3-4 (Лекции Лунева PDF), страница 2

В случае, когда длина волны де Бройля  значительно меньше характерногоразмера задачи L, можно пользоваться законами классической физики. Действительно, есh2ли  1 , т.е. 1 , то, считая, что px  p и применяя соотношение неопределёнpL pLLxности: x , получаем оценку погрешности: 1 .2pLВ итоге, можно сказать, что при учёте волновых свойств частицы теряет смысл нетолько понятие траектории, но и деление энергии частицы на потенциальную и кинетическую.

Ибо потенциальная энергия зависит от координаты, а кинетическая от импульса.Волновая функцияСостояние микрочастицы (характеристики её движения, взаимодействия с другимичастицами и т.д.) полностью задаётся функцией, которую называют волновой функциейи обозначают  (пси-функция).Переходя к описанию движения частиц в квантовой механике, сформулируем ряд её постулатов, лежащих в основе теории.

Первый постулат квантовой механики гласит: состояние частицы в квантовой механике описывается волновой функцией ( x, y, z, t ) , являющейся функцией пространственных координат и времени. Физико-математический аппарат,разработанный в квантовой механике, позволяет, проводя некоторые операции над волновойфункцией , получать полную информацию о движении микрочастицы.Статистический смысл волновой функции.Невозможность задать состояние микрочастицы указанием в любой момент времени еёкоординат и скорости и отказ от траекторного способа описания движения приводят к вероятностному способу описания движения микрочастицы. Это означает, что в квантовой механике,описывая состояние микрочастицы, следует указать способ определения вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства в данный момент времени.В 1926г.

Макс Борн предложил следующий вероятностный смысл волновой функции: квадрат модуля волновой функции ( x, y, z, t ) определяет плотность вероятностиобнаружения частицы в момент времени t  0 в точке пространства M  M ( x, y, z ) с координатами x, y, z :dP2 .dVЭто соотношение можно преобразовать к виду:dP   dV ,илиdP    dVгде dP - вероятность того, что для заданного квантового состояния частицы в некоторый момент времени мы обнаружим частицу в некоторой малой области пространства, объём которой dV,   - функция комплексно-сопряжённая функции . Поэтому для нахождения вероят24Семестр 4.

Лекции 3-4.ности того, что частица находится в некоторой области2P V     dV или P(V )     dV .Vнадо вычислить интеграл:VVСледовательно, если частица не может находиться в области V, то P V     dV  0 .2VТ.к.   0 , то это равенство возможно при2  0 , т.е.   0 в этой области V. Если ча-стица обязательно находится в области V, то P V     dV  1 .2VСледовательно, квадрат модуля волновой функции должен быть интегрируемой функцией поэтой области.Замечание. Вероятность того, что частица находится в какой-то определённой точке, равна нулю, т.к. в этом случае объём соответствующей области нулевой.Свойства волновой функции.Вероятностный смысл волновой функции накладывает определённые ограничения, илиусловия, на волновые функции в задачах квантовой механики.

Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать2бесконечныхзначений,таких,чтоинтегралыP V     dV ,VP(V )     dV ,V2 dV  1 , станут расходящимися интегралами. ПоследнийV интеграл выражает условие нормировки волновой функции; волновую функцию,удовлетворяющую этому условию, называют нормированной волновой функцией.

Кусловию нормировки мы ещё вернёмся. В задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно.3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волноваяфункция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Крометого, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции  ,,.x y zЭти условия часто называют для краткости условиями КОН.Принцип суперпозиции состояний.Если частица может находиться в одном состоянии и может находиться в другом состоянии, то она может находиться и в состоянии, являющимся суперпозицией этих состояний.

Этоозначает, что если первое состояние описывается волновой функцией 1, а второе - 2, тосостояние, являющееся суперпозицией состояний, описывается волновой функцией, являющейся их линейной комбинацией: 3 = с11+с22, где с1 и с2 – некоторые константы.Суперпозиция состояний в квантовой механике отличается от суперпозиции состояний в классической физике. Например, в классической физике суперпозиция колебаний приводит к новому колебанию с большей или меньшей амплитудой.

