Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990), страница 45

Представить огибающую У= 2, г(1;) и(1,) + 2„г(1;)и(1;) 7,!.Е. Указание к ~решению. Использовать оценку й, получен,ную в резании задачи 7.1.6. Учесть, что при больших значениях отношениЯ сигнал-шУм 7,(х)-7о(х), 2иг!Лго»1, а обобщенное Распределение Рэлея удовлетворительно аппроксими~руется гауссовским законом ['1О]: гв(У) = ехр [ — (У вЂ” й Е)з7ЕИо). Р' и Ел!о 7.!.9. При неопределенной фазе сигнала функционал отношения правдоподобия можно записать в ~виде ~2» Г т ! (г7ф) = ехр ~ — ~сов ф [ г (!) и (!) д!— Фо о т - 1 даЕз — з(п ф )" г (!) и (!) д1~ — — ), о Рис. Р.т 2 Структурнав схема оп тимального измерителя коэффипнента передачи канала при неопределенной фазе сигнала 232 поскольку принимаемый сигнал и(!) =йсозфи(!) — )сз(пфй(!).

Составим уравнение правдоподобия д[!п !(г)ф) !/дф=О. После дифференцирования получаем г г — — 31п ф (" г (!) и (!) с(! = — соз ф )" г (!) и (!) с(! мо о Уо о или 1п ф = — д,7д, где т г уз = !" г (!) и (!) д(, у, (!) = [ г (!) и (!) д(, о о Видно, что рз= — йЕз(пф+Л„уз= йЕсовф+Л,, где ср — истинное значение фазы; г т Л, = [ и (!) и(!) д1, Л, = [ и (!) и (!) д(, о о 1д ф = 1й ф (1 — Л„'АЕ з(п ф)7(1 — Л,777Е соз ф). В области больших значений отношения сигнал-шу|м„исключая пока из рассмотрения значения ф=йп(2 (и=О, 1, 2, ...), можно написать 1иф = 1дф(1 — Л,~'йЕ з!пф)!(1 — Лз!йЕсозф) = 1иф — ее!сова ф, где е=1(йЕ(Л1соз ф+Л~ з1пф). Величину 1пф — ее созе ф можно считать первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора функцеьи 1д(ф=ф — е) по малым п~ри~ращениям е.

Таким образом, в области больших значений отношения сигнал-шум файф — во. Случайная величина е имеет гауссовское ~распределение с,нулевым математическим ожиданием и дисперсией ее=Ма!2нзЕ. Это означает, что полученная оценаса несмещенная, состоятельна и асимптотнчесии эффективна. 7.!.!!. При равномерном распределении оцениваемого парамет~ра алгоритм оценки, максимизирующий апостериорную вероятность, не отличается от алто~ритма, полученного по нритерию максимального правдоподобия.

Функционал отношения правдоподобия Г 2й +Ъ й" Е 3 ! (г (!) (ф, т) = ехр ~ — )" г (!) а (! — т) соз (оэ ! + ф) д! — — ~ . ~ Жо !уо * Этот результат справедлив и дли углов ф=йн72. 233 Усредняя по фазе ф, которая считается расцределенной равномер- но, получаем для функционала отношения правдоподобия 1[г (1) ] »1 = К1о(2Ъ'(т)/й/с), где К=ехр( — ««Е//«/с), / Гт+ти 1 т+т, т«с «у ' т'*(««.(«- «-'.«е]+[ «"*«««««- «"""'е] (К«определяется из условия нормировки), При больших значениях отношения силнвл-шум )т(т) велико, и можно воспользоваться асимптотккой для 1с(х) =ехр(х)/)т 2тсх [41.

Поскольку п~ри изменениях т показатель экспояенты ехр[2)т(т)/А(с) меняется несравненно быстрее, чем выражение, стоящее в знаменателе, то можно написать р(т]г) =Кг ехр[2)т(т)~//)/с1 (Кз определяется из условия нцрмировки). Функция )т(т) является огибающей по «р функции т+т й ( с, ср) = [ г (1) а (1 — т) соз (е«1+ «р) с(1, где г(1) =а(1 — тс)соз(е«1+срс)«(1 — т)+а(() (тс, «рс — истинные значения параметров т и ф сигнала иа входе измерителя).

