и ρ̃ является нормой; пространствоX = {f ∈ M (T, ν) : kf kX = ρ(f ∗∗ ) < ∞}есть перестановочно инвариантное ИП.80(3.1.43)Пример 3.1.3.Пусть (S, µ) = (T, ν) = (Rn ; mn ) где mn есть n− мерная мера Лебега, а отношениепорядка задается условиемf ≺ g ⇔ M0 f ≤ M0 gп.в.,где1(M0 f )(x) = supQ3x |Q|Z|f |dyQ-максимальная функция Харди-Литтлвуда (sup по всем кубам Q, таким что x ∈ Q; |Q| =mn (Q)).

Пусть Y = Y (Rn ; mn ) есть ИП, порожденное ИКН ρ.Введем операторÃf = M0 f.Свойства (3.1.28)-(3.1.32)следуют из известных свойств максимальной функции, причемв (3.1.30) c1 = 1, B1 = B2 = I− тождественный оператор.3.23.2.1Построение идеальных оболочек при различныхотношениях порядка и условиях монотонности.Оптимальное ИП для конуса неотрицательных убывающих функций.Пусть (S, µ) = ((0, T0 ); µ), где T0 ∈ (0, ∞],есть ИП, порожденное ИКН ρ;µ - мера Лебега на R+ . Пусть Y = Y (S, µ)K0 = {h ∈ Y : 0 ≤ h ↓; h(t + 0) = h(t), t ∈ (0, T0 )} ;(3.2.1)ρK0 (h) := ρ(h), h ∈ K0 ;U (t) = ρ(χ(0,t) ), t ∈ (0, T0 ).(3.2.2)В качестве отношения порядка используем поточечное неравенство µ-п.в.:f ≺g⇔f ≤gµ-п.в.

на (0, T0 ), f, g ∈ M+ .(3.2.3)Тогда условия (P 2) и (3.1.15) эквивалентны, т.е. ρ согласована с отношением порядка.Далее, в силу свойств (P 1) − (P 4) имеемU (t) > 0; U (t) ↑; U (t − 0) = U (t), t ∈ (0, T0 ).Если K0 6= {0}, то ∃t0 ∈ (0, T0 ) : U (t0 ) < ∞. Действительно, пусть h ∈ K0 , h 6=0, т.е. ∃t0 ∈ (0, T0 ) : h(t0 ) > 0. Тогда в силу согласованности ИКН ρ с отношениемпорядка, имеемh(t) ≥ h(t0 )χ(0,t0 ) (t) ⇒ ρ(h) ≥ h(t0 )ρ(χ(0,t0 ) ) = h(t0 )U (t0 ).81Итак,U (t0 ) ≤ρ(h)< ∞.h(t0 )ПустьT := sup {t ∈ (0, T0 ) : U (t) < ∞} ∈ [t0 , T0 ].Покажем, что конус K0 полон на (0, T ), т.е.∃h ∈ K0 : h(t) > 0, t ∈ (0, T ).Если U (T ) < ∞, то h = χ(0,T ) ∈ K0 , так что K0 полон на (0, T ) и при T = T0 K0 полонна (0, T0 ).Пусть теперь U (T ) = ∞.

Дискретизация {tk }k∈N0 :U (tk ) = 2k U (t0 ), k ∈ N0 .Тогда t0 < tk < tk+1 , k ∈ N; limk→∞ tk = T.Обозначим ∆k = [tk−1 , tk ), k ∈ N и введемh(t) = h0 χ(0,t0 ) (t) +∞Xhk χ∆k (t),(3.2.4)k=1где h0 = 1; 0 < hk+1 < hk таковы что∞Phpk 2kp p1< ∞.k=0Здесь p ∈ (0, 1] взято из условия (2C)p = 2 , где C ≥ 1 -постоянная из условия (P 1) дляквазинормы ρ. Тогда0 < h(t) ↓; h(t + 0) = h(t), t ∈ (0, T ),причем∞∞∞XXXpp ph0 χ(0,t0 ) p +khhpk 2kp < ∞.khχ≤U(t)=k ∆k YkkYk=0k=1k=0По свойствам ИП (см. Теорему 2.4) отсюда следует сходимость в Y ряда (3.2.4) и оценкаkhkY ≤ 21p∞X! p1hpk 2kp< ∞,k=0так что h ∈ K0 .

