11 (Лекции Лунева PDF)

Семестр 4. Лекции 11.Лекции 11. Квантовые статистические распределения.Плотность квантовых состояний. Распределение Ферми - Дирака. Функцияраспределения частиц по энергиям. Энергия Ферми. Вырожденный электронный газ, температура вырождения. Распределение Бозе - Эйнштейна. Фотоны и фононы. Вывод формулы Планка из квантовой статистики Бозе - Эйнштейна.Плотность квантовых состояний.Энергия электрона, находящегося в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемымистенками, описывается выражением:2222 2   n1   n2   n3           ,E2me   a1   a2   a3  где a1 , a2 , a3 – длины сторон прямоугольной ямы.

Энергия электрона меняется не непрерывно,а дискретно, т.к. числа n1, n2, n3 могут принимать только целочисленные значения. Однако, если энергия частицы существенно больше энергии основного состояния, то разница между значениями энергии соседних уровней Е значительно меньше самого значения энергии:E  E , тогда можно считать, что энергия электрона меняется практически непрерывно (квазинепрерывно).Введём трёхмерное пространство, вдоль трёхвзаимно перпендикулярных осей которого отложеныn3квантовые числа n1, n2, n3 (пространство квантовых чисел).

Точка этого пространства, координата которой задаётся набором целым чисел (n1, n2, n3), называется узлом. Каждому узлу в пространстве квантовыхчисел соответствует определённое значение энергии.rОдному значению энергии электрона может соответствовать несколько состояний (например, отличаю0n21щихся проекциями спина электрона  ). Узлу можно2сопоставить элементарный кубик с единичной длиной рёбер: n1  n2  n3  1, так что объём этого куn1бика равен единице: V  n1  n2  n3  1 .Пусть N – количество узлов, в которых энергияэлектрона не превышает некоторое фиксированное значение E. Если ввести обозначение n a a    a1n2 a3    a1a2 n3  1 2 343 a1a2 a3 2r2E222,товыражениедляэнергииприметвид:a a a r 1 2 31322me E . Тогда число узлов N равно отношениюr , откуда232me  a1a2 a3 объёмов этой восьмой части сферы соответствующего радиуса (в которой все три координатынеотрицательные {n1>0, n2>0, n3>0} (т.е.

в одной восьмой части сферы)) к объёму элементарного кубика:4 3rV1 сф 1 31 aa a32N  1 3 2 3 3  2me E  .8 V 8 V6 21Семестр 4. Лекции 11.Ниже учтём, что объём потенциальной ямы (в обычном пространстве) равен: V  a1a2 a3 ,а величина p  2me E - величина (нерелятивистского) импульса. Поэтому1 Vp3 23Vp 3N  3 3  3 36 6 2341Vp 33 23.Теперь рассмотрим фазовое пространство, каждая точка в котором задаётся 6-юкоординатами – это три пространственные координаты и три проекции импульса x, y,z, px , p y , pz  .

Частица, находящаяся в потенциальной яме, в состояниях, энергия которыхне превышает некоторое значение E, движется в некоторой области шестимерного фазовогопространства.Т.к. величина импульса частицы не превосходит величины p  2me E , то в импульснойчасти фазового пространства  px , p y , pz  эта область задается соотношением px2  py2  pz2  p 2 4 3p .

Поэтому полная область в 6-ти3мерном фазовом пространстве является прямым произведением прямоугольной трёхмерной ямы в обычном пространстве и шара в импульсном пространстве. Следовательно, ве4личина объёма общей области в фазовом пространстве равна: Vфаз  V  p 3 . Тогда общее ко3Vличество узлов равно: N  фаз 3 . 2 т.е.

является шаром радиуса p, объём которого V p Обозначим возможное количество состояний, приходящихся на один узел как qs .Например, для электрона qs  2 , т.к. возможны два состояния с одинаковым набором квантовых чисел, но различающиеся проекциями спина. Тогда общее число состояний G со значениемVэнергии не больше E, равно: G  N  qs  фаз 3  qs . 2 Замечание.

