8 (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 8.Лекция 8. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в электрических и магнитных полях. Ускорение заряженных частиц. Эффект Холла. Преобразования Лоренца для электрического имагнитного полей.СИЛА ЛОРЕНЦАОпыт показывает, что на заряженную частицу, которая движется в магнитном поле, действует сила, которая называется магнитной силой Лоренца. Если скорость частицы v , заряд частицы q, индукция магнитного поля B , то вектор магнитной силы Лоренца определяетсясоотношением:FМ _ Л  q v  B .BFМ_ЛВекторы v ,B,FМ _ Л образуют правую тройку векторов.vМодуль магнитной силы Лоренца равен:FМ _ Л  qvB sin  ,qздесь  - угол между векторами v и B .Замечание.

Как определить направление силы FМ_Л ? По правилу раскрытия векторного произведения для рассматриваемого случая: вектор силы FМ_Л перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы v и B , и, если смотреть с конца вектора FМ_Л на эту плоскость, то вектор vдолжен совершать вращение в направлении вектора B по наикратчайшему пути против часовой стрелки.

Не забывайте ещё учесть знак заряда! Также напомним практическое правило:направление вектора силы FМ_Л , действующей на положительный заряд q>0, определяетсяправилом левой руки: вектор силы FМ_Л перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыv и B , при этом, если вектор индукции B входит в ладонь левой руки, пальцы (собранныевместе) направлены вдоль вектора скорости v , то отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей на положительный заряд.Так как вектор магнитной силы Лоренца перпендикулярен скорости, то её мощность иработа равны нулю.

Поэтому кинетическая энергия (и величина скорости) заряженнойчастицы, движущейся только в магнитном, поле остается постоянной.Пример. В однородное магнитное поле с индукцией B влетает со скоростью v частица массойm и зарядом q. Угол между вектором скорости и магнитной индукцией равен . Как будетдвигаться частица в магнитном поле?1Семестр 3. Лекция 8.Решение. Разложим вектор скорости частицы на две составляющие: v  v   v , где v  - вектор, перпендикулярный B , а v - вектор, параллельный B .

Тогда v   v  sin  , v  v  cos  .Перейдём в систему отсчёта, движущуюся с постоянной скоростью v . Тогда в этой системеотсчёта частица движется только со скоростью v  , перпендикулярной B .Вектор магнитной силы Лоренца направлен перпендикулярно скорости частицы, поэтому онасоздает нормальное ускорение:man  q  v  B  q  v  B  sin  ,Bследовательно, траекторией движения частицы является окружность, вектор ускорения an направлен к центру этой окружности.Найдемрадиусокружности:SRv2m  qv B ,Rотсюдаm v v  sin , где q/m – удельный заряд частицы. Периодq B q m Bоборота частицы по окружности: T 2R 2 m vm. 2vv q BBqОказывается период оборота частицы по окружности не зависит от скорости частицы!Теперь вернёмся в начальную систему отсчета, где частица также движется вдоль линииполя со скоростью v .

В этой системе отсчёта траекторией частицы является винтовая линиярадиуса R v  sin q m Bи с шагом S  v  T  v  cos   2mmv  cos . 2BqBqМагнитная сила Лоренца зависит от системы отсчёта. Например, в сопутствующей системе отсчёта, где частица покоится, магнитная сила Лоренца равна нулю.

Но в классическоймеханике вектор силы не зависит от системы отсчёта. Опыт показывает, что таким векторомсилы является сила FЛ  qE  q v  B . Эта сила называется силой Лоренца. Здесь E - векторнапряжённости электрического поля.В частном случае, когда частица движется только в магнитном поле (т.е. E  0 ), силаЛоренца совпадает с магнитной силой Лоренца: FЛ  FЛ _ М .

Однако, если перейти в систему отсчёта, где частица в данный момент времени покоится ( v  0 ), то в этой системе будетFЛ _ М  0 . Но вектор силы Лоренца не должен измениться, поэтомуq v  B  qE   q 0  B  qE  .2Семестр 3.

Лекция 8.Несмотря на то что в старой системе отсчёта электрического поля не было: E  0 , в новой системе отсчёта появится электрическое поле, напряжённость которого E   v  B .Пример. Рассмотрим движение положительно заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях, для случая, когда E  B .

Масса частицы m.Решение. Введём декартову систему координат так, чтобы вектор E был направлен вдоль осиY, а вектор B вдоль оси Z, будем считать, что начальная скорость частицы направлена вдольоси Y, т.е. в координатной форме записи: E   0,E, 0  , B   0, 0,B  , v0   0,v0 , 0  . Предположим,что в начальный момент времени (t=0) частица находилась в начале координат.Уравнение динамики (второй закон Ньютона) для частицы:YEeXт.к. v  B  v XBXv0Bma  qE  q v  B ,ZXeYvYBYeZvZ BZ eX  vY BZ  vZ BY   eY  vZ BX  v X BZ   eZ  v X BY  vY BX  ,(  eX ,eY ,eZ  - орты осей декартовой системы координат), то, учитывая заданные значения, уравнения динамики в координатах примут вид:ma X  qvY BmaY  qE  qv X B .ma  0 ZРешение третьего уравнения имеет вид z  z0  v0 Z   t  t0  .

