3-4 (Лекции Лунева PDF)

Семестр 4. Лекции 3-4.Лекции 3 - 4. Волновые свойства микрочастиц.Гипотеза де Бройля. Дифракция микрочастиц. Принцип неопределённости Гейзенберга. Задание состояния микрочастицы. Волновая функция, ее статистический смысл и условия,которым она должна удовлетворять. Принцип суперпозиции квантовых состояний. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.Гипотеза де БройляВ 1924 году французский физик Луи де Бройль высказал гипотезу о том, что все материальные объекты в природе обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами. По гипотезе де Бройля корпускулярно-волновой дуализм является всеобщим свойствомматерии, и поэтому любая частица (электрон, протон, нейтрон и др.) обладает волновыми свойствами.

При этом наличие у частицы волновых свойств принципиально изменяет характереё движения и способ описания такого движения.По гипотезе де Бройля волновые свойства свободной частицы, движущейся по инерции в отсутствие внешних силовых полей, описывает плоская волна де Бройля, частота  идлина волны Б которой связаны с корпускулярными характеристиками частицы – энергиейE и импульсом p . Эта связь имеет вид:Eh 2. ,Б  ppНаправление распространения волны де Бройля совпадает с направлением движения частицы, и можно показать, что групповая скорость волны uгр и скорость частицы  одинаковы.В теории волновых процессов уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в направлении оси x , имеет вид:( x, t )  A cos(t  kx) .Его часто записывают в комплексной форме:( x, t )  A exp i(t  kx) ,учитывая, что гармоническая функция cos  является действительной частью комплекснойфункции exp(i  ) , где i  1 - мнимая единица.Уравнение плоской волны определяет амплитуду волны A , её круговую частоту  и2волновое число k .

Начальная фаза волны в выражениях для ( x, t ) выбрана равной ну-лю. Так как для плоской волны де БройляE, kp, то уравнение плоской волны деБройля можно записать в виде: i ( x, t )  A exp  ( Et  px)  .Плоская волна де Бройля описывает волновые свойства свободной частицы, имеющей энергию E и импульс p . Сравнивая квадраты амплитуд волн де Бройля в различных областях пространства, можно оценить вероятности нахождения частицы в этих областях.

Вероятность обнаружения частицы в данной области пространства тем больше, чем больше квадратамплитуды волны де Бройля, т.е. её интенсивность.Волны де Бройля, которые часто называют волнами материи, как и волны любой природы, могут отражаться, преломляться, интерферировать друг с другом, испытывать дифракциюпри взаимодействии с неоднородностями. Тогда можно говорить, например, о дифракции частиц и наблюдать дифракционные эффекты в различных экспериментах с неоднородными средами.

Один из первых опытов по дифракции электронов на кристалле был выполнен в 1927 году американскими учёными Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером .1Семестр 4. Лекции 3-4.Опыт Дэвиссона-Джермера.В опыте Дэвиссона-Джермера ускоренные в электронной пушке электроны попадали накристалл никеля под некоторым углом скольжения  . Регулировкой величины ускоряющейразности потенциалов в электронной пушке изменялись кинетическая энергия и импульс вылетающих электронов и, следовательно, их длина волны де Бройля.

По току детектора в опытеизмерялось число отражённых от кристалла электронов. Структура кристалла никеля была хорошо известна из данных рентгеноструктурного анализаБыло обнаружено резкое увеличение числа отражённых от кристалла электронов в техслучаях, когда для электронных волн де Бройля выполнялось условие Вульфа-Брэггов, (этоусловие было получено в опытах по дифракции рентгеновских лучей на кристалле никеля):2d sin   n Б , n  1, 2,...,соответствующее условию усиления вторичных волн, отражённых от различных атомных слоёв(плоскостей). В этой формуле d - расстояние между атомными плоскостями, проходящими через узлы кристаллической решётки, а целое число n - порядок максимума отражения волны деБройля. Результаты опыта полностью подтвердили гипотезу де Бройля.В 1927 году Петр Саввич Тартаковский, а в 1928 году английский физик Дж. Томсон(сын Дж.

Томсона, открывшего электрон) получили новое подтверждение гипотезы де Бройля.В своих экспериментах Тартаковский наблюдал дифракционную картину при прохождениимедленных электронов через поликристаллы никеля, а Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохождении пучка электронов через тонкую поликристаллическуюфольгу из золота.Опыт ТомсонаФольгапучок электроновФотопластинкаВпоследствии дифракционные явления были обнаружены также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Экспериментальное доказательство наличия волновыхсвойств микрочастиц привело к выводу о том, что это универсальное явление природы, общеесвойство материи.

