Общие теоремы динамики 2006 (МУ - Общие теоремы динамики), страница 3

3, б)4m1x = ROx , m1 y = 0 = N − m1g + ROy ,откудаПри ϕ1 =ROx = m1x,(31)ROy = m1g − N .(32)πрад из уравнений (31), (32) получим422ROx = 26,64 Н, ROy = −26,67 Н, RO = ROx+ ROy= 37,7 Н.14Пример 4. Механическая система (рис. 4) состоит из ступенчатого зубчатогоколеса 1 массой M и радиусами R и r , ρ – радиус инерции колеса 1 относительнооси C ( z ), колесо 1 катится без скольжения по зубчатой рейке и связано с подвижной зубчатой рейкой 3 массой m3 . Рейка 3 движется в горизонтальных гладких на-правляющих. К центру зубчатого колеса шарнирно прикреплен маятник 2, состоящий из невесомого стержня AC длиной l и точки A массой m . В начальныймомент система покоилась, маятник занимал горизонтальное правое положение ибыл отпущен без начальной угловой скорости.

Трением качения и трением в шарнире C пренебречь. При ϕ = ϕ′ определить: 1) скорость и ускорение центра массколеса 1; 2) угловые скорость и ускорение стержня AC ; 3) силу в зацеплении колеса 1 и неподвижной рейки.б3вРис. 4Решение. Механическая система имеет две степени свободы. КоординатыxС и ϕ определяют положение механической системы (рис. 4, а). Используем длярешения теоремы об изменении количества движения в проекции на ось x и кинетической энергии в интегральной форме:NNdQx N ( e )= ∑ Fkx , T − T0 = ∑ A( Fk( e ) ) + ∑ A( Fk(i ) ).dtk =1k =1k =1Количество движения системыQ = Q1 + Q2 + Q3 = M vC + mv A + m3v3 ,(33)15где v A = ve + vr – абсолютная скорость точки A ; ve = vC – переносная скоростьточки A; vr – относительная скорость точки A (vC = vCx , vCx = xC , vCy = 0 – ско-рость центра колеса 1), lϕ , ω=ϕ , v3 x = x3 и x3 = xСvrτ = AC⋅ϕ=R+ r.RИз (33) имеемQx = MxС + m( xС −lϕ sin ϕ )+ m3 xСdQx= −F,dtR+ r,Rd R + r M + m + m3 xС − mlϕ sin ϕ  = − F .dt R(34)(35)Дифференциальное уравнение поступательного движения рейки 3 запишем ввиде m3 a 3 x = m3 x3 = F3 (рис.

4, б).R+ rУчитывая уравнение x3 = xС(aСx = xС ), получаемRm3R+rxС = F3 .R(36)Одно из уравнений плоского движения колеса 1 (рис. 4, в):1 = FR − F3′r ,I Cz ϕ(37)1 =ε1 – угловое ускорение колеса.где F3′= F3 ; I Cz = M ρ2 ; ϕ1 выбрано по ходу часовой стрелки. СПоложительное направление ϕ1 , ϕ 1 , ϕучетом1xC = Rϕ(38) ρ2( R + r )r F = xC M 2 + m3.R2  R(39)из (36), (37) имеемИз (35) и (39) определимd  R 2 +ρ2 R+ r + m + m3 M2 R dt R16 xС − mlϕ sin ϕ = 0.2(40)Интегрируя (40), получаем2 R 2 +ρ2 R+ r  + m + m3 M x − mlϕ sin ϕ= C. R   СR2Постоянную интегрирования C найдем из начальных условий (приxС = 0, ϕ = 0, xС = 0, ϕ = 0 ): C = 0.