В области л(с« и(т) д Рис Р 7 3 Оптимальный измеритель иремеии при. хода сигнала с иеопределеииой фазой (а) и отклик (б) Гиа«с й« 234 Величина У(т) пропорциональна значению огибающей надряжения на выходе фильтра, согласованного с сигналом в момент г=т+т„т. е. в момент окончания импульса сигнала,на выходе фильтра. Но к моменту окончания сигнала на входе оптимального фильпра нацряжвние,на его выходе (при времени задержки ге=та) достигает максимума.

Поскольку 1с(х) — монотонная функция от х, то при изменениях т максимум 1[г(1) ]т) совладает с максимумом )т(т). Следовательно„оптимальная оценка временя прихода т определяется моментом, при котором на выходе детектора, подключенного к согласованному фильтру (рис. Р.73,а), напряжение достигает максимума (рис. Р.7.3,б). Если этот максимум достигается в момент 1м*тс то т 1м«тс т». Апостернорная вероятность парамет)ра т при неопределенной фазе р(т]г) =К«1о[2У(т)/Л/о1 больших значений отношения сигнал-шум можно при определвнки функции $(т, «р) пренебречь шумовым слагаемым в г(1); т+ти $(т, «Р)= 1" а(1 — т,)а(1 — т)соз(е«1+«Ра)соз(е«1+«Р)/с(1 — т)с(1. На практике обычно ~выполняется условие езт >>1. Но тогда можно в $(т, «р) положить фа=О и привести эту функцию,к виду т+ти $(т, «р) = 0,5 [ а(1 — тр)а(1 — т)с(1 соз«р.

Следовательно, огибающая по ф т+тм . )т(т) =0,5 1" а(1 — т,)а(1 — т)с(1. т При большом значении отношения сигиал-шум погрешность изме- рения т мала, р(т]г) имеет существекное значение л~ишь в облас- ти, где т близко к тс, т. е. при малых значениях разности Ьт=т— — сс. Поэтому можно воспользоваться терема первыми членами разложения в ряд Тейлора: а (1 — т) = а (1 — се) +а'(1 — те) Л с+ +0,5а" (1 — тс)Лтз. Подставив а(1 — т) под знал интеграла и выпол- нив интегрирование по частям, получим [3) т+т )г(т) Е 0 25(Ат)в ["(а (1 т))т«11 ! т+та р(т)г) = Ка ехр ( — 0,5 (т — те)а/ра), Рз = Л'е / )" (да (1 — т)/дт)а Й.

Условие нормировки дает К«=1/)/2прт. Более правильный результат для апостериорной вероятности 1 р(т[г) =, ехр( — 0,5(т — т„)а/ра), где т. — наи~вероятнейшее значение т, соответствующее максиму- му кривой р(т] г). Его можно получить, если не пренебречь шумовой компонентой п(1) в г(1) прн вычислении $(т, «р), как это сделано выше. Из полученного результата следует, что при больших значениях отношения сигнал-шум оценка времени прихода т несмещенная (М[т) =т.), а дисперсия ошибки ли-з'-и./ ).чз««х ««, где ]Я(/ез) ] — модуль комплексного спектра огибающей.

Энергия «« « сигнала Е=0,5 )аи(1)та=0,5 ) ~(Я(1ез)(ас(/, поэтому «« О\ Р(т] =Р/и/2Е»', »'= [езз (5(/е«)!т«(// ~(5(/ет)]ас(/. — Ф 1 — Ф 233 Оченпдно, 1гп /л[т) =0 и, следовательно, полученная оценка г !и является состоятельной и аспмптотически эффективной. 7.1.12. Апостериорная вероятность частоты сигнала определяется формулой Р(/!г) =КА[2У(/)/Хо), а /! т У(/) =/г ~ ~ [г(1)созв1Й + ~ [г(1)з(пв1с(!~в ь о это огибающая по / колебания г с (/, гр) = ) г (1) /т соз (в 1+ гр) с!1.

