11 (Лекции Лунева PDF), страница 2

нужно найти N  Zi  1! при заданном числе частиц системымаксимум выражения   i   iNi! Z i  1!iiN   Ni и полной энергии системы E   Ni Ei .iiВместо поиска экстремума выраженияi   i  ii Ni  Zi  1!Ni! Zi  1!будем искать мак-симум энтропии S, которая связана со статистическим весом соотношением БольцманаS  k  ln  : N  Zi  1!  k  ln N  Z  1 !  ln N !  ln Z  1 !  .S  k  ln  ii   i i    i   i  Ni! Zi  1!iДля дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга, согласно которой при n  1 : ln n!  nln  n   n .

При Ni  1 и Zi  1 получаем:4Семестр 4. Лекции 11.S  k    Ni  Zi  1 ln  Ni  Z i  1   Ni  Z i  1  N i ln N i  N i   Z i  1 ln  Z i  1   Z i  1 iили S  k    Ni  Zi  1 ln  Ni  Z i  1  N i ln N i   C , где величина C  k   Zi  1 ln  Zi  1ii- не зависит от числа частиц N i .Чтобы найти максимум энтропии для заданного числа частиц системы N и энергии E,применяем метод множителей Лагранжа, согласно которому необходимо построить вспомогательную функцию F  S  1 N   2 E (где 1 и 2 – постоянные множители) и найти её экстремум: F  k    Ni  Zi  1 ln  Ni  Zi  1  Ni ln Ni   C  1  Ni   2  Ni Ei .iiiFНеобходимые условия экстремума 0 имеют вид:N iF11 k  ln  Ni  Z i  1   Ni  Z i  1 ln N i  N i   1   2 Ei  0NiNi  Ni  Zi  1илиNi  Zi  1eNi  E 1 2 ik,Ni11  E 1 2 iZiZie k . Ni   Zi откудаNi ni представляет собой среднее число частиц, приходящихся на однуZiячейку фазового пространства, т.е.

на одно состояние в i-ом энергетическом слое.1Поскольку Zi  1 , то слагаемым в числителе 1 можно пренебречь. Тогда для niZiполучаем:1.ni  1 2 Eie k 1Найдем множители Лагранжа 1 и 2. Т.к. все частные производные функции F равны нулю,то это означает, что равен нулю дифференциал этой функцииdF, т.е.dF  dS  1dN   2 dE  0 . Но так как число частиц системы N постоянно, то dN = 0 и, поэто-Отношениему dS   2 dE .Предположим теперь, что рассматриваемая система получает в обратимом процессе некоторое количество теплоты Q при неизменном объёме V. Поэтому изменение энтропии сиQdEстемы равно dS .

Поскольку V=const, то A=0 и Q  dE , следовательно, dS TT1откуда  2   . Множитель 1 запишем в виде: 1  , где  - некоторая функция параTTметров состояния системы, в частности, температуры. Эту функцию называют химическимпотенциалом. С учетом выражений для 1 и 2 выражение для niпринимает вид:ni 1Ei kT. Освобождаясь от индекса i, окончательно получаем распределение Бозе-e1Эйнштейна:1n eE kT.15Семестр 4.

Лекции 11.Оно описывает распределение бозе-частиц по энергиям и определяет среднее число бозечастиц n , находящихся в квантовом состоянии с энергией E. Величину n называюттакже числом заполнения энергетического уровня с энергией E.Как следует из распределения Бозе-Эйнштейна, число бозе-частиц, находящихся на одном энергетическом уровне (в одном состоянии), ничем не ограничено и при малых значенияхE параметраможет оказаться очень большим. Это важная отличительная особенность боkTзе-частиц.Замечание.

Химический потенциал  для систем бозонов с постоянным числом частиц Nможет принимать только отрицательные значения, т.е.  < 0. Действительно, если бы  могбыть положительным, то при E <  экспонента в знаменателе была бы меньше единицы:E kTe 1 и соответствующие числа заполнения n стали бы отрицательными, что невозможно.Рассмотрим случай малых чисел заполнения: n  1 . Это условие выполняется приE E  1 . Пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе,kTE1получаем: n  E   A  e kT , где A  e kT . Мы видим, что при малых числах заполнения,e kTили, как говорят, в случае разреженного бозе-газа, распределение Бозе-Эйнштейна переходит в классическое распределение Больцмана.Газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа,называется вырожденным газом.