Тогда2 R 2 +ρ2 R+ r  + m + m3 M x − mlϕ sin ϕ= 0. R   СR2t=0(41)Кинетическая энергия системыMvC2 I Cz ω12 mv 2A m3v32T =T1 +TA +T3 =+++,2222или1  R 2 +ρ2 R+rT = M+ m + m3 2 R 2 R22 xС − mlϕ xС sin ϕ+ml 2ϕ 2.2NСумма работ внешних сил ∑ A( Fk( e ) ) = mgl sin ϕ, а сумма работ внутрених силk =1N(i )∑ A( Fk ) = 0. С помощью начальных условий находим T0 = 0,k =1и тогда1  R 2 +ρ2 R+ r + m + m3 M2 R 2 R22 xc − mlϕ xC sin ϕ+Из уравнений (41), (42) при ϕ = ϕ′ =ml 2ϕ 2= mgl sin ϕ.2(42)πрад получим2 6,37 рад/с.xС = 0,104 м/с, ϕ=Для определения ускорений продифференцируем уравнение (40):2 R 2 +ρ2 R+ r   sin ϕ+ϕ 2 cosϕ ) = 0.xC − ml (ϕ+ m + m3 M  2RR(43)17Запишем теорему мощностейNdT N= ∑ W ( Fk( e ) ) + ∑ W ( Fk(i ) ) в видеdt k =1k =12 R 2 +ρ2 R+ r  2xС Mmmxml(sincos)++−ϕϕ+ϕϕ+ С32RR(44) xС sin ϕ ) = mglϕ cosϕ.+ mlϕ (lϕ−Из (44) с учетом (43) находим lϕ−xС sin ϕ= g cosϕ.(45) 0.Решая (43) и (45) при ϕ=ϕ′ =π /2 рад, получаем xC = 0, ϕ=Запишем теорему об изменении количества движения системы в проекции наось y :dQydt= N + N D + N E − ( M + m + m3 ) g ,где Qy =− mlϕ cosϕ, тогдаdQydt cosϕ−ϕ 2 sin ϕ ) = N + N D + N E − ( M + m+ m3 ) g .=− ml (ϕ(46)Для рейки имеемm3a3 y = 0 = N 3 + N D + N E − m3 g ,(47)где, согласно (36), при N 3 = F3tg15DF3 = 0, N 3 = 0.(48)Из (46)–(48) получимN D + N E = m3 g , cosϕ−ϕ 2 sin ϕ ).N = ( M + m) g − ml (ϕПри ϕ = ϕ′ = π /2 рад N = 190,7 Н.Для того чтобы найти зависимость скоростей, ускорений и некоторых сил отугла φ, составлена программа для ЭВМ на основе алгоритма, использованного в примере 4.