Из первых двух уравнений выражаем проекции скоростей: vY maX ,qBvX E maYB qBи с учётом соотношений для проекцийускорений: a X  v X и aY  vY получим уравнения для определения  X и  Y .2Уравнение для определенияvX 2 qB qvX   v X    BE mmX :и его решение:E qB C1 sin t  1  .B m2 qB  qBУравнение для определения  Y : vY  t  2  . vY  0 , и его решение vY  C2 sin  m mПодставляем начальные условия при t = 0 и для скоростей  X ,  Y ,  Z получаем следующиесоотношения:3Семестр 3.

Лекция 8.vX 2 qB E E2E     v0  sin t  arctg   ,BmBvB02 qB E 2EvY      v0  sin t  arctg   ,mBvB0vZ  0 .Соотношения для координат:2 qB E mv0 m  E E2x tvcostarctg  ,0  mBqB qB  B  Bv0  2 qB E mE m  E 2y 2 t  arctg   ,    v0  cos qB qB  B  Bv0   mz=0.Анализ траектории движения частицы представляет собой дополнительное исследование. Сделаем следующие преобразования.

Перейдём от системы отсчёта x,y,z,tк системе отсчётаx1 , y1 , z1 , t , где x1  x  U  t , y1  y, z1  z, t1  t (обычные Галилеевы праобразования). Так какU – произвольно введённая скорость, то надо бы как-то разумнее ею распорядиться. ПустьUE. Вот с такой скоростью движется новая подвижная СО относительно старой неподвижBной (лабораторной) СО. Если мы запишем наши уравнения движения в новой подвижной СО,то оказывается, что напряжённость поля E обращается в нуль, т.е. исчезает электрическое поле, остаётся только магнитное поле.

Тогда оказывается, что частица в новой подвижной СОдвижется по окружности, а в старой СО частица «дрейфует» (на движение по окружности накладывается медленное поступательное движение по оси X с поступательной скоростьюUE- поперёк электрического и магнитного полей. Результирующее движение - по циклоиде.BВот этот дрейф часто называют электрическим дрейфом, так как он вызван электрическим полем. Скорость электрического дрейфа зависит только от отношения напряжённостей электрического и магнитного полей. Она не зависит от заряда и энергии частиц, и, в частности, одинаковадля релятивистских и нерелятивистских частиц, электронов и ядер.

Но это не означает, электрический дрейф испытывают и нейтральные частицы. Ларморовский радиус нейтральной частицы бесконечен.Происхождение электрического дрейфа вообще говоря легко понять из следующих наглядных соображений. Частица, вращающаяся вокруг поля B , на одной половине окружностиускоряется электрическим полем, а на второй – замедляется. Поэтому ларморовский радиус наразных фазах вращения оказывается различным, что приводит к движению частицы в направлении перпендикулярном к векторам E и B . Детальная форма траектории зависит от параметров задачи.4Семестр 3.

Лекция 8.Ускорение заряженных частицУскорители – установки, предназначенные для ускорения заряженных частиц до высокихэнергий (выше 1МэВ, т.е. выше 1,610-13 Дж).В основе работы ускорителя заложено взаимодействие заряженных частиц с электрическим и магнитным полями.

Электрическое поле способно напрямую совершать работу над частицей, то есть увеличивать её энергию. Магнитное же поле, создавая силу Лоренца, лишь отклоняет частицу, не изменяя её энергии, и задаёт орбиту, по которой движутся частицы.Ускорители можно разделить на две группы: линейные и циклические.В линейных ускорителях частицы движутся практически по прямой траектории, разгоняясь при движении специальными электромагнитными устройствами.В циклических ускорителях частицы движутся по практически замкнутой траекториипод действием магнитной силы Лоренца и разгоняются на определённых участках.BПринцип действия циклотрона основан на независимости периода оборота заряженной частицы в магнитном полеот её скорости: T  2Em.BqДва полых электрода (дуанты), выполненных в видеполовинок невысокого цилиндра, находятся в вертикальномоднородном магнитном поле.

Внутри откачан воздух. Когда частицы попадают в зазор междудуантами, в зазоре включается электрическое поле, разгоняющее частицы. Через половину оборота частицы подходят к щели с другой стороны, и опять включается разгоняющее электрическое поле. Скорость частиц в зазоре увеличивается, поэтому радиус траектории увеличивается.Частота колебаний напряжения между дуантами совпадает с частотой вращения частиц.В фазотроне индукция магнитного поля уменьшается к краям, следовательно, при увеличении радиуса траектории начинает увеличиваться период оборота частиц.