Возможен даже случай нулевой амплитуды. В квантовой механике же нулевая амплитуда соответствует отсутствию частицы в данномсостоянии.5Семестр 4. Лекции 3-4.Для того чтобы определить какую-то физическую величину, описывающую состояниечастицы, надо осуществить некие математические операции над волновой функцией, соответствующей данному состоянию, и проанализировать полученные результаты.Процесс определения значения какой-то физической величины А в соответствующемсостоянии частицы, по своей сути является процессом измерения данной физической величины,меняющим состояние частицы. Поэтому в результате измерения должна измениться волноваяфункция данного состояния. Таким образом, процесс измерения следует описывать правилом,по которому меняется волновая функция, т.е. следует задать соответствующую «функцию отфункции» или оператор физической величины Â , сопоставляющий волновой функции одногосостояния  волновую функцию другого состояния  .

Математически процесс измеренияможно записать так: Â   . Принцип суперпозиции требует, чтобы этот оператор был лиˆ c   c    c Aˆˆнейным, т.е. A1 1221 1  c2 A 2 .Допустим, что при измерении некоторой физической величины в состоянии с волновойфункцией 1 получается одно значение А1, а в состоянии с 2 – другое: А2. Какое значениеполучится при измерении физической величины в состоянии, являющимся суперпозицией этихсостояний: 3=с11+с22?Процесс измерения любой физической величины носит вероятностный характер.

Т.е. тотили иной результат измерения можно получить с какой-то определённой вероятностью. Этоозначает, что при однократных измерениях мы будем получать значения А1 или А2 с некоторыми, вообще говоря, разными вероятностями р1 и р2 .Замечание. Состояние, в котором при однократных измерениях физических величин всегдаполучаются одни и те же значения, принято называть чистым состоянием. В обратномслучае, состояние называют смешанным.Требования, чтобы измерения сводились к операциям над волновыми функциями, приводят к условию, налагаемому на математическое выражение для волновой функции: она должна быть функцией, принимающей значения в комплексном пространстве.

Поэтому для неёсправедливы все операции над комплексными числами.Математическое отступление.Напомним, что символом i обозначается такое комплексное число, что i 2  1 .Любое комплексное число z может представлено в виде z  x  i  y , где x и y – вещественныечисла. При этом число x называется вещественной частью числа z и обозначается x  Re  z  , ачисло y называется мнимой частью числа z и обозначается y  Im  z  .Число z* является комплексно сопряжённым числу z  x  i  y , если z*  x  i  y .В частности: i*  i . Для вещественного числа z*  z .z1  x1i 1y иz2  x2i 2y равна:Сумма двух комплексных чиселz1  z2  x1  x2  i  y1  y2  .Произведение двух комплексных чисел z1  x1  iy1 и z2  x2  iy2 равно:z1  z2   x1  iy1    x2  iy2   x1 x2  ix1 y2  iy1 x2  iy1  iy2  x1 x2  y1 y2  i  x1 y2  y1 x2 и не зависит от порядка сомножителей.2В частности, z  z*  x 2  y 2  z*  z .

Т.е. z  z*  z*  z  z . Кроме того, z  z* .Для того чтобы разделить одно комплексное число z1  x1  iy1 на другое z2  x2  iy2 ,надо знаменатель и числитель дроби умножить на комплексно сопряжённое число к знаменателю:z1 z1 z2* z1 z2*1. В частности,  i .2*z2 z2 z2iz26Семестр 4. Лекции 3-4.Комплексное числоz  xi yможно записать в видеz  z  cos   i  sin  , гдеxy, sin   .zzcos  Соотношение Эйлера ei  cos   i  sin  можно получить следующим образом. Обозначим f    cos   i  sin  . Тогда справедливо соотношение:f      sin   i  cos   i   cos   i  sin   i  f .Решением этого дифференциального уравнения, с учётом условия f  0   1 , является функцияf    ei , поэтому ei  cos   i  sin  .

Это соотношение позволяет привести ещё более короткую запись для комплексного числа: z  z ei .С учётом такой формы записи получаем, чтоz*  z ei , z1  z2  z1  z2 ei 1 2  ,z  z*  z .2 z1  z2 *  z1 ei1  z2 ei2   z1  z2 ei 1 2 ** z1  z2 ei 1 2   z1 e i1  z2 e i2  z1*  z2* .Возведение комплексного числа в степень: z n  z ein .nИзвлечение корня n-й степени:nz  n z ei 2 kn(где k=0, , n1) даёт n корней.Замечание.