11 (Лунёва), страница 2

Фазовая скорость волны энергии равнаvЭ Э 2 v и, как виk Э 2kдим, равна фазовой скорости электромагнитной волны.Средняя плотность энергии, переносимая плоской электромагнитной волной:11 w   0 H 02  0 E02 .22Изменение объёмной плотности энергии электромагнитного поля в данной точке: E  H w 0  E,    0  H ,.tt  t Воспользуемся уравнениями Максвелла: rot E  BH,  0tt rot H  j DE. j  0ttОткуда 0H rot E ,t 0E rot H  j .t Тогдаw E  H  E, 0   H , 0t t  t       H ,rot  E  ,  E, rot H  j7Семестр 3. Лекции 11     H ,rot  E     E, j  .w E,rot HtЕсли использовать векторное тождество: E,rot  H    H ,rot  E   div  E  H  ,то в результате получим следующее соотношение:w div E  H  E, j .t Проинтегрируем это выражение по объёму некоторой области V, в которой есть электромагнитное поле: VwdV   div E  H dV   E, j dV .tVVwd t dV  dt  wdV Если область не движется, тоVVdW,dtгдеW   w d V - энергияVэлектромагнитного поля в области объёмом V.По закону Омаэтому выражениеj  E илиE  j , где  1- удельное сопротивление среды.

По E , j    j ,j   j- это дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца.2Тогда  E, j  dV   j dV 2VVdQdt- мощность выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) в области объёмом V. div  E  H  dV     E  H  ,dS  ,По теореме Остроградского-Гаусса:VSгде S – ориентированная наружу поверхность, являющаяся границей области V.Вектор   E  Hназывается вектором Пойнтинга (Джон Генри Пойнтинг - бри-танский физик (1852 - 1914)). Окончательно получим равенство, называемое теоремой ПойнтингаdWdt   ,dS  SdQ.dtСкорость изменения энергии электромагнитного поля в некоторой области равна, с обратным знаком, сумме мощности выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) и потокавектора Пойнтинга через границу области, ориентированную наружу.8Семестр 3. Лекции 11При этом вектор Пойнтинга представляет собой вектор плотности потока электромагнитной энергии.

Плотность потока энергии П – это энергия, переносимая волной за единицувремени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.Если в области нет тепловыделения:dQ 0 , то в случае, когда векторное поле  наdtгранице S направлено внутрь области, поток отрицателен:   ,dS   0 ,SаdW 0 - энерdtгия области увеличивается. И наоборот, если поток вектора Пойнтинга направлен наружу изобласти V, т.е.   ,dS   0 ,тоSdW 0 - энергия в области убывает.dtРассмотрим область, в которой распространяется плоская электромагнитная волна.Предположим, что в области нет выделения теплоты по законуДжоуля-Ленца.

Выделим в области малую площадку S, перпенди-SEкулярную вектору Пойнтинга, и найдём поток вектор ПойнтингаПчерез эту площадку за малое время dt. Так как скорость волныобъёмной плотности энергии равна фазовой скорости электромаг-Hvdtнитной волны v, то количество энергии, прошедшей через площадку, равно энергии в объёме прямого цилиндра с площадью ос-нования S и высотой vdt:   ,dS   S ЦИЛwS vdtdWwdV   wvS  .dtdtdtПоверхность цилиндра ориентирована наружу, а вектор Пойнтинга направлен внутрь цилиндра,поэтому   ,dS   S. Тогда из равенства S   wvS следует:   wv .

В векторномS ЦИЛвиде можно записать равенство:  wv ,из которого следует, что вектор Пойнтинга направлен по направлению движения волны.Следовательно, вектор Пойнтинга – это вектор Умова-Пойнтинга, соответствующий электромагнитной волне. Поэтому физический смысл вектора Пойнтинга состоит втом, что он указывает направление потока энергии, а его величина равна плотности потока электромагнитной энергии.Пример.

Рассмотрим часть цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S, по которому протекает постоянный электрический ток. Предположим, чтовеличина плотности тока j постоянна в сечении проводника, поэтому сила тока равна9Семестр 3. Лекции 11I  jS  .j  E По закону ОмаEEjHГППdSH1E , где  - удельное сопротивление проводника.

