1 (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 1.1Кто не сможет на экзамене пояснить смысл этих уравнений, получит «неуд»!divD  BrotE  tdivB  0  DrotH  j t  D,dS   qS d  E,dl    dt   B,dS  S B,dS  0S  H ,dl   I dD,dSdt S    j    E, D  0  E  P, B   0  H  J , div  j   tD2 n  D1n  , E1t  E2tB2 n  B1n , H 2t  H1t  iЛекция 1.

Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме.Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электростатическогополя. Силовые линии. Принцип суперпозиции и его применение к расчѐту полясистемы неподвижных зарядов.Наряду с массой одним из свойств частиц вещества является электрическийзаряд.

Различают два вида электрического заряда: положительный и отрицательный. Ядро любого атома считается положительно заряженным. Электроны имеют,по определению, отрицательный заряд. О наличии заряда у тела судят по его взаимодействию с другими заряженными частицами. При этом одноименно заряженныетела отталкиваются, а разноименно заряженные – притягиваются.Элементарным зарядом называется абсолютная величина электрическогозаряда электрона или ядра атома водорода – протона. В СИ величина элементарногозаряда равнае=1,610-19 Кл (единица измерения – Кулон.) Любой электрический заряд кратенэлементарному заряду.Электрические заряды могут появляться или исчезать только попарно.

Отсюда следует:закон сохранения электрического заряда – сумма зарядов в замкнутой системеостается постоянной.Семестр 3. Лекция 1.2В классической теории электромагнитных явлений широко применяется понятие неподвижного точечного заряда.Точечным электрическим зарядом называется заряженное тело, размерамикоторого (в условиях данной задачи) можно пренебречь. Можно говорить о точке,имеющей электрический заряд.При рассмотрении микроскопических заряженных частиц ( 10-6 м) в качестветочечных зарядов можно применять классическую теорию электромагнетизма только с учѐтом «усреднения по времени»: любая микрочастица, находящаяся, например, в газе, постоянно совершает хаотическое (броуновское) движение.

Поэтому,если необходимо рассматривать положение даже одной электрически заряженнойчастицы в газе (при отсутствии других микроскопических зарядов и фонового излучения), то приходится рассматривать усредненные по времени физические величины.В масштабах, соизмеримых с размерами атомов ( 10-10 м), методы классической электродинамики, вообще говоря, неприменимы. Однако, в некоторых частных случаях, классическое рассмотрение взаимодействия ядра и электрона с окружающим электромагнитным полем приводит к качественно верным результатам.Это бывает полезно с методологической точки зрения, т.к. классический подходприводит к менее «трудоѐмким» моделям.Опыты показывают, что взаимодействие неподвижных точечных зарядов определяется следующим законом (закон Кулона):Сила электростатического взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов, находящихся в вакууме на расстоянии r друг от друга, прямо пропорциональна произведению величин этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль соединяющей их прямой:qi qk rikFik  k 2,rik rikгде Fik  сила, действующая на заряд q k со стороны заряда q i , а rik  радиусвектор, проведѐнный от заряда q i к заряду q k .В СИ постоянный коэффициент k (не путайте с постоянной Больцмана!) равен:Семестр 3.

Лекция 1.F2F3qq1FQ4F1k=19  1094πε 0εεН  м2для среды с диэлектрической прониКл2цаемостью , а 0 - электрическая постоянная. Для вакуумаQ=1, поэтому k =qq231 9  1094πε 0Н  м2.Кл23Для силы Кулона справедливо утверждение (принцип суперпозиции для сил): вектор силы, действующей на точечный заряд со стороныостальных зарядов, равен векторнойсумме сил, действующих со стороны каждого заряда в отдельности: F   Fi . Поэтому, при рассмотрении (статического)iвзаимодействия макроскопических заряженных тел, необходимо разбить каждое изних на точечные заряды, и затем найти вектор суммарной силы попарных взаимодействий всех точек этих тел.Пример 1. В вершинах квадрата со стороной а находятся одинаковые одноименные заряды, равные q.

