2(1) (Лунёва), страница 2

Тогда по теоре ме о среднем для интеграла  ( , dS ) получим:S  v ,dS    div  v  dV  div  v  V .SvnvnSnvVПредположим, что векторное поле втекает внутрь объѐма V, т.е.в каждой точке поверхности S векторы v направлены противвекторов нормалей n . Поэтому в каждой точке скалярное произ  ведение v ,dS   v ,n  dS  0 , т.е. отрицательно.Тогда интегралvv  v ,dS   0 . Так как величина объѐма V > 0, тоSndiv  v    v ,dSSV 0.Говорят, что в этом случае поле имеет внутри поверхности S «сток» - «оно как бы стекает внекоторую дырку».Если же div  v   0 , то говорят, что у поля есть «источник».Можно заметить, что в случае стока или источника поля,при стягивании поверхности S в точку, векторное поле становится похожим на картину силовых линий точечных зарядов.В этом случае положительные заряды являются источниками электрического поля и для них divE  0 .Отрицательные заряды являются стоками электрического поля.

Для них divE  0 .Электрические заряды принято называть просто источниками (положительными и отрицательными) электрического поля.Таким образом, силовые линии электростатического поля не являются непрерывными линиями – они имеют начало и конец.Семестр 3. Лекция 2.7Вихревое электрическое поле v не имеет источников. Действительно, в этом случаесуществует некоторое поле a , такое, что v  rot  a  , поэтому (доказательство проведѐм в декартовой системе координат):  rot  a   x   rot  a   y   rot  a   z.div  v   div  rot  a   xyzНоexrot  a  xaxeyyayez  a a    a a ex  z  y   ey  x  zz z x y z az   a y ax ,  ez xyпоэтому  a a    a a    a a div  v    z  y    x  z    y  x  x  yz  y  z x  z  x y 22 2 az  a y  2 ax  2 az  a y  2 ax0xy xz yz yx zx zyТак как вихревое поле не имеет источников, то его силовые линии нигде не разрываются,т.е.

они непрерывные и замкнутые.ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯРабота, совершаемая силами поля при относительном изменении положения двух зарядов, равна:A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОН = kq1  q 2q q-k 1 2 .R НАЧR КОНПусть теперь один заряд q1 = Q закреплѐн неподвижно, так что перемещаться будет второй заряд q2 = q, поэтому выражение для работы примет вид:A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОН = kqQqQQQ -k qk-k.R НАЧR КОНR КОН  R НАЧЭнергетическая характеристика электростатического поля – отношение энергиивзаимодействия точечного заряда с полем W к величине этого заряда q называется потенциалом поля в данной точке:W.qЕдиница измерения потенциала: Вольт (В).

1 В =1 Дж/ 1 Кл.Семестр 3. Лекция 2.8Таким образом, если поле создается точечным зарядом Q, то на расстоянии R от негопотенциал определяется по формуле (С=0):=WQ=k .qRТогда, с учетом определения потенциала работу сил поля по перемещению заряда q можно записать в виде:A = q  НАЧ  КОН  .Т.е. разность потенциалов между двумя точками поля – это отношение работы сил поля(кулоновских сил) по переносу заряда между этими точками к величине этого заряда:НАЧ  КОН A КУЛ.qВ частности, если заряд q удаляется от заряда Q на очень большое расстояние (RКОН =), тоA=kгде НАЧ = kQR НАЧqQ= qНАЧ ,R НАЧ.

