11 (Лунёва)

Семестр 3. Лекции 11Лекция 11. Электромагнитные волны.Волновое уравнение для электромагнитного поля, его общее решение. Распространениеэлектромагнитных волн. Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга.Теорема Пойнтинга.Рассмотрим уравнения Максвелла в вакууме в условиях отсутствия зарядов и токов.При  = 0,j  0 ,  = 1,  = 1 уравнения в дифференциальной форме примут вид:divD  0 ,rotE  divB  0 ,rotH B,tD.tD  0 E , B  0 H и получаем систему уравненийУчитываем материальные уравнения div E  0rotE   0Ht div H  0rotH   0EtНачинаем преобразования уравнений (2) и (4):,(1),(2),(3).(4)2 HrotE   0 2 , откудаtt E 2 Hrot    0 2 .t t (5)E 1 rotH , то равенство (5) примет вид:t 0Т.к.

из уравнения (4) следует, что12 Hrot  rotH    0 2t 0rot rotH   0 02 Ht 2или.    grad  div  H   H ,Но, как известно из лекции № 10 rot rot H(6)поэтому с учётом (3),уравнение (6) равносильно уравнению12 HH  2 . 0 0t(7)1Семестр 3. Лекции 11Аналогичные преобразования можно провести и для вектораE : из (2) следует:H1  rotE ,t0из (4) следует:    rot  Ht   rot   1 rotE    1 rot  rotE  .2 E 0 2 rot Htt00    grad  div  E   E  E , поэтомуУчитывая (1), получаем rot rot E12 EE  2 . 0 0t(8)Полученные уравнения (7) и (8) имеют вид волнового уравнения – они описываютраспространение плоских электромагнитных волн. Сразу можно сказать, что фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме равна c 1 3 108 м/с и совпадает со зна 0 0чением скорости света в вакууме.При распространении электромагнитных волн в среде с постоянными значениями  и ,выражение для фазовой скорости примет вид: v 1cc , где величина n  0  0 nназывается показателем преломления среды.Замечание.

Предположение о постоянстве значений  и  приводит к расхождению с опытными значениями показателя преломления. Например, для воды   81 и  1, что даёт расчётное значение n  9. Однако экспериментально определено значение n 1,5. Несовпадение объясняется возможной зависимостью  и  от частоты и других параметров волны.Волновое уравнение является линейным, в том смысле, что любая линейная комбинациярешений тоже является решением. Отсюда, как известно из предыдущего семестра, следуетпринцип суперпозиции для волновых полей – наложение волновых полей является волновым полем. Поэтому выделяют «простейшие» волновые поля – поля (или волны), соответствующие определённым частотам. Такие «простейшие» волны, определённая частота которых постоянная, называются монохроматическими.Пример.

Электромагнитная волна, частоты колебаний векторов в которой равны 1000 Гц и 2000Гц является суперпозицией двух монохроматических волн с частотами 1000 Гц и 2000 Гц.Запишем решения волновых уравнений (7) и (8) в декартовых координатах. Они имеютвид:2Семестр 3. Лекции 11 2  2 H X 2H X 2H X  2H Xv 222 xyzt 2   2 H 2 HY  2 HY   2 HY2Y,v 2y 2z 2 t 2  x  2 H2H Z 2H Z  2H ZZv 2 y 2z 2 t 2  x 2 2   2 EX  2 EX  2 EX   2 EXv 222 xyzt 2   2 E 2 EY  2 EY   2 EY2Y.v  2 y 2z 2  t 2  x  2 E 2 EZ  2 EZ   2 EZZv 2 y 2z 2  t 2  x 2Эти уравнения описывают распространение плоских волн.

Пример записи решения для первыхуравнений каждой из систем: k ,r     ,H X  H 0 X sin H tHHE X  E0 X sin E t k ,r     ,EH(индекс «Е» соответствует параметрам напряжённости электрического поля, а «Н» - магнитного), где в соответствующей волне k , r kx x ky y zk , z r   x , y , z- радиус-вектор точки,где находится волна, а для координат волнового вектора k   k x ,k y ,k z  справедливо соотношение:k  k  k x2  k y2  k z2 .vЗнак «-» соответствует «убегающей» волне, а знак «+» - набегающей.Обратим внимание на тот факт, что волновые уравнения для каждой из координат векторов E и H независимы друг от друга, поэтому общее решение можно рассматривать как суперпозицию решений для координат векторов.При этом решения волновых уравнений согласованы.

Т.е. определённому решению одного из волновых уравнений для какой-то координаты вектора напряжённости электрическогополя соответствует определённое решение одного из волновых уравнений для координат вектора напряжённости магнитного поля, и наоборот.Поэтому можно искать решения, соответствующие, например, вектору E   E X ,EY ,EZ  .Но согласно принципу суперпозиции волновых полей, решение, соответствующее векторуE   E X ,EY ,EZ  , можно найти как суперпозицию решений, соответствующих векторамE1   E X , 0, 0  , E2   0,EY , 0  , E3   0, 0,EZ  .Аналогично, можно искать решения для вектора напряжённости магнитного поляH   H X ,H Y ,H Z  .Пример.

Найдем решения для случая, когда волна движется вдоль оси z, а вектор напряжённости электрического поля имеет вид: E  ( EX ,0, EZ ) , где составляющие вектора E зависят толь-3Семестр 3. Лекции 11ко от z. Волна в этом случае является суперпозицией волновых полей векторов E1   E X , 0, 0  иE3   0, 0,EZ  .