Какой заряд Q необходимо поместить в центреквадрата, чтобы система находилась в равновесии?Решение. Рассмотрим силы, действующие на любой из зарядов, например, 4-й. Состороны зарядов 1, 2, 3 на него действуют силы отталкивания. Величина равнодействующей этих сил (в проекции на диагональное направление) равнаFРЕЗ = F1cosα + F3cosα + F2 =q2 2q2 2q2q2=k 2+k 2 + k 2 = k 2 2 2 +1 .a2a22a2aТогда, чтобы заряд находился в равновесии, он должен притягиваться к противоположному по знаку заряду с силойFQ = kq Qq2=k2 2 +1 .a2 22a 2Отсюда Q = q2.2 +14Сила Кулона является консервативной (для данных двух зарядов она зависиттолько от расстояния между ними), следовательно, для нее можно ввести потенциальную энергию WПОТ.Утверждение. Энергия взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов определяется следующим соотношением:W=kq1  q 2+C.RСеместр 3.

Лекция 1.4(Обратите внимание на показатель степени в знаменателе и отсутствие модуля зарядов.).Доказательство. Консервативная сила и соответстF12вующая ей потенциальная энергия должны быть свя-ZRзаны соотношением:q2F   grad (Wпот ).q1Рассмотрим систему отсчѐта, в которой один из заря-eRдов (q1) покоится в начале координат, а второй (q2)XYнаходится в точке, задаваемой радиус-векторомR   x, y,z  .

Пусть заряды будут одноименными. Тогда вектор силы Кулона, дейст-вующий на второй заряд со стороны первого равен:qq F12  k 1 22 eRR,R x y zгде eR    , ,  - единичный вектор направления для радиус-вектора.R R R RНайдем выражение для градиента от потенциальной энергии W W W grad (Wпот )   пот , пот , пот  .yz  xТак как С = const, а R  R  x 2  y 2  z 2 , то, например,WÏ Î Ò   q1q2 1 k C   kq1q2 xx  Rx  x 2  y 2  z 2Аналогично,Wпотqq y k 1 22  ,yR Rqq xx   kq1q2  k 1 22  .3R R x2  y 2  z 2  2Wпотqq z k 1 22  .zR RПоэтомуqq yqq z qq  x y z qq  qq xgrad  WÏ Î Ò    k 1 22  ,  k 1 22  ,  k 1 22     k 1 22  , ,    k 1 22 eR   F .R RR RR RR R R RRПример 2.

Какую работу необходимо совершить, чтобы перестроить системучетырех точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со сторонойа ? Заряд q считать известным (см. рис.).Семестр 3. Лекция 1.+q-q+q2124343+q-qРешение. Работа сил поля равна изме-+q1-q5нению потенциальной энергии системызарядов:АПОЛЯ = -  WПОТ = WПОТ_НАЧ --qWПОТ_КОН.Начальная энергия системы равна сумме энергий ПОПАРНЫХ взаимодействия между ВСЕМИ зарядами: 1 и 2: W12 = k2 и 3: W23 = kq  (-q),a2 и 4: W24 = kqqq  (-q)q  (-q), 1 и 3: W13 = k, 1 и 4: W14 = k,aa2a(-q)(-q)2a, 3 и 4: W34 = kq  (-q).aВ итоге, начальная энергия системы зарядов равна:WПОТ_НАЧ = W12 + W13 + W14 + W23 + W24 + W34 ,WПОТ_НАЧ = kq(-q)qqq(-q)q(-q)(-q)(-q)q(-q)q2q2+k+k+k+k+k= -4k + 2k.aaaaaa 2a 2a 2Аналогично подсчитываем конечную энергию системы зарядов:WПОТ_КОН = kqqqqqq qqqqqqq2-k-k-k-k+k= -2k.aaaaa 2a 2a 2Поэтому искомая работа равна:2АПОЛЯ = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОН  k q (4  2 2 ).aРабота сил поля равна AПОЛЯ= - AВНЕШ, поэтому A ВНЕШ = kq24-2 2 .aЗамечание.

