15 (Лунёва)

Семестр 3. Лекции 151Лекция 15. Дифракционная решётка.Многолучевая интерференция. Дифракционная решётка. Спектральныехарактеристики дифракционных решёток. Дифракция рентгеновских лучей.Формула Вульфа-Брэгга. Понятие о рентгеноструктурном анализе.Интерференционная картина, образующаяся при наложении нескольких когерентных волн называется многолучевой интерференцией.Рассмотрим интерференционную картину, получающуюся при дифракциисвета на системе параллельных одинаковых щелей.

Пусть щели расположены водной плоскости. Такая система реализуется в оптическомприборе – прозрачной дифракционной решётке. Ширинаbщели b, расстояние между серединами соседних щелей dназывается периодом дифракционной решётки.dЭкран, на котором формируется картина, расположенпараллельно и находится в фокальной плоскости собирающей линзы. Свет падаетна решётку нормально (т.е. перпендикулярно).bxdsinПроведём рассуждения при поиске результирующей амплитуды для системы щелей аналогично рассуждениям для одной щели из предыдущей лекции.Только теперь будем учитывать сумму лучей от N щелей.

Во всех щелях выделим луч на расстоянии x от левого края щели. Оптическая разность хода такихлучей в соседних щелях равна d sin  . Поэтому результирующая амплитуда определяется вкладом лучей от всех щелей:Семестр 3. Лекции 152AP  Ka0 cos  t  k  x sin     Ka0 cos  t  k  x sin   d sin     Ka0 cos  t  k  x sin   2d sin     ...  Ka0 cos t  k  x sin    N  1 d sin  Для дальнейших вычислений можно воспользоваться формулой Эйлера:ei  cos     i  sin    ,где i 2  1 . (Эта формула является основной в теории комплексного анализа, ичасто применяется в теоретических расчётах).e i  e  iОтсюда, в частности, следует, что cos    2e i   e  i.sin    2iиПоэтому можно записать:AP  Ka0 cos  t  k  x sin     ...  cos t  k  x sin    N  1 d sin   i  t  k  x sin   N 1 d sin    i  t  k  x sin   N 1 d sin     ei t  k  x sin   e  i t  k  x sin ee Ka0  ...

22Ka0 i t  k  x sin i  t  k  x sin   N 1 d sin    i  t  k  x sin   N 1 d sin    i t  k  x sin   e ...  ee  ...  e2или, после перегруппировки:AP A0 i t  k  x sin i  k  N 1 d sin   i t  k  x sin   e1  ei  kd sin   ...  e e 1  eikd sin   ...  eik  N 1d sin 2b .Используя формулы для частичной суммы геометрической прогрессии1  q  q 2  ...  q N 1 получаем равенство 1  ei  kd sin   ...  ei  k  N 1d sin  1 qN,1 q1  ei  Nkd sin .1  ei  kd sin Затем проводим преобразования1  ei  Nkd sin 1  ei  kd sin  i Nkd sin  i   Nkd sin   i Nkd sin   i Nkd sin  i   Nkd sin  222 e 2  e e e 2  e 2i  N 1kd sin i2.  kd sin e kd sin  kdsinkd sin kd sin  iiiii e 2  e 2  e 2 e 2  e 2  2iСледовательно i Nkd sin  i   Nkd sin  22i  N 1kd sin  sin  Nkd sin    N 1kd sin  e 2  e ii2i  k  N 1 d sin  e22.1  ei  kd sin   ...

 e   kd sin e kd sin  kdsin iisin  e 2  e 2  2i2 Семестр 3. Лекции 153Аналогично1  eikd sin   ...  eik  N 1d sin  Nkd sin  sin  i  N 1kd sin 2e2. kd sin  sin 2 Тогда Nkd sin   Nkd sin  sin sin  N 1 kd sin  N 1 kd sin  iiKa0 i t  k  x sin 22 i t  k x sin   ee22e,AP e  2  kd sin   kd sin  sin sin 2 2  Nkd sin    i t  k  x sin   N 1kd sin   i t  k  x sin   N 1kd sin   sin 22  e  e 2AP  Ka0,2 kd sin   sin 2   Nkd sin  sin 2 cos  t  k x sin    N  1 kd sin   .AP  Ka02 kd sin  sin 2 Тогда, учитывая, что Ka0 A0dx , получаемb Nkd sin  sin A2 cos  t  k x sin    N  1 kd sin   dx AP   0b2 kd sin  0sin 2 Nkd sin  bsin N  1 kd sin  A02sin  t  k  x sin    bk sin 2 kd sin  0sin 2  Nkd sin  sin  A02 sin t  kb sin    N  1 kd sin    sin  t   N  1 kd sin     bk sin 22 kd sin    sin 2 bТ.к.    sin   sin   cos      cos      2 cos   cos   2 sin  cos ,222 2 2  2  2 тоСеместр 3.

