1 (Лунёва), страница 2

Поэтому  , ,     E , где А – коэффициент пропор d d d  d d d циональности. Исключая параметр , получаем «каноническую» форму записиуравнения силовой линииdx dy dz.Ex E y EzПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.Вектор напряжѐнности поля, создаваемого системой неподвижных точечныхзарядов, равен векторной сумме напряжѐнностей полей, создаваемых каждымиз зарядов в отдельности:E =  Ei .iЭто следует из того, что силы складываются как векторы: F   Fi , поэтомуi  Fi FFiiE=     Ei .qqi qiПримеры на принцип суперпозиции.1) Рассмотрим систему из двух одинаковых неподвижных точечных зарядов.Напряжѐнность поля, создаваемого зарядами, равна сумме напряжѐнностей полей,EEEсоздаваемых каждым из зарядов в отдельности, E  E  E .

Тогда получаем картину силовых линий.Семестр 3. Лекция 1.92) Найдем напряжѐнность поля бесконечной прямой равномерно заряженнойнити.Пусть  - линейная плотность заряда нити (этоXозначает, что кусок нити длиной L имеет зарядdqdxq=L). Будем искать напряжѐнность в точке, расrположенной от нити на расстоянии R (точка на-E(dq)Ex=0блюдения и нить лежат в плоскости рисунка).RВдоль нити вводим ось Х, начало которой являет-E(dq)ся основанием перпендикуляра, опущенного израссматриваемой точки на нить.dqНа некотором расстоянии от начала выделяем малый кусок нити длиной dx, тогда заряд этого куска dq = dx.

Рассматривая заряд этого куска нити как точечный заряд, находимсоздаваемое им поле с вектором напряжѐнности в рассматриваемой точке E  dq  .Симметричный (относительно начала оси Х) точечный заряд dq создаѐт поле ссимметричным вектором напряжѐнности E  dq . Вектор их суммы E  E  dq   E  dqлежит на перпендикуляре к нити.

Таким образом, общий вектор напряжѐнности тоже должен быть направлен перпендикулярно нити. Следовательно, при суммировании векторов напряжѐнностей от всех точечных зарядов на нити можно учитыватьтолько их перпендикулярную составляющую, т.е. найти сумму проекций на перпендикулярное направление:E   E  dq   cos  .dqТак как E  dq  1 dq,40 r 2вания, находим:Edx3 R2  x2  21 2Rcos  R,rr  R2  x2 , то, применяя операцию интегриро1 dq RR240 r r  40Í ÈÒÜR 2 dx3 R2  x2  2dxR2x32 2.

Далее интегрируем:  2 21   R  x  dxx 2 dx  1 dxx 2 dx  2  2 33 13 R R  222 222 22 222 2 R  x RxRxRx   Берѐм второй интеграл по частям  udv  uv   vdu :Семестр 3. Лекция 1.10xdx1dx,v  31  dv x R2  x2  2 R2  x2  2    2 2 1 R  x 2u  x,du  dx2x dx R2  x32 2dx R2  x12 2 2 dx1 R2  x2  2ОткудаdxR2xОкончательно имеем: E 32 2 1 dxdx 2 2 2  211 R  22 222 2 R  x  R  x   R..2 0 R3) Найдем напряжѐнность поля на оси заряженного кольца, радиус которого R,а заряд Q.Разобьѐм кольцо на большое количество участков, опирающихся на центральныйугол α =2π2πRQ. (Длина одного участка L =.) Заряд одного участка q = , где Q –NNNзаряд кольца.

Будем считать, что Q>0. Принимая малый участок кольца за точечныйзаряд можно найти напряжѐнность поля на оси кольца, создаваемого одним участq, где r = R 2 + z 2 - расстояние от заряда до рассматриваемой точки. Приr2ком: E α = kэтом участок, расположенный симметрично относительно центра кольца, создаетполе в рассматриваемой точке с вектором напряжѐнности, симметричным уже найqденному. Их сумма будет лежать на оси коль-ца (вектор E|| ). Поэтому при суммированииrEвсех векторов напряжѐнности (от каждого изучастков) будем иметь в рассматриваемойzREточке результирующий вектор, направленныйпо оси кольца, длина которого равна E α cos ,zrгде cos = =zR 2 + z2.

В итоге получаем,E =  E α cos = Nkq zQ NzQz = Nk 2=k.322222r rR +zR 2 + z2R+zОтметим, что в центре кольца (z=0) напряжѐнность поля равна нулю.Семестр 3. Лекция 1.114) Рассмотрим бесконечную заряженную плоскость. Пусть поверхностная плотность заряда равна . В силу симметрии вектор напряжѐнности направлен перпен-EzdRRдикулярно плоскости.Найдѐм напряжѐнность поля в точке, находящейся на расстоянии z от плоскости.Если плоскость представить как набор тонких, вложенных друг в друга соосных колец, ось которых проходит через искомую точку, то можно воспользоватьсярезультатом предыдущего примера.Заряд тонкого кольца, радиус которого R и толщина dR равенdq=dS=2RdR.Тогда искомая напряжѐнность E   kdqz  dqR2z32 2.Переходя к интегрированию, получаем1z    dS1 z    2RdR z   d  R  z  z   2E333140 2Ï ËÎ ÑÊÎ ÑÒÜ R  z 2  2 0 40  R2  z 2  2 40 0  R2  z 2  2 40   R2  z 2  222Величина напряжѐнности поля заряженной пластины E =где σ =  2 .00qσ=,2ε 0S 2ε 0q- поверхностная плотность заряда (Кл/м2).SЭлектрическое поле называется однородным, если вектор напряжѐнности в каждой точке поля одинаковый (по величине и по направлению).

Следовательно, поле бесконечной заряженной пластины однородное..