4 (Лунёва)

Семестр 3. Лекция4.Лекция 4. Электрическое поле заряженных проводников.Энергия электростатического поля.Поле вблизи проводника. Электроѐмкость проводников и конденсаторов. (Ёмкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов). Энергия системы неподвижных зарядов.

Энергия заряженного проводника, конденсатора. Плотность энергии электростатического поля.При внесении проводника во внешнее электрическое поле заряды внутри проводника начинают перемещаться под действием сил со стороны внешнего поля до тех пор, пока не наступитEИНДEВНЕШравновесие. Это приводит к перераспределению электрического заряда внутри проводника. Области проводника, до этогоэлектрически нейтральные, приобретают некомпенсированный электрический заряд. Следовательно, в проводнике появляется (или, как говорят, индуцируется) электрическое поле ЕИНД .Условие равновесия электрических зарядов:F  qEВНУТР  q EВНЕШ  EИНД  0 ,=constт.е.

напряжѐнность поля внутри проводника:EВНУТР  EВНЕШ  EИНД  0 .Следовательно, из равенства EВНУТР   grad  ВНУТР   0получаемВНУТР  constвнутри проводника. Поэтомуэто условие выполняется и на границе проводника. Т.е.поверхность проводника является эквипотенциальнойповерхностью, поэтому силовые линии электрическогополя перпендикулярны поверхности проводника в каждой его точке.Заряженный проводник.Если уединѐнному проводнику сообщить сторонний электрический заряд, то условиеравновесия зарядов опять приводит к условию:EВНУТР   grad  ВНУТР   0 , ВНУТР  constвнутри проводника.Отсюда следует, что все сторонние заряды располагаются на поверхности проводника, т.к.

напряжѐнность поля внутри проводника равна нулю, а по теореме Гаусса для любой замкнутойповерхности внутри проводника (в том числе и для наружной поверхности проводника):1Семестр 3. Лекция4.  D,dS   qВНУТР 0.SТак как поверхность проводника в этом случае тоже эквипотенциальная, то силовые линии электрического поля направлены перпендикуEлярно поверхности проводника в каждой его точке.Из теоремы Гаусса следует, что вблизи поверхности проводникаD   - величина вектора электрического смещения равна поверхностной плотности сторонних зарядов.Заряд по поверхности проводника распределяется таким образом, чтобы потенциал поверхности оставался постоянным.

Это приводит к тому, что на поверхностипроводника плотность заряда неодинаковая. Например, на острыхчастях проводников плотность зарядов больше, чем в углублениях. Всвязи с этим возникают различные явления, например, «стекание заряда». Если проводник находится в воздухе, то вблизи острия происходит ионизация воздуха, уносящая часть электрического заряда –явление, которое называется «электрический ветер».Метод электрических изображений.Если эквипотенциальную поверхность заменить проводящей, после чего отброситьчасть поля, которую эта поверхность отделяет, то картина поля в оставшейся части неизменится. И наоборот, если картину поля дополнить фиктивными зарядами так, чтобыпроводящую поверхность можно было заменить эквипотенциальной, то начальная картина поля не изменится.qПример. Найдем силу притяжения точечного заряда к бесконечнойпроводящей плоскости.

Для этого дополним картину ещѐ одним такимLже зарядом, но противоположного знака, расположенным симметричноотносительно плоскости. Тогда плоскость будет совпадать с эквипотен-Lциальной поверхностью, поэтому плоскость можно отбросить и найти-qсилу взаимодействия между зарядами: F 1 q2.40 4 L2Энергия заряженного проводника.Энергия уединѐнного заряженного проводника определяется как энергия системы зарядов: W 1 qi i .

На проводнике   const , поэтому энергия уединѐнного проводника:2 i2Семестр 3. Лекция4.W111qi i   qi  q .2 i2 i21Для системы заряженных проводников: W   k qk .k 2В частности для двух проводников, имеющих одинаковые по величине, но разные по знаку за11qряды q, энергия будет равна: W  1q1  2 q2  1  2 .222Замечание. Величина разности потенциалов U  1  2 называется напряжением между телами.Опыт показывает, что между зарядом уединѐнного проводника и его потенциалом существует линейная зависимость: q  C   . Коэффициент пропорциональности С называется коэффициентом электрической ѐмкости или электроѐмкостью. Единица измерения электроѐмкости – Фарад ( Ф Кл).ВКонденсатором называется система из двух проводников, заряженных одинаковыми повеличине, но разными по знаку зарядами.

Проводники называются обкладками конденсатора.Электроѐмкость конденсатора определяется по формуле C Конденсатор условно обозначаетсяq.U.Соединение конденсаторовРассмотрим последовательное соединение двух конденсаторов С 1 иAC1С2.

