2(2) (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 2 .Лекция 2. Теорема Гаусса для электростатического поля.Поток вектора напряжѐнности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной идифференциальной формах в вакууме и еѐ применение для расчѐта электрических полей.Уравнение Пуассона.Потоком вектора напряжѐнности Е электрического поля через ориентированную по-верхность S называется величина  E   E,dS .SЕдиница измерения потока ФЕ   Вм.Теорема Гаусса для напряжённости электростатического поля в вакуумев интегральной форме.Поток вектора напряжѐнности электростатического поля в вакууме через произвольнуюзамкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охваченных этойповерхностью, делѐнной на  0 . Sqi  i.E,dS 0Если ввести функцию объѐмного распределения электрического заряда   x, y,z  , такую, что dV   q ,iiVи воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса  E,dS    div  E  dV , то из равенстваS1divEdV 0V V dVVполучим дифференциальную форму теоремы Гаусса:div E  .0 Смысл этого равенства в том, что источником электростатического поля являются электрические заряды.

Силовые линии электростатического поля начинаются на положительных иоканчиваются на отрицательных зарядах.Примеры применения теоремы Гаусса.Теорему Гаусса удобно применять для определения напряжѐнности поля в случаях, когда картина силовых линий обладает какой-либо симметрией.1Семестр 3. Лекция 2 .1) Поле точечного заряда q.Пусть q >0.

Возьмѐм в качестве поверхности S сферу радиусом R с центром в месте нахождения заряда. На поверхности сферы вектор E сонаправлен с вектором нормали n к поверхности сферы, поэтому E,dS  EdS . В каждой точке поверхности сферы модуль вектора E равен:ES1 q const .40 R 2  E,dS    EdS  E  dS  ES .SSSТак как площадь поверхности сферы S  4R 2 , то поток вектора напряжѐнности E в соответствии с теоремой Гаусса будет равен:nE1  E,dS   4S0qq4R 2  .2R02) Поле бесконечной прямой заряженной нити. Пусть нить заряжена с линейной плотностьюзаряда  > 0.Как мы уже знаем, силовые линии поля направлены перпен-dSОСНдикулярно нити и картина поля в целом обладает осевой симметрией относительно нити.dSБОКLНайдем поток вектора напряжѐнности через поверхностьпрямого цилиндра радиуса R и высоты L, ось которого совпадаетEс осью цилиндра. E,dSdSОСНÖÈËÈÍ ÄÐ  E,dS  Î ÑÍ Î ÂÀÍ Èß E,dS ÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜ На основаниях цилиндра векторы dS  E , поэтому поток через основания:  E,dS   0 .Î ÑÍ Î ÂÀÍ ÈßНа боковой поверхности dS  E , поэтому E,dS ÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜEdS .ÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜТ.к.

картина поля осесимметрична, то величина Е зависит только от расстояния до нити, поэтому на боковой поверхности этого цилиндра величина E=const. E,dS EdS  E  dS  ESÁÎ ÊÎ ÂÀßÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜ E 2RL .Ï Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜ2Семестр 3.

