11 (Лекции Лунева PDF), страница 3

Число таких перестановок равно N! . Перестановки местами пустыхячеек тоже не дают новых распределений, их число равно (ZN)! . Таким образом, число различных распределений N частиц по Z ячейкам в данном случае равно:Z!.N! Z  N !Это выражение определяет число возможных распределений N фермионов по Zячейкам, т.е. статистический вес макросостояния системы фермионов.Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится также как и для бозе-частиц.В шестимерном фазовом пространстве с координатами  x, y,z, px , p y , pz  две изоэнергетические поверхности f  x, y,z, px , p y , pz   Ei  const иf  x, y, z , px , py , pz   Ei1  const вы-деляют тонкие энергетические слои. Опять предполагаем, чтоEi 1  Ei  Ei .

Пусть в i-омслое имеется Zi ячеек и N i частиц. Тогда статистический вес подсистемы из N i частиц естьZi!i . Статистический вес всей системы равен произведению статистических весовNi! Zi  Ni !её отдельных подсистем:Zi!   i  .ii Ni! Z i  N i  !Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужнонайти максимум статистического веса при условии, что полное число частиц системы N иполная энергия системыEостаются постоянными, т.е.иN   Ni  constiE   Ni Ei  const .iКак и для бозе-частиц, вместо максимума статистического веса  будем искать максимум энтропии S  k  ln  :Zi!S  k  ln  k   ln Zi!  ln  Ni!  ln  Zi  Ni ! .ii Ni! Z i  Ni  !Используем формулу Стирлинга: ln n!  nln  n   n , которая справедлива при n  1 .

Поэтомупри Zi  1 и Ni  1 , выполняется:S  k    Zi ln Z i  Z i  Ni ln Ni  N i   Z i  N i  ln  Z i  N i    Z i  N i  iилиS  k    Zi ln Zi  Ni ln Ni  Z i ln  Z i  N i   N i ln  Z i  N i   .iS  С  k    Ni ln Ni   Zi  Ni  ln  Z i  Ni   ,iгде С  k   Zi ln Zi .iСлагаемое N можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремум энтропии S варьироваться будут только числа частиц в слое N i , а N от них не зависит.8Семестр 4. Лекции 11.Для отыскания максимума энтропии используем метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию F  S  1 N   2 E , гдеF  С  k    Ni ln Ni   Z i  Ni  ln  Z i  N i    1  N i   2  N i Ei ,iiiа 1 и 2 - множители Лагранжа. Равенство нулю частных производных этой функции по N i :N1 i  E 1 2 iZiFe k . k  ln Ni  1  ln  Z i  Ni   1  1   2 Ei  0 , откудаNiNiZiNОтношение ni  i представляет собой среднее число ферми-частиц, приходящихсяZi1на одну ячейку, т.е.

на одно квантовое состояние: ni  1 2 Ei.ke1Множители Лагранжа 1 и 2 находятся точно также как и в случае бозе-частиц:11. 2   , 1  , где  - химический потенциал. Тогда ni  Ei TTe kT  1Освобождаясь от индекса i, приходим к окончательному выражению для среднего числа ферми-частиц, приходящихся на одно квантовое состояние:1.n  E kTe 1Это соотношение называется распределением Ферми-Дирака. Оно определяет среднеечисло ферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией E.Следствия из распределения Ферми-Дирака.1.

n не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состояниине может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку n  1 , то говорят, что распределение Ферми-Дирака определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией E при температуре T.2. Химический потенциал  для ферми-частиц может быть только положительным, т.е. > 0. Иначе при T  0 экспонента в знаменателе обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения - в нуль, чего быть не может.1Рассмотрим случай малых чисел заполнения: n  E  1 . Это условие выполняетkTe 1E E Eся при e kT  1 , но тогда n  e kT  A  e kT , где A  e kT , т.е.

распределение ФермиДирака при малых числах заполнения (говорят, в случае разреженного ферми-газа) переходит в классическое распределение Больцмана. Т.к. в распределение Больцмана в случае малых чисел заполнения переходит также и распределение Бозе-Эйнштейна, то можно сделатьвывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.Принципиальное различие между распределениями Ферми-Дирака и Больцмана наблюE дается при 1 . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянииkTв большом количестве.

Для них n тем больше, чем меньше энергия состояния E. Что же касается ферми-частиц, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом запрета Паули.9Семестр 4. Лекции 11.Химический потенциал , который имеет размерность энергии, в случае ферми-частицназывают энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают EF. При этом распределениеФерми-Дирака принимает вид:1.n  E  EFkTe1Т.к. для фермионов  > 0, то энергия Ферми EF > 0 также больше нуля.