Следовательно, волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Однако вследствие большой массы макроскопических тел их волновые свойства немогут быть обнаружены экспериментально. Например, песчинке массой 0,1 г, движущейся соскоростью 0,1 м/с, соответствует волна де Бройля с длиной порядка 10–30 м, т. е.

приблизительно на 20 порядков меньше размеров атомов. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области. Этот пример показывает, что макроскопические тела могут проявлять только корпускулярные свойства.Таким образом, учёт волновых свойств частиц необходим в случае, когда характерный размер задачи сопоставим с длиной волны де Бройля.Принцип неопределённости Гейзенберга.Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является однимиз фундаментальных принципов квантовой механики.2Семестр 4. Лекции 3-4.xВ классической физике погрешности измерения параметров частицы обусловлены толькоточностью измерений. И если физические величины являются независимыми друг от друга, топогрешности их измерений тоже являются независимыми.

При указании значений измереннойфизической величины приводится доверительный интервал, в котором она принимает значенияс некоторой вероятностью. Полуширина этого доверительного интервала пропорциональнасреднеквадратичному отклонению.Оказывается, что учёт волновых свойств частиц накладывает принципиальные ограничения на точность измерения физических величин. Эти ограничения не связаны с погрешностямиизмерений, а являются следствиями корпускулярно-волнового дуализма частиц.Рассмотрим дифракцию частицы на щели.

Частица движется по нормали к экрану со щелью, поэтому её вектор импульса направлен перпендикулярно к экрану. Если вдоль экрана,перпендикулярно щели направить ось Х, то можно сказать, что до щели у частицы был нулевойимпульс вдоль оси Х. Пусть ширина щели равна x. После дифракции на щели частицы какволны де Бройля положение первого минимума дифракционной картины задаётся величинойугла , где x  sin    . Т.е. можно сказать, что после щели у частицы появится дополнительный импульс вдоль оси Х: px , что приведёт к отклонению частицы от направления первонаpчального движения.

При этом tg   x . Т.к. величина угла  мала, тоXppxh. Но   , поэтому получаем, что px  x  h . Это tg   sin  pxpравенство можно трактовать следующим образом – при более точномопределении положения частицы на оси Х ( x  0 ) мы получаем большую погрешность в определении импульса вдоль этой оси ( px   ).Этот факт отражает принцип неопределённости – в природе не существует состояния частицы с точно определёнными значениями координаты и проекции импульса на эту ось. Таким образом, понятие траектории частицы в микромире теряет смысл.Измерение величины одного параметра приводит к изменению величины какого-то другого параметра, следовательно, появляется неопределённость этого параметра.

Чтобы отразитьэтот факт, принцип неопределённости можно сформулировать следующим образом – любоеизмерение состояния системы приводит к изменению этого состояния.Математическим выражением термина неопределённость физической величиныявляется среднеквадратичное отклонение значения этой величины, получаемое в процессенаблюдения за частицей (системой). Это среднеквадратичное отклонение физической величины А принято обозначать А.Две физические величины называются канонически сопряжёнными, если для них можно записать соотношение неопределённости Гейзенберга.

Например, координата частицы и импульс вдоль этой координаты являются канонически сопряжёнными. Тогда для них можно записать: px  x , аналогично p y  y и pz  z  .222В любом состоянии частицы нельзя одновременно как угодно точно измерить импульс и координату частицы вдоль одной оси.Замечание. В этих соотношениях неравенство надо понимать как оценочное, т.к. при расчётахполучаются оценки по порядку величин.Но координата и импульс вдоль другой координаты не являются сопряжёнными величинами. Например px  y  0 - т.е.

эти величины могут быть измерены одновременно как угодноточно.3Семестр 4. Лекции 3-4.Существуют и другие сопряжённые величины. Например, энергия и время: E  t ,2где Е – неопределённость значения энергии, t – неопределённость интервала времени, в течение которого проводились наблюдения за значением энергии.Отсюда, в частности, следует оценка времени пребывания системы в нестабильном состоянии с «избыточным» значением энергии: .EИ, наоборот, если неопределённость времени наблюдения за состоянием системы равнаt , то в этом состоянии неопределённость энергии E.tЗамечание.