Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990), страница 6

Процесс называется узкополосным, если дли него выполняется условие /»л Р» (7» — средняя частота спектра), Процесс (2.27) можно представить в виде л(Е) =х(Е) соз мог+у(Е) зеп маг (228) где х(Е) и У(Е) — квадратурные компоненты, определяемые соотношениями, х(Е) =Г(Е)сов ф(Е); У(Е) =г(Е)з1пф(Е). (2.29) Огибающую г(Е) и фазу ф(Е) можно определить по квадратурным компонентам: (2.30) (2.33) Используя пару преобразований Гильберта 1 х(т) (Е)= 1 у х т П' '(Е)=— гг Š— т и Š— т (2. 34) огибающую н мгновенную фазу сигнала можно определить так: з (Е) г (Е) = трггхз (Е] + г' (Е) , ф (Е) = агс18 — , г (Е) При определении огибающей и фазы по Гильберту нет необходимости задавать частоту процесса [м Спектр по Фурье сопряженного сигнала 5,([и) связан со спектром 5,(Еы) соотношением Е [ 5,([ю) при Е ( О, (2.36) тх — 1 5, (Е' со) при ) > О.

О следует, что спектр комплексного сигнала з(Е) существует только тсюда след е, па положительных частотах, причем (2. 37) г (Е) = 2„) 5 (1 оз) еетЯЕ ПЕ а Если узкополосный случайный процесс Х(Е) =Х(Е)соз ючЕ+Т(Е)а[вьюг=)х(Е)соз(юзг+Ф(Е)) г (Е) = реха (Е) + у' (Е); ф (Е) = агс19 У (Е)Ех (Е) . Квадратурные компоненты процесса г(Е) можно представить как вещественную и мнимую составляющие комплексной функции г (Е) = г (Е) еЕЕЕЕЕ = х (Е) + е у (Е) . Функция Е(Е) называется комплексной огибающей процесса. Комплексный процесс з(Е) можно представить следующим образом: з (Е) = г(Е) е' ЕЯЕ' е = г(Е) сох [ыз Е-[-ф(Е)]+ 1 г(Е) Мп [соз Е+ гр(Е)1 = = 2 (Е) + [ х (Е), (2.32) где г(Е) — процесс, сопряженный процессу х(Е). Мгновенная частота процесса х(Е) определяется соотношением и ф (Е) Пгр (Е) ы (Е) = — = ыз+ —.

ог е(Е можно перейти от декартовых координат х и у к полярным координатам г и ю и определить совместную плотность вероятности огибающей и фазы узко- полосного случайного процесса (гсозф — гл )' (гз[п р — тв)з 2от (Е) 2пз (Е) (2.39) г юз(г, ф) = ехр 2ге ох (Е) пя (Е) Отсюда легко найти одномерные плотности вероятности огибающей ю~(г) н фазы ю~(ср). Копкретпый вил одномерных плотностей вероятности ю~(г) и ю~(ф) зависит от соотношения между параметрами квадратурных компонент случайного процесса. Задачи 2.3.1. Найти огибающую, мгновенную фазу и мгновенную частоту для БМ-сигнала и (Е) = (Е соз (ша+ ьЕ) Е+ (I соз (шз — ьЕ) Е.

Составить выражение для комплексного сигнала. 2.3.2. Найти огибающую, мгновенную фазу и мгновенную частоту и составить выражение для комплексного сигнала, если процесс описывается выражением 1 и(Е)=(е созоззŠ— — р(Е сов(юз+ье) Е+ + — ~(Е соз (юа — Й) Е. 1 2.3З. Дан сигнал л(Е) = т (уесоз(юоЕ+ьее)Е. Найти сопряженЕ=! ыый сигнал г(Е), а также огибающую, мгновенную фазу и частоту. 2.3.Е[. Найти квадратурные компоненты АМ-сигнала и (Е) (/з (1+ не созье() соз (шв(+ерз) 235. Дан сигнал и(Е) =(Е,сов ш,Е+(Етсозшт(.

Найти огибаюпеую и мгновенную фазу сигнала для случаев шз=шь шо= 29 является гауссовским, а его квадратурные компоненты Х(Е) и У(Е) независи- мы, то совместная плотность вероятности квадратурных компонент 1 глх (91 [у — хчв (О1 ю(х,у) = ехр! — — 1. (2 38) 2пах (О ов (Е) [ 2оз(Е) 2оз(Е) здесь ле,(е), глт(е) — математические ожидания квадратуриых компонент; оз,(Е), о'т(Е) — дисперсии квадратурных компонент, Поскольку Х(Е) =ЕЕ(Е)сов ф(Е), У(Е) =ЕЕ(Е)з(п Ф(Е), =(в!+газ)/2. Показать, что во втором случае огибающая совпадает с огибающей по Гильберту. 2.3.6.

Найти огибающую и мгновенную фазу ОМ-сигнала при модуляции гармоническим колебанием и!и И. 2.3.7. Показать, что сигналы, сопряженные по Гильберту с сигналами г!(1) =(/ сойва( из(1) =(/ и!пва1 ( — Т/2(1(Т/2), равны 2!(1) =(/ з!ива(, гз(1) = — (/ сов во( лишь при Т вЂ” .

Показать, что этот же результат следует из спектральных соотношений ЯГ (1в) = — 5,(/в) (при /- 0). 2.3.8. Найти огибающую и мгновенную фазу по Гильберту для процесса и(1), имеющего спектральную плотность 1 при /! (1 3.(1 )= 0 при /з(1(/з, 2.3.9. Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, полагая, что квадратурные компоненты симметричны (о'„= о'„= о') .

