Общие теоремы динамики 2006 (МУ - Общие теоремы динамики), страница 4

Зубчатая рейка 1 массой m1 движется в гладких направляющихD, E под действием горизонтальной постоянной силы F и находится в зацеплениис шестерней 2 радиусом R. На одной оси с шестерней закреплен жестко барабан 3радиусом r, на который намотана нерастяжимая нить, прикрепленная к центру однородного катка 4 массой m4 и радиусом r4 , который катится без скольжения погоризонтальной направляющей. К барабану 3 приложена пара сил сопротивления смоментом LOz = −αω3, где α = const, α > 0, ω3 – угловая скорость барабана 3.

Ккатку 4 приложена пара сил с постоянным моментом сопротивления L . Моментинерции системы «шестерня 2 – барабан 3» относительно их оси вращения Oz равен I , их масса – m . В начальный момент система покоится. Массой нити, трением качения и трением в опоре O пренебречь (рис. 7, а). Определить: 1) закон движения рейки 1; при t = t1: 2) скорость рейки, угловые ускорения барабана 3 и катка 4; 3) натяжение нити, реакции в опорах Р и О. Принять: m =1,5 m4 = 2m1 , m1 = 2 кг,RI = 0,8mR 2 ,= 2, r = 0,1 м, r4 = 2r, α = 0,372 Н ⋅ м ⋅ с, L = 0,1m4 gr4 , F = 2m1g ,rt1 = 1 с.Решение. Механическая система имеет одну степень свободы.

Определимзакон движения катка 4, используя теорему об изменении кинетической энергиидля механической системы в дифференциальной форме:NNk =1k =1dT = ∑ dA( Fk(e ) ) + ∑ dA( Fk(i ) ).26(74)О′Рис. 7Кинетическая энергия системыT =1111m1v12 + I ω 32 + m 4 v C2 + I C z ω 42 ,222212где v1 = v1s , v1s = s, ICz = m4r4 .2Запишем кинематические уравнения связи (см. рис. 7, а):ω3 =srr= ϕ 4., vC = −ω3r = −s , ω4 = ssRRRr4Подставив полученные выражения в формулу для кинетической энергии системы,определяем222I 3 r sI 3rT = s  m1 + 2 + m4 2  = A , где A = m1 ++m4 2.22 2R 2 R R 2 R12Дифференциал кинетической энергии системыI 3 r2  = Asds .dT =  m1 + 2 + m4 2  sds2RR(75)Зададим элементарное перемещение рейке d s . Тогдаdϕ3 =dsr, dsc = −rdϕ3 = − ds = −r4dϕ4.RR27Сумма элементарных работ внешних силNr αα(e) , (76)dsBdssds=−∑ dA( Fk ) = Fds − αω 3d ϕ 3 − Ld ϕ 4 =  F − 2 s − LRr4 RR2k =1Nr; ∑ dA( Fk(i ) ) = 0.Rr4 k =1Подставим (75) и (76) в выражение (74) и получимгде B = F − L = Bds −Asdsα .sdsR2Преобразовав это уравнение с учетом того, чтоAs + sds= s , найдемdsαs = B или s + ns = D,R2(77)где n = α /( R 2 A); D = B / A.Решение уравнения (77) записываем так:s = C1 + C2e − nt + Et ,(78)где E = D / n .Постоянные C1 и C2 определим из начальных условий (при t = 0 s = 0,s = 0 ): C2 =E= −C1.nD − ntD(e − 1) + t.2nnВычислим входящие в уравнение значения величин:Решение примет вид s =A = 3,1m1; B = 1,867 m1g ; D = 5,9 м/с2; n = 1,5 с–1;тогда s = 3,93t + 2,62(e −1,5t − 1) м, [t ] = c.DСкорость и ускорение рейки s = (1 − e− nt ), s = De − nt .nПри t = 1 с получим s = 3,05 м/с, s = 1,32 м/с2.Угловые ускорения барабана 3 и катка рассчитываем по формулам28ε3 =sr, ε 4 = при t = 1 с ε 3 = 6,6 рад/с2, ε 4 = 3,3 рад/с2.sRRr4Определим натяжение нити и реакцию в точке P.

Составим дифференциальные уравнения плоского движения катка 4 (рис. 7, б):I Cz ε 4 = F1r4 − L, m4 xc = T − F1, 0 = m4 g − N .(79)Решив уравнения (79), получимT = 5,26 Н; F1 = 3,5 Н; N = 26,16 Н.Для системы «шестерня 2 – барабан 3» составим уравнение вращательногодвижения вокруг оси Oz и уравнение движения ее центра масс O :I Oz ε3 = FA R − T ′r − αω3 , I Oz = I ,(80)ma0 = X 0 + Y0 + FA + N A + mg + T ′.(81)Второе уравнение проецируем на оси x, y (рис. 7, в):0 = − X 0 − T ′ − FA , T ′ = T , 0 = − N A + mg − Y0 ,(82)где N A = FA tg15º.Решив уравнения (80), (82) при t = 1 с, получимFA = 35,22 Н; N A = 9,44 Н; X 0 = −40,47 Н; Y0 = +29,8 Н; R0 =X 02 + Y02 = 50,27 Н.ВАРИАНТЫ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯВ зубчатых зацеплениях полная реакция составляет угол β с касательной составляющей, принять β = 15º.

Если массы звеньев не указаны в задаче, то ими надопренебречь.Вариант 1∗. К одному из концов троса, переброшенного через блок 2, прикреплен груз A массой m A = 3m, другой конец троса намотан на большую ступеньдвухступенчатого барабана C , имеющего массу mc = m. Радиус малой ступени – r ,большой – R = 2r , центр масс барабана лежит на оси, проходящей через точку C , ирадиус его инерции относительно оси барабана равен ρ = r. Барабан может катиться по горизонтальной направляющей.