Система волновых уравнений в декартовых координатах примет вид: 2  2 EX  2 EXv z 2  t 2.22 v 2  EZ   EZ z 2t 2Так как мы будем искать решения в виде волны, то предположим, что в рассматриваемой области пространства нет постоянных во времени электрического и магнитного полей. Т.е., еслипри решении получается постоянное значение какой-то составляющей векторов E или H , тоэто значение можно считать равным нулю. Из уравнения (1): div E  0 следует:EZ 0 , откуда следует, что EZ не зависит отzкоординат, но, возможно, зависит от времени. Но эта проекция EZ должна также удовлетво- 2 EZ  2 EZрять волновому уравнению: v.

Поэтому EZ  const - т.е. поле постоянное, тогдаz 2t 22EZ  0 .Из уравнения (2): rotE   0eXxEXeYy0H, с учётом EZ  0 получим:teZHH Z  H X  0 eX  Y eY eZ  , тогда остаются равенства:ztt t0H XE XH YE XH Z 0,  0,  0.tztytПроекцияHXв соответствии с первым равенством последних соотношений не зависит отвремени, но, так как она должна являться решением волнового уравнения 2 H X 2 H X 2 H Xv2 22xyz 2 2H X,2tто H X  const , поэтому H X  0 .Искомые составляющие векторов E и H зависят только от z, следовательно, должнобыть4H ZE X 0 и, по аналогии, H Z  0 . 0 , поэтому из третьего равенства следуетtyСеместр 3. Лекции 11 Из уравнения (3): div H  0 следует:EH Yс 0 .

Из уравнения (4): rotH   0tyучётом H X  0 , H Z  0 , EZ  0 и EY =0 получим:eXx0что даёт соотношениеeYyHYeZE  0 X eX ,zt0H YE 0 X . Получаем систему уравнений:ztH Y E X z   0 t, H Y   E X0 ztоткуда можно опять получить волновые уравненияv2 2 HY  2 HYz 2t 2иv2 2 EX  2 EX.z 2t 2Следовательно, вектору напряжённости электрического поля E1   E X , 0, 0  соответствует вектор напряжённости магнитного поля H 2   0,H Y , 0  .Поэтому вектору E2   0,EY , 0  будет соответствовать вектор H1   H X , 0, 0  .Но векторамE3   0, 0,EZ иH 3   0, 0,H Z  не соответствует никакая плоскаяэлектромагнитная волна, распространяющая вдоль оси Z.Заключения по результатам примера.1) Плоская электромагнитная волна является поперечной.Действительно, из примера следует, что продольные составляющие (вдоль направлениядвижения волны - оси Z) векторов напряжённостей электрического и магнитного полей равнынулю EZ  0 и H Z  0 .Векторы E  ( EX , 0, 0) и H   0,H Y , 0  направлены перпендикулярно друг другу и перпендикулярно направлению движения волны.

Если направление движения волны вдоль оси Zзадать волновым вектором k   0,0,k  , то можно сказать что тройка векторов E,H ,k яв-ляется правой.2) Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей в любой точке плоскойволны происходят с одинаковой фазой.Действительно, пусть решения волновых уравнений имеют вид:5Семестр 3. Лекции 11E X  E0 sin  E t k E z   E  ,Тогда, например, из равенстваH Y  H 0 sin  H t k H z   H  .E XH Y  0ztследует, чтоk E E0 cos  E t k E z   E    0H H 0 cos  H t k H z   H  .Это равенство возможно, только если фазы волн равны с точностью до .

Откуда следует, чтоE  H , т.е. колебания происходят с одинаковой частотой, и, так как фазовые скоростиодинаковые, то равны и волновые числа: k E  k H .ИзH0 H0 kE0HравенстваE0 k E E0  0 H H 0амплитудследуетсоотношение:E 11, поэтомуE0 . Но фазовая скорость волны (в вакууме) v  c H 0 0 0 0 0E0  0 E0 .00При распространении плоской поляризованной электромагнитной волны в среде спостоянными значениями  и  амплитуды колебаний электрической и магнитной компонент связаны соотношением:H0  0E .0 0Отношение амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей называетсяволновым сопротивлением среды Z 0 E00. Единица измерения Ом.H00EXkYH6ZСеместр 3.

Лекции 11Для вакуума (=1, =1) Z 0 0 4 10-7  36 109  120  377 Ом.0Объёмная плотность энергии электромагнитного поля w в однородной среде равнасумме объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:w  wЭ  wМ .Из соотношения амплитуд следует, что объёмные плотности энергии электрического имагнитного полей в плоской волне равны друг другу. Действительно,2 H 2  0  0  0 E 2wM  0E  wЭ .22   0 2Таким образом, энергия плоской гармонической электромагнитной волны равномернораспределена на электрическую и магнитную части. По аналогии с МКТ, иногда говорят,что плоская электромагнитная волна обладает двумя степенями свободы.Поэтому w  wЭ  wМ   0 H 2   0 E 2 ,w  0 E02 sin 2  t kz    или0 E021  cos  2  t kz     ,2объёмная плотность энергии в плоской электромагнитной волне тоже является плоской волной,но с удвоенной частотой.