Лекции 154 Nkd sin  sin A02 sin  kb sin   cos  t  kb sin    N  1 kd sin   .AP  2bk sin 2 22 kd sin  sin 2 С учетом k 2получаем амплитуду колебания в точке наблюдения: kb sin   Nkd sin  sin sin  b sin   sin  Nd sin   sin 22 A.AN  2 A00kdsinkb sin  sin   b sin  sin  d sin  2 sin  b sin   , то амплиТак как амплитуда колебаний от одной щели равна: A1  A0  b sin sin  Nd sin   . Поэтому интенсивность света в дифрактуда от N щелей: AN  A1  sin  d sin  ционной картине2I N ,где I1,2 sin   b sin   sin   Nd sin    sin   Nd sin     I  , I0 1,    b sin  sin   d sin    sin   d sin          sin 2  b sin   - интенсивность от одной щели. I02 b sin  Из этих формул следует, что интенсивность центрального максимума (=0)для системы из N щелей больше интенсивности центрального максимума от одной щели в N2 раз: I N ,0  I1,0 N 2 .Максимумы и минимумы дифракционной картины можно подразделить наглавные и вторичные.Главные максимумы выделяются условием: I N ,sin  Nd sin    N . I1, N 2 , т.е.sin  d sin  Семестр 3.

Лекции 155IN, /I0N=416b/=114d/=5IN, /I012N2I1, /I0108642-1,4-1-0,6-0,2 00,20,611,4Пусть   m     (m – целое число) и N - целое число, тогда справедливо при  0 следующее соотношение:sin  N  m      sin  m       1этому главные максимумы определяются условием: N 1 msin  N   N 1 m. По N   1sin   d sin   m , т.е.d sin   m .Целое число m называется номером главного максимума или порядком спектра.Главные минимумы соответствуют условию минимума интенсивности отодной щели: I1,  0 , т.е. b sin   k  , где k – целое число.Между главными максимумами находятся вторичные максимумы и миниsin  Nd sin    0 .

Так какмумы. Вторичным минимумам соответствуют условия:sin  d sin  Семестр 3. Лекции 156они находятся между соседними главными максимума с номерами m и m+1, тоих положение можно определить из соотношения: sin  Nd sin    0 при условииmn и 1  n  N  1 . Целое sin    m  1 . Это выполняется, если sin    m  ddN dчисло n называется номером вторичного минимума. Следовательно, количествовторичных минимумов между любыми двумя главными максимумами на единицуменьше числа щелей N.Интенсивность вторичных максимумов значительно меньше интенсивностиглавных максимумов.Положение главных максимумов и минимумов определяется длиной волныпадающего света.

Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, тоесть она является спектральным прибором. Если свет немонохроматический, тов спектре будут наблюдаться главные максимумы разных длин волн. Но центральный максимум будет содержать все длины волн. Поэтому он наиболее яркий.При разложении белого света меньший угол у первого максимума фиолетового цвета, а больший – у красного. В этом смысле дифракционная решётка какспектральный прибор противоположна стеклянной призме в опыте Ньютона, вкоторой наибольшее отклонение испытывали лучи фиолетового цвета.Замечание.

Интенсивность главных максимумов убывает с ростом номераm. Как правило, на практике количество достаточно различимых максимумов непревышает 3.Замечание. Если свет падает на дифракционную решетку под углом , тоположение главных максимумов определяется соотношением:d  sin   sin    m .Спектральные характеристики дифракционных решёток.Угловая дисперсия D , где  - угловое расстояние между двумя главнымимаксимумами одного порядка, соответствующими волнам, длины которых отли-Семестр 3.

Лекции 157чаются на величину . Из формулы d sin   m получаем: d cos    m   , откуда: D m. d cos Дисперсионная область. Если спектры соседних порядков перекрываются, тоспектральный прибор становится непригодным для исследования соответствующих участков спектра. Максимальная ширина спектрального интервала , прикоторой еще не происходит перекрытия спектров, называется дисперсионной областью спектрального прибора. Для решетки из условия совпадения максимумовсоседних порядков для разных длин волн:m        m  1  , получаем, что должно быть  .mКак правило, m3.

Поэтому решетки пригодны для исследования широких участков спектра.Разрешающая сила. Разрешающей способностью спектрального прибора называется величина R , где  - минимальная разность длин двух волн, при которой они воспринимаются раздельно друг от друга.IКритерий разрешения Рэлея.