2.3.10. Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, если квадратур ные компоненты симметричны (о'„= о'„= о') и т =т„= О. 2.3.11, Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, если о'з=О, т„=т„=О. 2.3.12. Найти одномерную плотность вероятности фазы узкополосного гауссовского случайного процесса при ус~овнах: 1) от=-оз — ов, лз„= т„~О.

2) о',=от =о', т =т = О. у 2.3.13. Система фазовой автоподстройкн частоты (ФАПЧ) эффективно следит за фазой входного процесса, если она не превышает величины и/и (л — целое число). Какова вероятность срыва слежения, если на вход системы ФАПЧ поступает узкополосный гауссовский шум, а л=2? 2.3.14.

Показать, что при ор/б»! обобщенное распределение Рэлея можно приближенно представить в виде гиз (! ) = 1/апов ехр ( — (гв -1- сзр)/2 о ) )/г/!хр (! +и'/8 ар г). 2.3.!5. Найти плотность вероятности огибающей суммы гармонического колебания с амплитудой (/а и узкополосного стационарного гауссовского процесса с дисперсией о'. Построить графики в (г) для (/а/о=О; 1; 2; 3. 2.3.16. Найти среднее значение и дисперсию напряжения ин, на выходе идеального ФНЧ, подключенного к линейному детектору с характеристикой преобразования йи при и,„)0, 0 прии,(0, 30 если на вход детектора подается сумма гармонического сигнала с амплитудой У и узкополосного стационарного гауссовского шума с дисперсией о'. 2.4. ПРОСТРАНСТВА СООБЩЕНИИ И СИГНАЛОВ (2.40) г!=х!+у!, !=1,л.

Если элементы ха уь з! принадлежат одному и тому же пространству, то это пространство относится к классу линейных. длина вектора в л.мерном пространстве (нарна вектора) определяется со. отношением Г л !!х!! = ~/ 2; хт . (2. 41) Расстояние между векторами х и у определяется как норма их разности / п с! (х, у) = (!х — у!! = ~/',Я (з; — у;)' . г=! (2,42) Скалярное произведение х и у есть число (ху) = ь' х; у!. (2.43) г=! Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то такие векторы нюываются ортогональными, а л.мерное пространство, в котором справедливы саогношення (240) — (243), называется эвклидовым нространством и обозначается Яз.

Изложенные геометрические понятия используются в технике связи для наг.!яднага представления сигналов и помех, которые характеризуются дискретно совокупностью координат Такими координатами, в частности, могут быть кательииковские отсчеты нлн коэффициенты ряда Фурье. Если функции (сигиалы и помехи) задаются на непрерывном интервале !О, т), то для их геометрического представления часто используют прострянство, которое называется гильбертовым и обозначается ! з 31 Во многих вопросах, связанных с приемом и преобразованием сигналов, весьма полезными оказываются геометрические представления различных функций (в дальнейшем будут рассматриваться только функции времени) в виде векторов некоторого пространства.

Любую совокупность л вещественных чисел (хь хз, ...,«„) можно рассматривать как координаты точки в некотором л-мерном пространстве или координаты вектора х,=(х!, ..., х„) в этом пространстве. Сумма двух векторов х=(х!, ...,х„) и у=(уь ...,у„) дает вектор х= =(зь, х ), координаты которого равны сумме одноименных координат век! оров-слагаемых обычным об- В п остранстве з опеР Е ацнн сложения и умножения задаются Р ение определяется соотношением разом, а скалярное произведение т (х (!) у (!)) = — ) х (!) у (!) аГ.

Т о им об азам: Норма вектора в пространстве задается следующ р а расстояние между векторами (2.44) (2.45) а (х, у) = цх(Г) — у(!)!! = (2. 46) А амбль сигналов (з;(!)] на интервале (О, Т) можно представить в виде Ансамбль сигналов з м И) = ~ аг,! Ог(!) ! ~ ! !! )=1 х нкций, удовлетворяю- Здесь (ср;(Г)) — система ортонормнрованных базисны фу щих условию т (О при ! ~1, (2. 48) ) чч (!) О! (!) б! = ~ о — М 2— ансамбле (при а ., М=2 — сигналы двоичные, прн М) и †- число намерений (отсчетов сигналы многопозицианные); и —- тсрвале Т.

Коэффициенты разложения (2.47) т (2.49) а« = ) з< (!) %)(!) б! о й п оекцни 1-го сигнала на !чю базисную функцию. "Редставляют ~об~я проев гнал ансамбля (з;(г)) изо р л-ме ном п остраистве с координатами (а«, а~ь ...,аги . ном По ам таких сигналов являются номе ными, римером тивополажные сигналы, которые изображаются двумя точками мой. Сигналы, удовлетворяющие условию (век. и= 1 про- пря- (2.50) Т ( з,(!)„(!)31=0, !ж1, а называются ортогональнымн, Если сигналы удовлетворяют условиям г Х (!)з)(!)а!=о при ! !' о г (!) О! = О прн любых г, 1, (2.51) !т1=0; 1ЮО=! 0~1=1! 090=0 (2.52) Расстояние между двоичными сигналами в л-мерных пространствах апре. делается чаще всего по Хеннингу: О(х у) = Х(ггпу!), е.