Коэффициент трения скольжения между ма∗Схемы к вариантам курсового задания приведены единым блоком в конце метод. указаний.29лой ступенью барабана и направляющей – f . Определить: 1) характер качения барабана 3; 2) уравнения движения барабана; 3) силу реакции на оси блока 2. В начальный момент система покоилась. Принять: m = 100 кг; r = 0,5 м; f = 0,1.Вариант 2. Система состоит из трех тел с одинаковыми массами(m A = mB = mC = m), груза 1, двухступенчатых блока 2 и барабана 3. Груз прикреплен к тросу, намотанному на большую ступень блока радиусом R. На малые ступени блока и барабана с радиусами r намотан другой трос.

Барабан может катитьсяпо направляющей, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент тренияскольжения между большой ступенью барабана и направляющей – f , а коэффициент трения качения – δ. Радиусы инерции барабана и блока относительно их осейодинаковы: ρC = ρ B = ρ. Определить: 1) характер качения барабана 3; 2) уравнениядвижения барабана 3 и силу реакции на оси блока. В начальный момент системапокоилась.

Принять: m = 10 кг; f = 0,1; ρ = Rr ; δ = 0,02 3 м; α = 30º; r = 0,3 м;R = 2r .Вариант 3. Механизм состоит из кривошипа 1, шатуна 2 и колеса 3, соединенных между собой шарнирами A и B . Концы спиральной пружины 4,имеющей жесткость с , связаны с шатуном и кривошипом. Звено 1 – однородныйстержень массой m1 и длиной L, звено 3 – однородный диск, имеющий массу m3и радиус r . Приложение к кривошипу пары сил с моментом M = const приводитк вращению его вокруг оси, проходящей через точку O, и качению колеса безпроскальзывания. В начальный момент звенья 1 и 2 располагались горизонтально (ϕ = 0), а пружина была недеформирована.

Определить при ϕ = π / 3 рад:1) угловые скорость и ускорение катка 3; 2) горизонтальную составляющую силы реакции в точке B . Принять: L / r = 2; M = 9mgr / π; c = 9mgr / π2 ;m3 / 6 = 2m1 / 3 = m = 2 кг; OA = AB; r = 0,1 м.Вариант 4. В механизме каток 1 – однородный диск массой m1 и радиусомr соединен шарнирно с однородным стержнем 2 массой m2 и длиной L . Стержень 2 связан шарнирно с ползуном 3 массой m3 . К стержню 2 приложена парасил с моментом M . Каток 1 катится без скольжения. В начальном положениисистема находилась в покое (ϕ = 0), а пружина жесткостью c недеформирована.Определить при ϕ = π / 3 рад: 1) угловые скорость и ускорение катка 1; 2) вертикальную составляющую реакции в шарнире A. Принять: L / r = 2; M = 0, 2mgL / π;c = 4mg /(3r ); m3 = m1 / 4 = m2 / 2 = m = 10 кг; r = 0,2 м.Вариант 5.

Колесо 1 радиусом R и массой m1 жестко скреплено с рейкой идвижется поступательно. Шестерня 3 – однородный диск радиусом r и массой m3находится в зацеплении с колесом 1 и связана с водилом 2, которое шарнирно соединяется с колесом в точке O. Колесо и водило связывает также спиральная пружина жесткостью c . К шестерне приложена пара сил с моментом M . В начальныймомент система находилась в покое (ϕ = 0, x = 0), пружина была недеформирована. Определить при ϕ = π / 3 рад: 1) угловые скорость и ускорение шестерни 3;302)величину равнодействующейреакцийопоррейки.Принять:R / r = 5;M = 3mgr / π; c = 18mgr / π2 ; m3 = m1 / 5 = m = 2 кг; r = 0,1 м.Вариант 6.

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, состоитиз шестерен 4 и 5, находящихся в зацеплении, кривошипа 1, жестко связанного сшестерней 4, кулисы 2 и втулки 3. Шестерни с массами m4 и m5 имеют радиусы r4и r5 , кулиса обладает массой m2 , равномерно распределенной по длине OE , втулкаимеет массу m3 . При приложении к звену 5 пары сил с моментом M система приходит в движение так, что кривошип, поворачиваясь вместе с шестерней 4, вращает кулису, на которую действует пара сил сопротивления с моментомM c = const . Считать шестерни однородными дисками.

В начальный момент механизм покоился и занимал положение, при котором ϕ = 0 . Определить: 1) скоростьточки A и угловую скорость кулисы при ϕ = π / 3 рад; 2) силу реакции, с которойкулиса действует на втулку, при ϕ = 0 рад. Принять: OE = 6 L; OO1 = 4 L; L = 1 м;M c = M / 2 = 60mgL / π; m3 = m4 / 4 = m5 / 16 = m2 / 6 = m = 1 кг ; O1 A = 2 L; r5 / 2 = r4 = L .Втулка 3 – материальная точка.Вариант 7. Каток 1 (однородный диск) массой m1 катится без скольжения погоризонтальной направляющей. В центре катка C шарнирно закреплен маятник 2длиной l . Масса маятника сосредоточена в точке A и равна m2 . В начальный момент стержень 3 находился в горизонтальном положении (ϕ = 0), система покоилась. При ϕ = ϕ1 определить: 1) скорость и ускорение центра C катка 1; 2) абсолютные скорость и ускорение точки A ; 3) реакцию шарнира C ; 4) реакцию в точкеР.