На поверхности проводника вектор H направлен по касательной к силовой линии Г магнитного поля,а его величинаHI,2rгде r – радиус проводника. Направления H и j согласованы правилом буравчика и направлены перпендикулярно друг другу, но j E , поэтому H  E . Тогда на поверхности проводникавектор Пойнтинга   E  H направлен вглубь проводника, т.е. против вектора dS . Найдёмпоток вектора Пойнтинга через (боковую) поверхность проводника:   ,dS    S БОКОВ dS  S БОКОВEHdS .S БОКОВЗдесь учтено, что   EH sin 900  EH и что векторы dS и  направлены противоположно.Т.к.E  j I , S БОКОВ  2rl , тоS   ,dS    EH S БОКОВгде R  S БОКОВdS  IIl2rl   I 2 I 2R ,S  2rSlэлектрическое сопротивление проводника. Итак, поток вектора Пойнтинга черезSбоковую поверхность проводника равен по величине мощности тепловыделения в проводнике(по закону Джоуля-Ленца):   ,dS    dtdQ.S БОКОВСледовательно,dWdt  , dS  dtdQ0 - энергия электромагнитного поля в проводникеSне изменяется.Рассмотрим в некоторой инерциальной системе отсчёта плоскую электромагнитную волну, движущуюся вдоль оси Z.

Следовательно, вектор Пойнтинга  тоже направлен вдоль осиZ. Пусть SZ - малая площадка, перпендикулярная оси Z (и вектору Пойнтинга). Предположим,что волна полностью поглощается веществом этой площадки. Как известно, в электромагнитном поле на тела действуют силы, создающие давление p, равное по величине объёмной плотности энергии: p = w. Поэтому величина силы, действующей на площадку равна F=pSZ.

Век10Семестр 3. Лекции 11тор этой силы направлен перпендикулярно площадке в направлении движения волны, т.е. вдольоси Z, поэтому можно написать, что FZ = pSZ . За малый промежуток времени dt импульс этойсилы будет равен: FZ dt  pS Z dt wS Z vdt dW, где dW  wS Z vdt - величина энергии волны,vvпоглощённой площадкой за время dt, а v – фазовая скорость волны. Импульс силы, действующей на площадку, равен изменению импульса этой площадки вдоль оси Z: dPZ dW.vЕсли предположить, что импульс площадки до падения на неё электромагнитной волныбыл равен нулю, то, спустя некоторый промежуток времени, у площадки появится импульс P,величина которого прямо пропорциональна величине энергии, поглощённой за этот промежуток времени:PW.vЕсли рассматривать систему волна-площадка как замкнутую, то в этой системе импульс сохраняется, следовательно, изменение импульса площадки равно изменению импульса волны.

Таким образом, электромагнитной волне следует приписать величину импульса P, величина которого связана с энергией W, переносимой волной с фазовой скоростью v, соотношениемPW.vСледовательно, плоская гармоническая электромагнитная волна с объёмной плотностью энергии w в единице объёма отличный от нуля импульс, переносимый плоской электромагнитнойволной за единицу времени, значение которого может быть рассчитано по формуле:PУД P W wV vV vНо из выражения   wv следует, что w v.

Поэтому в единице объёма электромагнитнаяволна обладает импульсом, величина которого PУД PУД v2. Поэтому в векторном виде EH.v2v2Замечание. Из результатов, полученных в СТО, следует соотношение между энергией W, импульсом P и массой покоя m0 материальных тел:W 2  P 2 c 2  m02 c 4 .В вакууме скорость электромагнитной волны равна c, поэтому для импульса и энергии некоторого объёма волны получаем следующее соотношение:11Семестр 3. Лекции 11PW.cСледовательно, масса покоя электромагнитного поля в этом объёме волны равна нулю: m0  0 .За малый промежуток времени dt изменение импульса ориентированной площадки SZ,полностью поглощающей электромагнитную волну, равно dPZ dW.

Но при отсутствии тепvловыделения (по закону Джоуля-Ленца) из теоремы Пойнтинга следует равенство:   ,dS  .dWdtSЗдесь S – это замкнутая поверхность, внутри которой находится рассматриваемая площадка SZ.В случае полного поглощения электромагнитной волны вектор Пойнтинга отличен от нулятолько на площадке SZ, поэтому   ,dS      ,dS  .SSZПри этом вектор Пойнтинга перпендикулярен к площадке SZ, т.к. по условию он направленвдоль оси Z:    0,0, Z  . Следовательно,   ,dS      ,dS    SSZZcos  ,dS dS .SZЕсли вектор Пойнтинга представить в виде сумме координатных векторов   X   Y   Z , где  X    X ,0,0  , Y   0, Y ,0  ,  Z   0,0, Z  ,то будет справедливым соотношение:  SZ,dS    Z ,dS    Z cos  ,dS dS ,SZSZпоэтому в данном случае   ,dS     SZ,dS .SТогда изменение импульса площадки вдоль оси Z равно:dPZ1dtv  Z,dS .SСлева стоит мгновенное изменение импульса площадки вдоль оси Z.