Поскольку распределение Бозе-Эйнштейна существеннымобразом отличается от распределения Больцмана, то газ бозонов является вырожденным газом. И только в случае малой плотности ( n  1 ) вырождение снимается и разреженный бозегаз ведет себя подобно идеальному газу.Число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне, может быть очень большим. Кроме того, при определённых условиях в системе бозе-частиц может происходить бозеконденсация - скопление очень большого числа частиц в состоянии с энергией E=0.

Именно с бозе-конденсацией связаны такие явления, как сверхтекучесть и сверхпроводимость.Распределение Бозе-Эйнштейна используется для описания свойств систем, состоящихиз бозе-частиц: как простых, например, фотонов, фононов, так и более сложных, составных,например, атомов 4 He , электронов, образующих куперовские пары, и т.д. С его помощью описываются свойства теплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физическиеявления.

Что же касается поведения обычных газов, атомы которых являются бозе-частицами,то анализ показывает, что при нормальных температурах и давлениях эти газы не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение наступает либо при оченьнизких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е.

при тех условиях, при которыхгазы перестают быть идеальными. Таким образом, для этих газов статистика Бозе-Эйнштейна втой области, в которой справедлива кинетическая теория газов, практически не отличается отклассической статистики Больцмана.e kT  1 , илиСлучай переменного числа частиц.При выводе распределения Бозе-Эйнштейна число частиц системы N оставалось постоянным. Какой вид имеет распределение Бозе-Эйнштейна для системы с переменным числом частиц? Примером такой системы является тепловое излучение внутри замкнутой полости.

Стенки полости непрерывно поглощают и испускают излучение, поэтому число фотонов внутри полости постоянно меняется. Фотоны являются бозе-частицами и при не очень сильных (нелазерных) интенсивностях излучения не взаимодействуют друг с другом. Так что излучение в за6Семестр 4. Лекции 11.мкнутой полости представляет собой идеальный бозе-газ фотонов с переменным числом частиц.Рассмотрим систему бозонов с переменным числом частиц N.

Решаем задачу также каки выше. Поскольку в данном случае  Ni  N  const , то при нахождении условного экстреiмума энтропии S методом множителей Лагранжа вместо функции F  S  1 N   2 E следуетвзять функцию F  S   2 E (исчезло условие постоянства числа частиц системы). Поэтому соответствующий множитель Лагранжа 1 = 0 . В силу того, что химический потенциал  имножитель 1 связаны соотношением =1Т, получаем, что и =0. Таким образом, химический потенциал системы бозонов с переменным числом частиц равен нулю и распределение Бозе-Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид:1.n  EkTe 1Пример. Получим формулу Планка для равновесного теплового излучения из распределенияБозе-Эйнштейна.Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагретыдо некоторой температуры Т.

Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов. По1скольку для фотонов E   , то n  .kTe 1Энергия излучения в узком энергетическом интервале от E до E+dE складывается изэнергий отдельных фотонов. Плотность квантовых состояний g(E), т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов определяется выражением:E2g  E   2 3 3 V .

Произведение g(E) на dE дает число квантовых состояний, заключённых cвнутри интервала dE. Умножая это произведение на среднее число фотонов в данном состояn и на энергию фотона E, получаем, что суммарная энергия фотонов в интервале dEнииn  g  E   EdE .Данному энергетическому интервалу (от E до E+dE) соответствует частотный интерEE dEвал, т.е. интервал частот от  до   d   . Получим выражение для той же саравна:мой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения u,T , котораяпредставляет собой энергию излучения в единичном частотном интервале, отнесённую к единице объёма. Т.к.

энергия фотонов в частотном интервале d равна u,T V  d  , (V - объёмполости), тоdEE21u,T V  d   n  g  E   EdEu,T V  2 3 3 V  EdE или, ce kT  1откуда приходим к формуле Планка:3 1u,T  2 3 . c kTe 1Следует отметить, что именно с этой формулы началось становление квантовой механики.Распределение Ферми-ДиракаНайдем распределение ферми-частиц, т.е. частиц, обладающих полуцелым спином. Ферми-частицы подчиняются принципу (запрета) Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находиться более одного фермиона. Т.е.

можно сказать, что7Семестр 4. Лекции 11.фермионы являются частицами-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т.е. систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов.Сначала найдем число возможных распределений N частиц по Z ячейкам пенала приусловии, что в каждой ячейке не может находится более одной частицы. Число ячеек Z и число частиц N должны удовлетворять условию Z  N.Число всевозможных перестановок пустых ячеек пенала и ячеек с частицами равно Z! .При этом перестановки только ячеек с частицами в силу тождественности частиц не приводят кновым распределениям.