Лекция 2 .По теореме Гаусса:  E,dS  SqÂÍ ÓÒÐ, где q ВНУТР - заряд, охваченный поверхностью S. Но0внутри цилиндра находится часть нити длиной L, поэтому qÂÍ ÓÒÐ    L . Тогда E 2RL для величины Е получаем: E Lи0.2 0 R3) Поле бесконечной заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда >0.Картина силовых линий симметрична относительно плоскости. Найдѐм поток вектора E через поверхность прямо-dSОСНго цилиндра, основания которого параллельны плоскости,Eи расположенного так, что плоскость делит цилиндр попо-dSБОКлам.  E,dS     E,dS  ÖÈËÈÍ ÄÐdSОСНÎ ÑÍ Î ÂÀÍ Èß E,dS  .ÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜЗаметим, что поток вектора E через поверхность прямогоцилиндра можно разделить на две части: на поток через основания и поток через боковую по верхность. ТогдаE,dS 0 . На основаниях величина Е будет одинаковой:ÁÎ ÊÎ ÂÀßÏ Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÜ  E,dS   2ESÎ ÑÍ Î ÂÀÍ ÈÅ.Î ÑÍ Î ÂÀÍ ÈßВеличина заряда внутри цилиндра q    SÎ ÑÍ Î ÂÀÍ È Å .Поэтому по теореме Гаусса имеем: 2 ESÎ ÑÍ Î ÂÀÍ È Å   SÎ ÑÍ Î ÂÀÍ È Å, откуда E .0204) Поле тонкостенной (полой) заряженной сферы.Картина силовых линий обладает центральной симметрией отSВНЕШносительно центра сферы, поэтому величина напряжѐнности поля зависит только от расстояния до центра сферы.Сначала в качестве поверхности рассмотрим концентрическуюnSВНУТРEсферическую поверхность, находящуюся внутри сферы:  E,dS   EdS  E  dS  ES ÂÍ ÓÒÐ .S ÂÍ ÓÒÐS ÂÍ ÓÒÐSÂÍ ÓÒÐНо внутри сферы зарядов нет, поэтому ES ÂÍ ÓÒÐ  0 .

Таким образом, напряжѐнность поля внутрисферы равна нулю: E  0 .3Семестр 3. Лекция 2 .Теперь в качестве поверхности рассмотрим концентрическую сферическую поверхностьрадиуса R, охватывающую сферу. Тогда E,dSS ÂÍ ÅØ EdS  ES ÂÍ ÅØdS  ES ÂÍ ÅØ .S ÂÍ ÅØЭта поверхность охватывает сферу целиком, поэтому ES ÂÍ ÅØ Eq 0 S ÂÍ ÅØq, откуда0q.4 0 R 25) Поле, создаваемое полым бесконечным заряженным цилиндром радиуса R.Картина силовых линий симметрична относительно оси цилиндра.Внутри цилиндра Е = 0, а снаружи E , где  - линейная плотность заряда цилиндра, r 2 0 rрасстояние от оси цилиндра.

Если для цилиндра задана поверхностная плотность заряда , то,т.к. заряд куска цилиндра длиной L равен: q  L  2RL , откуда получаем   2R , поэтомуE R .0 r6) Поле, создаваемое шаром радиуса R и заряженным равномерно зарядом q. Картина силовых линий обладает центральнойSВНЕШсимметрией. Выделим внутри шара сферу радиуса r с центром,совпадающим с центром шара. ТогдаnSВНУТР  E,dS   ESESÂÍ ÓÒÐЗаряд внутри сферы qÂÍ ÓÒÐ VÂÍ ÓÒÐ qVØ ÀÐVÂÍ ÓÒÐ , где объѐм шара VØ ÀÐ ÂÍ ÓÒÐqÂÍ ÓÒÐ.04 3R , объѐм внутри сферы34 3r , площадь поверхности внутренней сферы S ÂÍ ÓÒÐ  4r 2 . Тогда3E 4r 2 1q4 3r ,0  4 3  3 R 3поэтому внутри шара E 1 qr.4 0 R 31 q r , где r - радиусЗамечание. Это равенство можно записать в векторном виде E 340 Rвектор из центра шара.Снаружи шара картина поля аналогична уже разобранному полю заряженной сферы:Eq.4 0 r 2На поверхности шара величина напряжѐнности – непрерывная.4Семестр 3.

Лекция 2 .Уравнение ПуассонаОбщая задача электростатики состоит в том, чтобы по распределению зарядов в пространстве определить потенциал  и, следовательно, напряжѐнность поля E .Из соотношений E   grad и div E получаем соотношение:0 div  grad    ,0описывающее распределение потенциала по заданному распределению заряда.В декартовой системе координатdiv  grad    2  2  2  ,x 2 y 2 z 2( - оператор Лапласа), поэтому уравнение принимает вид   . Это уравнение Пуассона.0При отсутствии зарядов (=0) получаем уравнение Лапласа:   0 .При решении подобной задачи необходимо задать граничные условия – значения потенциала или напряжѐнности на границе рассматриваемой области.5.