Сравним по интенсивности электрическое и гравитационное взаимодействия двух точечных одинаковых заряженных элементарных частиц. q2 22k 2 FK  R  k q 29 109  q 20  q    1,35 10   .FG  m 2  G m 2 6, 67 1011  m mG 2  R Например, для электронадля протонаFq 1,76 1011 Кл/кг, поэтому K  4 10 42 ,FGmFq 108 Кл/кг, поэтому K  1,35 1036 .FGmСеместр 3. Лекция 1.6Т.е. электрическое взаимодействие намного интенсивнее, чем гравитационное. Однако при рассмотрении макросистем оказывается, что электрические заряды компенсируют друг друга и роль электрических сил становится незначительной.

Поэтому в больших (космических) масштабах решающую роль играют гравитационные силы.ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ.По современным представлениям электрические заряды взаимодействуют посредством некоторой материальной субстанции, которая называется электрическим полем и является одной из форм проявления электромагнитного поля.Электрическое поле в данной точке пространства характеризуется потенциалом и напряжѐнностью.НАПРЯЖЁННОСТЬ ПОЛЯЭлектрическое поле имеет силовую характеристику - вектор напряжѐнности, который определяется как отношение вектора силы,FqQдействующей на точечный заряд q, помещѐнный в данную точку поля, к величине этого заряда FE= .qRВеличина напряжѐнности измеряется Н/Кл или В/м (Вольт наметр).

Зная напряжѐнность поля в данной точке можно найти силу, действующуюна заряд:F = qE .Отсюда видно, что на положительно заряженные частицы (q >0) сила действует понаправлению вектора напряжѐнности электрического поля ( F  E ), а на отрицательно заряженные (q <0) - против ( F  E ).Правило: чтобы найти направление вектора напряжѐнности электрического поля вданной точке, надо поместить в эту точку положительный (пробный) заряд.

Тогдавектор напряжѐнности будет направлен так же как и вектор силы, действующей назаряд.Семестр 3. Лекция 1.7Найдем напряжѐнность поля, создаваемого положительным точечным зарядом Q на расстоянии R от него. Для этого возьмем положительный заряд q и поместим его на расстоянии R от заряда Q. Тогда эти заряды будут отталкиваться ссилой, величина которой: F = kqQ, и она направлена по линии соединяющей точечR2ные заряды. Поэтому величина напряженности поля будет равна:EFQk 2 .qRВектор напряжѐнности направлен в данном случае, так же как и вектор силы (мыделим вектор силы F на положительноечисло q!). То есть вектор напряжѐнностиполя, создаваемого положительным зарядом, направлен от него, а отрицательным –к нему.Силовой линией электрического поля называется линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора E .

Таким образом, силовые линии электрического поля направлены от положительного заряда к отрицательному.Замечание. Из рисунка (для точечного заряда) видно, что силовые линии расположены гуще вблизи заряда, т.е. там, где величинаABнапряжѐнности поля выше. Это относительное возрастание густотысиловых линий используют для условного обозначения областей сбольшей напряжѐнностью поля.Например, на рисунке (справа) в области В напряжѐнность полябольше, чем в области А.

Через каждую точку пространства, занятого полем, можнопровести только одну силовую линию.УРАВНЕНИЕ СИЛОВОЙ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.По определению касательный вектор к линии лежит на одной прямой с вектором напряжѐнности в точке пространства, через которую проходит силовая линия,т.е. эти векторы пропорциональны друг другу.Семестр 3. Лекция 1.8Пусть  - параметр, задающий линию в трехмерном пространстве, а кривая задаѐтся координатами  x   , y   ,z   , тогда касательный вектор к этой кривой опреdx dy dzdx dy dzделяется как  , ,  .