3-4 (Лекции Лунева PDF), страница 3

ei  cos 2   sin2   1 .Уравнение Шрёдингера.Волновая функция должна являться решением уравнения Шрёдингера:2i  U   ,t2mгде m – масса частицы, i 2  1 , U – действительная функция координат и времени, такая, чтовектор  gradU является классическим аналогом силы, действующей на частицу. В случае, когда U не зависит от времени, она совпадает с потенциальной энергией.2 2  2  2  2  2 - результат действия на функцию  оператора Лапласа.xyzСледовательно, волновая функция должна быть непрерывно-дифференцируемой один раз повремени и два раза по пространственным координатам.2Уравнение i  U   носит название (временного) уравнения Шрёдинt2mгера (по имени немецкого физика Эрвина Шрёдингера, предложившего его в 1926 году).Уравнение Шрёдингера является одним из постулатов (аксиом) квантовой механики ииграет в квантовой физике такую же фундаментальную роль, как уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической электродинамике.Уравнение Шрёдингера является линейным, т.е.

линейная комбинация решений тожеявляется решением. Действительно, если каждая из функций 1 и 2 является решением, то ихлинейная комбинация 3=с11+с22 (где с1 и с2 – некоторые константы) тоже является реше2 3нием, т.к. уравнение i 3  U   3 в силу следующих равенств:t2m7Семестр 4. Лекции 3-4.2  c11  c2  2   c11  c2  2   U   c11  c2  2  иt2m221 2c1i c2i c11  c1U  1  c2 2  c2U   2tt2m2mявляется линейной комбинацией уравнений221 2иi1  U  1i 2  U   2 .t2mt2mСледовательно, принцип суперпозиции состояний не противоречит уравнению Шрёдингера.Замечание. Сопряжённое уравнение Шрёдингера для волновой функции имеет вид:i*22*   *  U  * .  U    или ii  t2m t   2m*Пример.

Найдем волновую функцию для свободно движущейся частицы в одномерной области(волны де Бройля). В этом случае U = 0, поэтому уравнение Шрёдингера принимает вид:2i .t2m22Пусть частица движется вдоль оси Х, тогда получаем соотношение: i.t2m x 2Решение этого уравнения ищем в виде плоской волны (С=const):  C  ei kx t   C   cos  kx  t   i sin  kx  t   .После подстановки в уравнение выражений для производных 2   2  i kx t     i kx t  i  kx t , 2 Ce k 2Cei kx t  CeiCe2xxt tполучаем равенство: iiCei kx t   После сокращений остаётсяk Ce 2m22i kx t .2k 2 . Если по аналогии с фотоном свободной частице при-2mписать энергию E   и импульс p  k , то получим классическое соотношение между киp2.2mРассмотрим решение типа плоской волны для частицы, которая движется в одномернойi kx t области, в которой U(x) не зависит от времени.

Т.к. в этом случае   Ce и уравнение22Шрёдингера имеет вид: i U   , то после подстановки функции в уравнениеt2m x 2получаем равенство:нетической энергией и импульсом: E iiCei kx t   k Ce 2m22i kx t   U  Ce i kx t .2k2 U , которое можно трактовать как определение механичеПолучаем соотношение:  2mской энергии в классической физике E  EK  U .Замечание.

Для свободной частицы квадрат модуля волновой функции равен:  Cei kx t   C2822 cos  kx  t   sin  kx  t   C222.Семестр 4. Лекции 3-4.bПоэтому интеграл P  a  x  b     dx  C   b  a  имеет смысл только для ограниченной22aобласти.Условие нормировки.Уравнение Шрёдингера линейное, поэтому если решением является функция , то решением является также и функция 1  с   , где n =const. В этом смысле говорят, что волновая функция определяется с точностью до константы.Из физического смысла следует, что для всей области определения волновой функции Vсправедливо утверждение – вероятность того, что частица находится в этой области V, равнаединице:2P V     dV  1 .VСледовательно, если при решении задачи о поиске волновой функции в некоторой области бы22ло найдено решение 1, но при этом  1 dV  С  1 , то в качестве волновой функции следуV1ет взять функцию  2  1 , т.к. она тоже является решением и для неё выполняется:СV22dV  V11122dV  2  1 dV  2 С  1 .СС VС2Правило выбора решения , такого, что для него во всей области выполняется условие2P V     dV  1Vназывается условием нормировки решения на единицу или просто условием нормировки.Замечание.