Графики, построенные по этим результатам, даны на рис. 5. Подпрограммыдля этой программы, исходные данные и расчеты результатов представлены далее.18Подпрограммыsubroutine xx(q2,q20)real m1,m2,m3,m4,Iz,l,Lb,lo,l1,Lmcommon m1,m2,m3,m4,Iz,alfa,g,F,Lm,Cp,$ rb,r,ro,r1,l,Lb,lo,l1,al,e,picommon /xpar/ a11,a12,a22,D,b1,b2,dm,T0,q1t0,q2t0c / q1=xc q2=fi q1t=xct q2t=fit /a11=m1*(rb**2+ro**2)/rb**2+m2+m3*((rb+r)/rb)**2a12=–m2*l*sin(q2)a22=m2*l**2sra=m2*g*l*sin(q2)T0=0.0D=2.0*(sra+T0)b1=m1*(rb**2+ro**2)/rb**2+m2+m3*((rb+r)/rb)**2b2=–m2*l*sin(q2)dm=0.0returnendsubroutine coeff(a,b,n,q2,q1t,q2t)dimension a(n,n),b(n)real m1,m2,m3,m4,Iz,l,Lb,lo,l1,Lmcommon m1,m2,m3,m4,Iz,alfa,g,F,Lm,Cp,$ rb,r,ro,r1,l,Lb,lo,l1,al,e,pic неизвестные / xcdt, fidt, N′, F, Rcx, Rcy /do 5 i=1,ndo 5 j=1,n5 a(i,j)=0.0a(1,1)=m1*(rb**2+ro**2)/rb**2+m2+m3*((rb+r)/rb)**2a(1,2)=–m2*l*sin(q2)a(2,1)=–m2*l*sin(q2)a(2,2)=m2*l**2a(3,2)=m2*l*cos(q2)a(3,3)=1.a(4,1)=m1*(ro/rb)**2+m3*(rb+r)*r/rb**2a(4,4)=–1.a(5,1)=m2a(5,2)=–m2*l*sin(q2)a(5,5)=–1.a(6,2)=m2*l*cos(q2)a(6,6)=1.b(1)=m2*l*q2t**2*cos(q2)b(2)=m2*g*l*cos(q2)b(3)=(m1+m2+m3)*g+m2*l*q2t**2*sin(q2)b(4)=0.b(5)=m2*l*q2t**2*cos(q2)b(6)=m2*(l*q2t**2*sin(q2)+g)returnend19Исходные данные" Общие теоремы динамики " и с х о д н ы е д а н н ы еm1*g= 160.00 н m2*g= 10.00 н m3*g= 20.00 нR = .80 m r = .40 м ro= .60 m r1= .00 m l = .50 мКоличество неизвестных в уравнениях n=6Результаты расчетаfi0.0005.00010.00015.00020.00025.00030.00035.00040.00045.00050.00055.00060.00065.00070.00075.00080.00085.00090.00095.000100.000105.000110.000115.000120.000125.000130.000135.000140.000145.000150.000155.000160.000165.000170.000175.000180.00020xct.000.003.007.014.021.028.036.045.053.062.070.077.084.090.095.099.102.104.104.104.102.099.095.090.084.077.070.062.053.045.036.028.021.014.007.003.000fit.0001.8502.6123.1903.6704.0844.4484.7705.0575.3115.5365.7335.9036.0456.1626.2536.3186.3576.3696.3576.3186.2536.1626.0455.9035.7335.5365.3115.0574.7704.4484.0843.6703.1902.6121.8500.004xcdt.000.084.165.242.312.373.424.462.486.496.491.471.436.387.326.254.174.089.000–.089–.174–.254–.326–.387–.436–.471–.491–.496–.486–.462–.424–.373–.312–.242–.165–.084.000fidt19.62019.56019.37919.07718.65018.09717.41516.60115.65514.57513.36312.02410.5648.9937.3235.5693.7501.886.000–1.886–3.750–5.569–7.323–8.993–10.564–12.024–13.363–14.575–15.655–16.601–17.415–18.097–18.650–19.077–19.379–19.560–19.620N′180.00180.22180.88181.95183.42185.23187.35189.72192.26194.91197.59200.21202.69204.95206.91208.51209.70210.43210.68210.43209.70208.51206.91204.95202.69200.21197.59194.91192.26189.72187.35185.23183.42181.95180.88180.22180.00F0.000.901.772.593.343.994.534.945.205.315.255.044.664.143.492.721.86.95.00–.95–1.86–2.72–3.49–4.14–4.66–5.04–5.25–5.31–5.20–4.94–4.53–3.99–3.34–2.59–1.77–0.900.00Rcx0.00–2.52–4.97–7.28–9.39–11.22–12.74–13.88–14.62–14.91–14.76–14.15–13.10–11.63–9.79–7.64–5.24–2.66.002.665.247.649.7911.6313.1014.1514.7614.9114.6213.8812.7411.229.397.284.972.520.00Rcy0.000.220.881.953.425.237.359.7212.2614.9117.5920.2122.6924.9526.9128.5129.7030.4330.6830.4329.7028.5126.9124.9522.6920.2117.5914.9112.269.727.355.233.421.950.880.220.00time.000.094.133.164.189.212.232.251.269.286.302.317.332.347.361.375.389.403.416.430.444.458.472.486.501.516.531.547.564.582.601.621.644.669.699.738.833N′ =N+ND+NEРис.

5Пример 5. В механизме шестерни представлены в виде находящихся в зацеплении однородных дисков 1 и 2 массами m1 , m2 и радиусами r1 , r2 . Шестерня 2 связа21на с неподвижным основанием спиральной пружиной жесткости c , на шестерне 2закреплена трубка 3, в которой движется материальная точка M массой m.

В начальный момент шестерне 1 сообщается угловая скорость ω10 , а точке M – скорость v0по отношению к трубке 3. Массой трубки пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости (рис. 6, а). Определить при ϕ1 = (ϕ1 )1 : 1) угловые скорость иускорение шестерни 2; 2) относительные (по отношению к трубке 3) скорость и ускорение точки M ; 3) давление точки на трубку и реакцию в опоре O1 . Принять m=1 кг,πcm1 = 4 кг, ω10 =1 рад/с, (ϕ1 )1 = рад, r1 = 0,8r2 = 0,4 м, v0 =1 м/с, c ==1 c −2 .6 m1 m2  2 +  r22 2Механическая система имеет две степени свободы.

