11 (Лекции Лунева PDF), страница 4

Оно определяется соотношением: f E F Ef 0 F E1  f E F E .n00Получим выражение для энергии Ферми EF  0  при T = 0. Поскольку при абсолютномn  1 при E  EF  0 нуле температурыn  0 при E  EF  0  , то верхний предел ин-итеграла в выражении для n можно заменить на EF  0  :EF  0 n03202 32mТогда отсюда получаем, что EF  0  EdE 2 3 n 22m0233202 32 2m3 3 EF  0   2 .. Из этого соотношения можно по известномузначению концентрации найти энергию Ферми EF  0  , или, наоборот, по известной энергииФерми найти концентрацию свободных электронов в металле.Пример.

Оценим величину энергии Ферми для свободных электронов в металле при T=0.Пусть n = 51022 см-3 = 51028 м-3 , тогда EF  0   5 эВ. Таким образом, EF  0  по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми TF:Но EF  0  2 3 n 22m023, поэтому TF 2 3 n 22m0 k23TF EF  0 .k.Пример. При значении EF  0  = 5 эВ температура Ферми имеет величину TF = 60000 K, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру.

Рассмотрим случай T > 0, когда ступенька в распределении Ферми-Дирака, характернаядля T = 0, размывается и переход от заполненных электронами состояний к незаполненнымпроисходит более плавным образом.Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину ~kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину ~ kT, оказываются свободными. И только в области энергий шириной ~ kT вблизи энергии Фермиимеются состояния, частично заполненные электронами.

Однако, хотя ширина этой области, как правило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важнуюроль. Только электроны, заполняющие состояния в этой области, могут принимать уча12Семестр 4. Лекции 11.стие в различных физических процессах, происходящих в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.Получим выражение для энергии Ферми EF при отличной от нуля температуре металла.В этом случае:32 02 302mEdE. E  EF exp  1 kT Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми EF как функцию температуры Tи концентрации электронов n. Однако в общем случае интеграл точно не берётся.

Приближённое значение интеграла удается получить при kT  EF . В этом случае для энергии Ферми получаем: 2  kT 2 EF  EF  0  1   . 12  EF  0   Так как условие kT  EF  0  выполняется для всего диапазона температур, при которомметаллы существуют в твердом виде, то это соотношение справедливо для всех реализуемых напрактике случаев. Более того, во многих ситуациях эта поправка оказывается ничтожно малой,так что ей можно пренебречь и считать, что EF  EF  0  . Действительно, если взять EF  0   5nэВ, то при комнатной температуре, т.е.

при kT  0,025 эВ, относительная величина поправки кE  EF  0 EF  0  составляет F 2 105 .EF  0 Однако, для понимания ряда физических явлений, таких, например, как поведение теплоёмкости металлов при низких температурах или объяснение термоэдс, зависимость EF от Tимеет принципиальное значение.Замечание. Из распределения свободных электронов в металле по энергиям можно также получить распределения электронов по импульсам p и по скоростям v. Эти распределения2Eполучаются с использованием соотношений: p  2me E и v .meВырожденный электронный газ.Вырожденный электронный газ - это газ, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа из-за неразличимости одинаковых частицв квантовой механике. Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда,когда среднее расстояние между частицами a становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы  B , т.е. a  B .

Когда это условие нарушается в случае разреженных газов квантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Больцмана.Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляютсяквантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из бозе-частиц, температура вырождения определяется как температура, нижекоторой происходит бозе-конденсация, т.е. переход заметной доли частиц в состояние с нулевой энергией. (Именно с бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления,как сверхтекучесть жидкого гелия, т.е.

его способность протекать через тонкие щели и капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов.)Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура Ферми TF. Как следует из выражения: TF 22m0 k2 32n  3 , температура вырождения13Семестр 4.

Лекции 11.тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому TF особенновелика у электронного газа в металлах: TF ~104 К .При температуре T < TF, т.е. при kT  EF  0  , электронный газ в металлах является вырожденным. При температуре T > TF, т.е. при kT  EF  0  , электронный газ невырожден.Замечание. Поскольку температура Ферми для металлов имеет величину TF ~ 104 K, тоэлектронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которыхметалл остается в твердом состоянии.В полупроводниках характер поведения электронного газа зависит от величины концентрации носителей заряда. В примесных полупроводниках при высокой концентрации донорнойпримеси электронный газ может оказаться вырожденным.

В полупроводниках с акцепторнойпримесью свойствами вырожденного газа может обладать газ дырок. Такие полупроводникиназываются вырожденными полупроводниками.Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми-частицами,температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей областитемператур вплоть до температуры сжижения являются невырожденными и подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана.Пример. Вычислим интервал между соседними энергетическими уровнями свободныхэлектронов в металле при T = 0 вблизи уровня Ферми.

Считаем, что концентрация свободныхэлектронов n = 1028 м-3.3202 32mE E , где E разность энергий между ближайшими энергетическими уровнями, а n - изменение числаэлектронов при переходе на соседний уровень. Поскольку на каждом уровне при T = 0 находится два электрона, то n =2.

Подставляя в приведённое соотношение выражение для энергии2 2 21Ферми, получаем: E  2 1022 эВ. Это настолько ничтожно малая величина,me  32 n 1 3Решение: Для решения задачи воспользуемся выражением n что обнаружить её практически невозможно. Поэтому энергетический спектр свободных электронов в металле можно считать непрерывным (квазинепрерывным).14.