Значит, конус K0 является полным на (0, T ).Если здесь T = T0 , то K0 - полный конус на (0, T0 ). Если же T < T0 , то∀h ∈ K0 ⇒ h(t) = 0, t ∈ [T, T0 ).(3.2.5)Действительно, если при T1 ≥ T будет h(T1 ) > 0, то для h ∈ K0h(t) ≥ h(T1 )χ(0,T1 ) (t) ⇒ ρ(h) ≥ h(T1 )U (T1 ) = ∞.Итак, K0 -выпуклый конус в Y+ , причем полный на (0, T ). Введем оператор A0 : M (0, T0 ) →M+ (0, T0 ) формулой(A0 f )(t) = kf kL∞ (t,T0 ) , t ∈ (0, T0 ).(3.2.6)82Тогда оператор A0 удовлетворяет всем требованиям (3.1.16)-(3.1.19) Теоремы 3.1.2 приотношении порядка 0 ≤0 .Действительно, выполнение условий (3.1.17)-(3.1.19) следует из известных свойств нормы в L∞ . Для проверки свойств (3.1.16),(3.1.10),(3.1.11) используем следующую лемму.Лемма 3.2.1 Пусть T0 ∈ (0, ∞], f ∈ M (0, T0 ).

Введем функциюΦ(t) = kf kL∞ (t,T0 ) , t ∈ (0, T0 ).(3.2.7)Пусть существует τ1 ∈ (0, T0 ), такое что Φ(τ1 ) < ∞. Введемτ0 = inf {τ ∈ (0, T0 ) : Φ(τ ) < ∞} ∈ [0, τ1 ].Тогда Φ обладает следующими свойствами1)0 ≤ Φ(t) ↓;Φ(t + 0) = Φ(t), t ∈ (0, T0 );Φ(t) < ∞, t ∈ (τ0 , T0 );2)|f (t)| ≤ Φ(t) для почти всех t ∈ (0, T0 );3)если 0 ≤ f (t) ↓ на (0, T0 ), f (t + 0) = f (t), то f (t) = Φ(t), t ∈ (0, T0 ).(3.2.8)(3.2.9)(3.2.10)Тогда, в силу (3.2.9), свойство (3.1.16) справедливо с c0 = 1; если h ∈ K0 , то в силу(3.2.6),(3.2.7),(3.2.10) h(t) = (A0 h)(t), так что свойство (3.1.10) выполнено с c2 = 1.Остается лишь проверить, что A0 (X0 ) ⊂ K0 , т.е., чтоΦ(t) = kf kL∞ (t,T0 ) ∈ K0 , если f ∈ X0 .Для f ∈ X0 видим, что ρ(Φ) < ∞, т.е. Φ ∈ Y+ (0, T0 ). Кроме того, Φ удовлетворяетусловиям (3.2.8), так что Φ ∈ K0 .Таким образом, Теорема 3.1.2 применима, и мы приходим к следующему результату.Теорема 3.2.1.Пусть Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ;K0 = {h ∈ Y (0, T0 ) : 0 ≤ h ↓; h(t + 0) = h(t) на (0, T0 )} .ρK0 (h) := ρ(h); U (t) = ρ(χ(0,t) ).Для f ∈ M+ (0, T0 ) введем функционалρ0 (f ) = ρ(kf kL∞ (t,T0 ) ).(3.2.11)Тогда, ρ0 (f ) есть ИКН, а порожденное ею пространствоnoX0 = X0 (0, T0 ) = f ∈ Y : kf kX0 = ρ(kf kL∞ (t,T0 ) ) < ∞(3.2.12)есть ИП, причем X0 (0, T0 ) оптимально для вложения K0 7−→ X, т.е.1)K0 7−→ X0 (0, T0 );2) если X = X(0, T0 ) есть ИП: K0 7−→ X, то X0 (0, T0 ) ⊂ X(0, T0 ).Замечание 3.2.1.