Обобщенные координаты –угол поворота шестерни 1 ϕ1 и относительная координата s точки M по отношению к трубке 3.m1 gРис. 6Решение. Для определения угловой скорости шестерни 2 и относительнойскорости точки M используем теорему об изменении кинетической энергии для механизма:T −T0 = ∑ A( Fk( e ) ) + ∑ A( Fk(i ) )k(49)kи уравнение движения точки Mma = mg + N1 + N 222(50)в проекции на касательную к трубке 3.Кинетическая энергия системы111 2T = I1ω12 + I2ω22 + mvM.22212(51)1222Моменты инерции шестерен I1 = m1r1 , I2 = m2r2 .Кинематическое уравнение для механизма запишем в видеr1ϕ 1 = −r2ϕ 2 ,(52)где ω1z =ϕ 1; ω 2 z =ϕ 2 .Абсолютная скорость точки MvM = ve + vr , vM2 = (r2ϕ 2 + s)2 ,(53) 2 =ves , s=vrs .где r2ϕВыражение для кинетической энергии примет видT=111I1ϕ 12 + I 2ϕ 22 + m(r2ϕ 2 + s)2 =222(54)1111=  m1r12 + m2 r12  ϕ 12 + m( s − r1ϕ 1 )2 .2 222Начальные условия задачи: при t = 0 ϕ1 = 0, s = 0, ϕ 1 =ω10 , s = v0 ,212 12  ω10 1=++ m(v0 − r1ω10 ) 2 .T0  m1r1m2 r1 2 2 22Определим правую часть (49):(e,i )∑ Ak = −kcϕ22.2(55)С учетом начальных условий из (52) получимr1ϕ1 = −r2ϕ2 ,(56)и тогда232(e,i )∑ Akkr 1= − cϕ12  1  .2 r2 (57)Теорема об изменении кинетической энергии (49) окончательно примет вид22 22cϕ12  r1  m1 m2  r1 ϕ 1 m(s−r1ϕ 1)+−T0 =−. + 2 2 222  r2 (58)Запишем уравнение движения точки M (50) в проекции на касательное направление: 2 ) = 0.m (s + r2ϕ(59)1 = 0.s − r1ϕ(60)или с учетом (52)Интегрируя (60) и используя начальные условия, получаемs−r1ϕ 1 =v0 −r1ω10.(61)С учетом (61) уравнение (58) примет вид m1 m2  2 2 +  r1 ω10 cϕ 2  r  22 2 m1−=− 1  1  . + 2 2222  r2 m2  r12ϕ 12(62)Из уравнений (61) и (62) определим при ϕ1 =π /6 рад 0,94 м/с, ϕ 2 =−ϕ 1ϕ 1 = 0,85 рад/с, s=r1=−0,68 рад/с.r2Для определения углового ускорения шестерни 2 и относительного ускорения точки M используем теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной формеd T = ∑ dA( Fk(e ) ) + ∑ dA( Fk(i ) )kи уравнение (60).Уравнение (63) запишем так:24k(63)2 r1  m1 m2  2 rdm(sr)d(sr)cd+ϕϕ+−ϕ−ϕ=−ϕϕ1 11 11 1 1 1 1 2 2  r2 (64)или в другой форме:2r  m1 m2  2 1 ) = −cϕ1ϕ 1  1  .s − r1ϕ + r1 ϕ1ϕ1 + m( s − r1ϕ 1 )(2  2 r2 (65)С учетом (60) получим из (65)2 r1  m1 m2  2 + r1 ϕ1 = −cϕ1   .2  2 r2 Из уравнений (60) и (66) найдем(66) τs 2nasa,=== 1, 77 м/с 2 r rr2 2 = −ϕ11 = −0,524 рад/с 2 , ϕs = −0, 21 м/с 2 , ϕr1= 0, 42 рад/с 2 .r2Определим силу давления точки на трубку.

По величине она равна и противоположно направлена реакции трубки на точку.Проецируя уравнение (50) на нормаль и бинормаль к относительной траектории точки M, получим (рис. 6, б) 2 s2m r2ϕ 2 + − 2s | ϕ 2 |  = N2 ,r2(67)0 = N1 − mg .(68)Полная реакция, а следовательно, давлениеN т = N12 + N 22 .(69)Из N2 = 0,72 Н, N1 = 9,81 Н (см. (67)–(69)) получим Nт = 9,83 Н.Определим реакции в опоре O1.Уравнение вращения шестерни 1 запишем так:1 = Fr1.I1ϕ(70)25Из теоремы о движении центра масс шестерни 1 имеемm1aO1 = F + N + X O1 + YO1 + N ′ + m1g ,(71)где aO1 = 0, N = | F | tg15º , N ′ = −m1g .Проецируя (71) на оси x и y, получим (рис. 6, в)0 = F + X O1 , 0 = N + YO1 .(72)Полная реакция опоры O1 равна N ′ + RO1 ,RO1 = X O21 + YO21 .(73)Найдем из уравнений (70)–(73)F = − 0,42 Н, XO = 0,42 Н, YO = − 0,112 Н, RO = 0,435 Н.111Пример 6.