Минимальное количество квантовых состояний (при qs  1 ) равно: G0 Vфаз 2 3.Тогда элементарный объём фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, можно определить как отношение фазового объёма к количеству состояний:V3Vфаз  фаз   2  . Учитывая соотношения неопределённостей Гейзенберга для координат иG0проекций импульсов, записанные в виде x  px  2 , y  p y  2 , z  pz  2 , получаемвыражение для элементарного объёма фазового пространства, соответствующего одному кван3товому состоянию:  2   xyzpx p y pz  Vфаз .В общем случае для количества состояний справедливо соотношение: G VфазVфазqs .Плотностью квантовых состояний называется такая функция g  E  , зависящая отэнергии, что количество квантовых состояний, энергия которых не превышает значенияE0dG  E E0, определяется равенством: G  E0    g  E  dE , т.е.

g  E  .dE0Т.к. можно записать: g  E  2dG  E  dp, то в рассматриваемом случае получаем равенство:dp dEСеместр 4. Лекции 11.qs dG dp d  4V 4p 2 dp3.g E  Vp  qs33dE dE dp  3 2   2  dEV 4p 2 dpОказывается, что полученное выражение g  E   qsсправедливо для любых частиц.3 2  dEПример.1) Для электронов: qs  2 и p  2me E , тогда dp dEg E  2V 42me E 2 3me, поэтому2E2  me me2E2 332EV.2) Для фотонов можно считать, что qs  2 , что соответствует двум независимым направлениям2EV 4  2E c  1  E V .поляризации э/м волны.

Т.к. p  , то dp  1 . Поэтому g  E   23cdE c 2  c  2 3 c 3В классической физике распределение частиц по энергиям в фазовом пространстве опиEK Uсывается распределением Максвелла-Больцмана: dN  A  e kT dpx dp y dpz dxdydz , где ЕК и U кинетическая и потенциальная энергии частицы, Т - температура, k - постоянная Больцмана,A - нормировочный коэффициент.Для вывода статистических распределений необходимо найти наиболее вероятное распределение частиц, т.е.

распределение, которое может быть реализовано наибольшим числомспособов. По основному постулату статистической физики именно это распределение и является равновесным.Предположим, что частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа),а также, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц,реализуются с одинаковой вероятностью.Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Пусть число возможных состояний, вкоторых может находиться каждая из частиц, равно трём.По классическим представлениям две частицы всегда различимы. Присвоим частицамномера 1 и 2. Если в каком-то состоянии частицы переставить просто местами, то получитсяновое состояние.

Поэтому общее число состояний системы равно 9.В квантовой механике тождественные частицы принципиально неразличимы. При перестановке местами тождественных частиц состояние системы не меняется. Поэтому занумеровать частицы нельзя. Если в одном состоянии может находиться только один фермион, то длябозонов никаких ограничений нет.

Поэтому число состояний системы из бозонов равно 6, а изфермионов равно 3.1Распределение классических частиц11Распределениебозонов222212212111212Распределениефермионов3Семестр 4. Лекции 11.Распределение Бозе-Эйнштейна.Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Пусть имеется длинный пенал, который может быть разделён на Z ячеек с помощью (Z-1) перегородок.

Найдем число способовразмещения N неразличимых частиц по ячейкам. В каждой ячейке может находиться произвольное число бозе-частиц. Будем считать, что система состоит из N частиц и (Z-1) перегородок, т.е. всего из N+Z-1 элементов. Общее число перестановок в системе из N+Z-1 элементовравно (N+Z-1)! . Однако перестановки частиц (из-за их неразличимости) ничего не меняют.Число таких перестановок равно N! . Перестановки только перегородок тоже не приводят к новым распределениям, их число равно (Z-1)! . Таким образом, число способов , с помощьюкоторых N тождественных частиц могут быть распределены по Z ячейкам, равно: N  Z  1! .N! Z  1!Это выражение определяет число способов, с помощью которых N бозонов могут бытьраспределены по Z состояниям.

Каждый способ размещения частиц представляет собой определённое микросостояние системы. Следовательно,  - это число микросостояний, с помощью которых реализуется конкретное макросостояние системы. Т.е.  - это термодинамическая вероятность или статистический вес макросостояния системы.В шестимерном фазовом пространстве уравнение f  x, y,z, px , p y , pz   E  const , где E энергия частицы, определяет изоэнергетическую поверхность, т.е. поверхность, все точкикоторой отвечают одному и тому же значению энергии частицы.Слой с номером i между двумя поверхностямиf  x, y,z, px , p y , pz   Ei и f  x, y,z, px , p y , pz   Ei 1будет тонким, еслиEi 1  Ei  Ei . В этом случае энергию всех частиц, попадающих в i-йслой, можно считать одинаковой и равной Ei .

Пусть число квантовых состояний для этогослоя равно Z i , а количество частиц в пределах i- го слоя равно N i . Тогда статистический весподсистемы, содержащей N i частиц, равен:i  Ni  Zi  1! .Ni! Z i  1!Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов отдельных N  Zi  1! .её подсистем: i   i   iNi! Zi  1!iiНадо найти распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов, т.е. распределение, для которого статистический вес  максимален. Т.е.