Тогда потенциал данной точки поля можно определить как отношениеработы сил поля по перемещению заряда q из данной точки поля на очень большое расстояние (говорят «на бесконечность») к величине этого заряда.Поверхности в пространстве, на которых потенциал остается постоянным, называются эквипотенциальными поверхностями.Силовые линии направлены перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям в каждой их точке.СВЯЗЬ НАПРЯЖЁННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА.Так как энергия взаимодействия точечного заряда с электростатическим полем и сила,действующая на этот заряд со стороны поля, связаны соотношением F   grad  WÏ Î Ò  , то из FW 1определений получаем: E    grad  WÏ Î Ò    grad  Ï Î Ò    grad   .qq q Таким образом, связь между напряжѐнностью и потенциалом электростатического полядается выражением (в дифференциальной форме):E   grad   .Следовательно, электростатическое поле является потенциальным полем.Семестр 3. Лекция 2.9Из свойств оператора grad ( ) следует, что вектор напряжѐнности электрического поля направлен в сторону наибольшего убывания потенциала, перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.Работа сил электрического поляÊÎ Í ÅÖAÊÓË  ÊÎ Í ÅÖ ÊÎ Í ÅÖ  FÊÓË ,dl   q  E,dl  q   E,dlÍ À×Í À×Í À×В то же время AÊÓË = q  Í À×  ÊÎ Í  .Сравниваем эти выражения и получаем:ÊÎ Í ÅÖ   E,dl  .Í À×  ÊÎ Í Í À×Если обозначить изменение потенциала как   ÊÎ Í  Í À× (НЕ ПУТАЙТЕ С ОПЕРАТОРОМЛАПЛАСА!), то получим связь напряжѐнности и потенциала в интегральной формеÊÎ Í ÅÖ     E,dl  .Í À×Из этого выражения следует теорема о циркуляции для электростатического поля:Для любой замкнутой траектории (любой кривой линии) Г, находящейся в области про странства, где создано электростатическое поле, значение интеграла  ( E , dl ) вдоль этойГзамкнутой линии Г всегда равно нулю:   E,dl   0 .Действительно, в случае, когда точечный заряд перемещается вдоль какой-то замкнутойтраектории Г, выполняется равенство: ÊÎ Í  Í À× , поэтому   ÊÎ Í ÅÖ  E,dl   E,dl    Í À×  ÊÎ Í  0 .Í À×Из теоремы Стокса следует дифференциальная форма теоремы о циркуляции:т.к.

электростатическое поле потенциальное, то его ротор равен нулевому вектору в каждой точке:rot E  0.Пример. Можно ли создать неоднородное электростатическое поле, силовые линии которого параллельны друг другу?ABDВ электростатическом поле для любого замкнутого контура Г выполняется равенство:  E,dl  0 .

Если возьмѐм в качестве контура Г прямоугольCСеместр 3. Лекция 2.10ник ABCD, то интеграл можно разбить на 4 интеграла вдоль сторон этого прямоугольника:     .E,dlE,dlE,dlE,dlE,dlABBCCDDA Но на сторонах AB и CD векторы E и dl перпендикулярны друг другу, т.е. E,dl  0 , поэто-му   E,dl   0и   E,dl   0 .CDABНа стороне BC векторы E и dl направлены одинаково, на стороне DA направлены противо-положно, откуда E,dl     E,dl     E,dl    E  cos 0   dl   E  cos 180   dl   Edl   Edl .BCDA00BCDABCDAВблизи стороны BC силовые линии расположены гуще, чем вблизи стороны DA, поэтомуEBC  EDA , следовательно   E,dl    Edl   Edl  EBCBC BC  EDA  DA  0 .DAТо есть для такого поля не выполняется теорема о циркуляции.Из принципа суперпозиции следуетE   Ei   grad (i )   grad  i    grad ( ) ,ii i т.е.

   i .iПринцип суперпозиции для потенциала: потенциал в даннойточке поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов поля, создаваемых каждым из зарядовв отдельности.Пример. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое заряженным кольцом, радиускоторого R. Найдем потенциал на оси кольца на расстоянии zqот плоскости кольца.Решение. Разобьѐм кольцо на большое количество N участков,rопирающихся на центральный угол α =2π.

(Длина одного учаNzRстка L =2πRQ.) Заряд одного участка q = , где Q – зарядNNкольца. Будем считать, что Q >0. Принимая малый участок коль-Семестр 3. Лекция 2.11ца за точечный заряд, можно найти потенциал поля на оси кольца, создаваемого одним участком: α = kq, где r = R 2 + z 2 . Тогда, в соответствии с принципом суперпозиции, суммарныйrпотенциал будет равен: =  α =  kααqQ NQ NQ= k= Nk=k.2rrrαR + z2Из этой формулы видно, что потенциал в центре кольца (z=0) равен:  = kQ.RЭнергия системы зарядов равна сумме энергий попарных взаимодействий:W Здесь множитель1 Wij .2 i,j1учитывает, что одна и та же пара индексов встречается в этом выражении2два раза - один раз как (ij), а второй раз как (ji).Запишем это выражение через потенциалы:W 111Wij   qi  j   qi    j  .2 i, j2 i, j2 i  j i Последнее выражение включает в себя сумму потенциалов полейj ij, создаваемых всемизарядами, за исключением номера i, в том месте, где находится заряд c номером i.Пример.