(Энергия ФермиEF медленно меняется с изменением температуры T).Рассмотрим зависимость распределения Ферми-Дирака от температуры. Будем считать,что рассматриваемая температура T может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е.T  0.

Обозначим через EF(0) значение энергии Ферми при T  0. Этот случай будем условноназывать случаем «нулевой температуры: T = 0». Из распределения Ферми-Дирака следует, чтов случае T = 0:1, E  EF  0 .n 0, E  EF  0 Это означает, что все квантовые состояния с энергиями E  EF  0  оказываются занятымифермионами, а все состояния с энергиями E  EF  0  - свободными.

Таким образом, при T = 0энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией, которой могут обладать фермичастицы.Распределение Ферми-Дирака в этом случае представляет собой ступенчатую функцию<n><n>T=01T >0kT11/2E0EF(0)E0EF(0)единичной высоты, обрывающуюся при E  EF  0  . При отличных от нуля температурах резкий скачок < n > от единицы до нуля становится более размытым и происходит в областиэнергий, шириной порядка нескольких kT. Чем выше температура, тем шире область, в которой< n > меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных со1стояний к незаполненным. Однако, при любой температуре при E=EFn  . Т.е.

в со2стоянии с энергией, равной энергии Ферми, всегда находится один электрон.Наряду с энергией Ферми EF при анализе поведения ферми-частиц вводятся также импульс Ферми pF и скорость Ферми vF, определяемые соотношениями: pF  2me EF ,2 EF. При T = 0 это максимальные импульс и скорость, которыми могут обладатьmeферми-частица.vF Электронный газ в металлахПрименим статистику Ферми-Дирака к описанию электронов проводимости в металлах.Будем рассматривать свободные электроны, т.е. ту часть атомных электронов, которая может10Семестр 4. Лекции 11.свободно перемещаться по всему проводнику.

Именно эти электроны, в отличие от электронов,заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводностьметаллов. Поэтому их называют электронами проводимости.Замечание. Электроны проводимости в металлах не являются, вообще говоря, абсолютно свободными, т.к. испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллическойрешетки. Поэтому электроны находятся в усреднённом электрическом поле положительныхионов. Но внутри металла средняя суммарная сила, действующая на свободный электрон практически равна нулю, тогда как вблизи границы эта сила стремится вернуть электроны внутрьметалла.

Таким образом, можно рассматривать идеальный газ свободных электронов, находящихся внутри металла как в потенциальной яме.Рассмотрим поведение электронного газа при T = 0. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно принципу запрета Паули в каждом состоянии может находиться не более одного электрона, но т.к.

электро1ны могут различаться проекцией спина  , то на каждом энергетическом уровне будет нахо2диться по два электрона с различной ориентацией спинов. Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбуждённом энергетическом уровне, следующая пара электронов - на втором возбуждённом уровне ит.д. Если число электронов в металле равно N, то при T = 0 будут заполнены первые N 2уровней с энергией E  Emax . Все остальные уровни с энергией E  Emax будут свободны.Сравнивая полученный результат с распределением Ферми-Дирака при T = 0, приходим к выводу, что максимальная энергия электронов Emax совпадает с энергией Ферми EF  0  .Хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным, но уровни энергии расположены настолько плотно, что энергетическийспектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным).Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергии.

Плотность32m 2квантовых состояний для электронов в металле: g  E   2 30 V E .Произведение g  E  на ширину энергетического интервала dE определяет число состояний, приходящихся на интервал энергий от E до E+dE. Умножая это произведение на<n>, т.е. на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от E до E+dE.Интегрируя это выражениепо энергии, получаем полное число свободных электронов в металле:N   g  E  n dE .0Запишем аналогичные выражения для концентрации электронов n получаем: dn 3202 32mФункция F  E  1EeE  EFkTnиdE13202 32mdndE0E1E  EFkT3202 32mN.

С учетом вида g  E V1EeE  EFkTdE .1называется функцией распределения свобод-e1ных электронов по энергиям. При T = 0 функция F(E) имеет вид:11Семестр 4. Лекции 11.322m0F  E     2 3 E , E  EF  0 0 , E  E F  0 и распределение электронов по энергиям описывается выражением:322m0dn   2 3 EdE, E  EF  0  .0 , E  E F  0 Замечание. Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль. Так,например, если известна функция распределения частиц по энергиям F(E), то можно найтисреднее значение любой физической величины f, зависящей от E.