Точка А между конденсаторами отделена от остальной цепи, поэтомуC2еѐ электрический заряд измениться не может. Так как начальный заряд лю-бой точки был равен нулю, то qA  qA1  qA2  0 . Следовательно, заряды пластин конденсаторов, примыкающих к точке А, равны между собой по величине, но противоположны по знаку.Но так как величина заряда пластин равна заряду конденсаторов, то q1  q2 . Суммарный зарядточки А равен нулю, поэтому если отбросить эту точку вместе с пластинами, то в схеме ничегоне изменится. Т.к. заряды крайних пластин тоже одинаковы по величине, но разные по знаку, тополучившийся конденсатор будет иметь такой же по величине заряд.ИТОГ. Заряды последовательно соединѐнных конденсаторов одинаковы по величине. Общий заряд последовательно соединѐнных конденсаторов равен заряду каждого изконденсаторов.3Семестр 3.

Лекция4.Для этого случая общее напряжение равно сумме напряжений на конденсаторах: UОБЩ =U1+U2.Заряды конденсаторов одинаковые: q1=q2=q. ТогдаqCОБЩ=qq111. Поэтому.+=+C1 C2CОБЩ C1 C2При последовательном соединении конденсаторов их ѐмкости складываются по закону обратных величин. Расчёт ёмкости при параллельном соединении конденсаторов.C1Для этого случая напряжения на конденсаторах одинаковые: U1=U2=U.Суммарный заряд равен сумме зарядов: qОБЩ=q1+q2 илиСОБЩU=C1U+C2U.Тогда СОБЩ =C1+C2 . При параллельном соединении конденсаторов их ѐмко-C2сти складываются. Энергия конденсатора:qCU 2 q 2.W U222CСуммарный заряд конденсатора равен нулю. Конденсатор накапливает электрическуюэнергию путѐм разделения электрических зарядов.Примеры по расчёту ёмкости конденсаторов.Плоский (воздушный) конденсатор представляет собой две параллельные пластины, расстояние между которыми много меньше размеров пластин, так что поле между пластинами можносчитать однородным.

Между пластинами находится вакуум (воздух), поэтому  = 1.-q<0В этом случае при расчѐте картины поля можно воспользоватьсяq>0результатами, полученными для поля бесконечной заряженнойE=0E=0плоскости. Так как заряды и площади пластин равны по величине, то и величина напряжѐнности поля, создаваемого каждой изпластин, одинакова: E =q, но направления векторов напря2ε 0Sжѐнности разные (вектор напряжѐнности от отрицательно заряженной пластины показан пунктиром). Между пластинами векторы напряжѐнности направленыодинаково, поэтому суммарная напряжѐнность равна сумме напряжѐнностей полей, созданныхкаждой из пластин:EВНУТРИ  E  E- qqq.20 S 20 S 0 S4Семестр 3. Лекция4.Снаружи пластин векторы напряжѐнности полей направлены противоположно, поэтому напряжѐнность поля снаружи равна нулю. Таким образом, в конденсаторе напряжѐнность поляотлична от нуля только между пластинами.Так как электростатическое поле является полем консервативной силы, то интеграл 1  2   E,dl не зависит от формы траектории Г, поэтому разность потенциалов междупластинами можно найти вдоль перпендикуляра, соединяющего пластины, длина которого равна d: U  1 - 2  EВНУТРИ  d qd, где d – расстояние между пластинами.

Тогда электроѐм0 Sкость плоского (воздушного) конденсатора в соответствии с определением будет равна:Cq 0 SUdЦилиндрический (воздушный) конденсатор представляет собой два коаксиальных цилиндраодинаковой длины, вложенных друг в друга так, что расстояние между обкладками много меньше размеров обкладок.Пусть длина конденсатора L, заряд внутренней обкладки положительный: q > 0. Радиусы обкладок R1 и R2, пусть R1 < R2.

Напряжѐнность поля между обкладками на расстоянии r от внутренней обкладки, т.е. для R1 <r < R2 , найдѐм, используя теорему Гаусса:Eq.20 LrТогда напряжение между обкладками:U  1  2 R2R1R qdrqln  2  .20 Lr 20 L  R1 R1R2 E,dl  Поэтому электроѐмкость цилиндрического (воздушного) конденсатора: C 2 0 Lq.U R2 ln   R1 Сферический (воздушный) конденсатор представляет собой две вложенные концентрическиеR2сферы с радиусами обкладок R1 и R2, R1< R2. Пусть заряд внутренней обкладки q > 0.

Напряжѐнность поля между обкладками нарасстоянии r от внутренней обкладки (R1 < r < R2) найдѐм по теореме Гаусса:ER1q.40 r 2Напряжение между обкладками:5Семестр 3. Лекция4.U  1  2 R2qq 1 1 dr   .240 r40  R1 R2 R1R2 E,dl  R1Поэтому электроѐмкость сферического (воздушного) конденсатора C 4 0q.U  11    R1 R2 Объёмная плотность энергии электростатического поля.Рассмотрим плоский воздушный конденсатор.