В принципе, формально можно выбрать и другое условие нормировки – например:2  dV  2 ,Vно тогда квадрат модуля волновой функции уже не будет иметь смысл плотности вероятности.Вектор плотности потока вероятности.В классической физике из уравнений движения частиц или уравнений Максвелла следуют разнообразные законы сохранения и уравнения непрерывности. Посмотрим, как обстоит дело с уравнением Шрёдингера.Если частица не находится постоянно в некоторой области пространства V, то вероятность её нахождения в этой области должна зависеть от времени.

Поэтому в этом случаеdP d 2    dV   0 ,dt dt  VdPгде- скорость изменения вероятности. Предполагаем, что объём неподвижен, поэтомуdt  * * dP d 22    dV      dV     *  dV     dV .dt dt  VttttVV VИз уравнения Шрёдингера следует, что 1  2   U    .t i  2mИз сопряжённого уравнения Шрёдингера:9Семестр 4. Лекции 3-4.*1ti 2*  U  *  . 2mТогда:1 2 dP1 2     U    *  *  U  *   dV ,dt V  i  2mi  2m откуда после сокращений 1 2dP1 2i* *   dV  *       * dV .    dt V  i 2mi 2m2m VИспользуя известные формулы векторного анализа, запишем два следующих равенства:div  grad *    grad  ,grad *   * и div  * grad     grad  ,grad *   *  .Отсюда приходим к соотношению: div  grad *  * grad    *  *  .С учётом теоремы Остроградского-Гаусса получаем:dPiidiv  grad      grad   dV  grad      grad  dS ,dt2m V2m Sгде в правой части стоит поток вероятности через поверхность S , который и приводит к изменению вероятности P .

Введём вектор плотности потока вероятности j следующим соотношением:ijgrad *  * grad   .2mТогда для скорости изменения вероятности получим интегральное соотношение:dP   j ,dS ,dtSкоторое является уравнением непрерывности для поля вероятности в интегральной форме. Егофизический смысл заключается в следующем: изменение вероятности нахождения частицы внекотором объёме V равно с обратным знаком потоку вектора j через замкнутую поверхностьS, ограничивающую этот объём. Знак минус в правой части соответствует естественному предположению о росте вероятности P при поступлении в объём V извне потока вероятности иубывании P при изменении направления вектора j на поверхности S.Т.к. для неподвижного объёма справедливо равенство:dP d 22    dV      dV ,dt dt  V V  ti2div  grad *  * grad  dV можно получитьто из равенства    dV  t2m VVуравнение непрерывности для поля вероятности в дифференциальной форме:2  div  j  .tСтационарные состояния.Особенности движения микрочастиц в тех или иных силовых полях можно выявить, рассматривая стационарные состояния – состояния, в которых полная энергия частицыостаётся постоянной.

В этом случае плотность вероятности пребывания частицы в какой-либо точке пространства не зависит от времени. Волновая функция, описывающаястационарное состояние частицы, является решением уравнения Шрёдингера для стационарныхсостояний.10Семестр 4. Лекции 3-4.Замечание. Из принципа неопределённостей для времени и энергии E  t следует, что2если неопределённость энергии в каком-то состоянии стремится к нулю E  0 , то время пребывания системы в этом состоянии должно быть бесконечно большим. В этом смысле состояние называется стационарным.Как будет установлено далее (в теории операторов), волновая функции частицы в стационарном состоянии со значением энергии Е принимает особый вид:Ei t  e ,где функция «пси малая»  зависит только от координат частицы, но не зависит от времени,поэтому её иногда называют координатной частью волновой функции стационарного состояния.В стационарном состоянии плотность вероятности не зависит от времени.

Действительно, плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функции:  e2E 2i t  e2E 2i t .2Следовательно, для стационарного состояния уравнение непрерывности для поля вероятности примет вид:div  j   0 .Соответственно, вектор плотности потока вероятности для стационарного состоянияимеет вид:ij  grad *  *  grad   .2mУравнение Шрёдингера для стационарного состояния.Необходимым условием стационарности состояния является независимость от временифункции U, т.е.

в стационарном состоянии эта функция однозначно трактуется как потенциальная энергия. В этом случае, подставим во временное уравнение Шрёдингера     eEi t:2  U   ,t2mEEE2i t i t i tieeUe,t 2m EEE2i ti t E  i ti   i   e e   U    e .2miТ.к. eEi t 0 , то можно сократить eEi t: E  22m  U   .

После преобразований получаемуравнение 2m2 E U     0которое носит название уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.11.