о Величина У(/) для каждого значения !астоты / пропорпнональна значению огибающей (в момент !=Т) колебания на выходе фильтра, согчасованного с прямоугольным радиоимпульсом з(1) =Асов(в1+ср) с точностью до фазы ф. Так как структура согласованного фильтра зависит от частоты /=О,бв/и сигнала, то, строго говоря, для о~птимальной опенки частоты (т. е. выбора,величины /, которая соответствует максимуму У(/)) следовало бы располагать бесконечным набором таких фильтрон для области чаСтот от /и».

до /макс * На практике вместо бесконечно~о набора фильтровав можно использовать и= (/макс /ниь)/Л/ фильтров, Где Л/ — величина„меньшая ширины основной части спектра сигнала. По точкам функции Р(/ь)г) (/с=1, 2, 3, ...) можно более ичп менее точно построить непрерывную (по /) кривую Р(/!г). Структурная схема пчканального измерителя частоты показана на рнс. Р.7.4. В области больших значений отношения сигнал-шум апостериорную вероятность можно определить так: РЯг) =Кзехр[ — 2У(/)/ /Уа1 При большом значении отношения сигнал-шум можно при нахождении У(/) также считать г(1) =й сов оый ва — истинное значение частоты сигнала.

Тогда т $(/, !р) =/са)" соэв,1соз(в1+ф) Й= а г т = соз <р [ й' сов в!сов в, Ы вЂ” з!п ср )" й'сов в,1з(п в1с(1 о о н огибающая г з 3 У(/) = (йз [созва1созв1с(() +[/с [созво(з(пв(с(~) . а о При выполнении условий () — /а)Т«1, /оТ»1, учитывая приближения соэЛоИ=1 — (Лв1)'/2, з(п Лв/=Лв1, получим У(/) =Š— О 5(з(в — в )з 6=ЕТг/!2 Ф о Если реализация а(т) может быть записана я сохранена на долгое время, то вместо набора фильтров можно использовать один фильтр с перестранв:смой средней частотой / полосы пропускания. 236 Ряс Р74 Структурная схема оптимального измерителя частоты сигнала с неопределен.

нон фазой Апостерпорная вероятность Р(1[г) =К,ехр[ — (в — сос) зЕТз/12М,). Из полученного результата следует, что при больших значениях отношения сигнал-шум оптимальная оценка частоты несмещенная (М[Ц=/с), а ее диспе!реня 1)[/)=6Ха/ЕТз. Полученная оценка состоятельна ( !пп В[/) =О) и асимптотически эффективна. г Решения и укА3Ания к Решению зАдАч 4 7дн 7.2.2. Оценки максимального правдоподобия координат Хь полученные при анализе смеси г(1) =з(1., !)+л(1), минимизируют т функционал с/= 1 [г(1) — з(Х, !)) зс(1, т. е.

определяются нз соотноо шений (уравнений) правдоподобия — = — 2 [(г(1) — э()., 1)) — [з()., 1)) (1=0. дд т д (Р.7.1) дЛ дум Если под действием слабой помехи п(1) принимаемое колебание г(1) получит приращение Лг(1) =п(1), то координаты сообщения на выходе пр~иемника (детектора) получат приращения Л).ь Этим при!ращениям координат соответствует приращение канального сигнала (Р.7.2) Если оптимальные оценки координат удовлетворяют уравнению правдоподобия дс(/дХ,=О, то из (Р.7.3) с учетом (Р.7.1) и (Р.7.2) получаем в, (1) д 1 (1 1)) 1 с,„! „. д т дйз;, т и; ус — (з(1, 1)) с(1.

дзч (Р.7.4) 237 Нс дз Х ! Лз(Л)ь, 1) = Х дз(~' 11 Л)со да! Средний квадрат отклонения колебания г(1)+Лг(1) от сигнала з(/с, 1)+Лз(ЛХ, 1) в пространстве Гнльберта т с( = [' (г (1) + Л г (1) — з (Л, 1) — Л з (ЛХ, 1) ) а с(1, (Р.7,3) а Если д[ь(Л. Е)]/дЛ; с неодина!ковыми индексами ортогональны (что имеет место для всех анал~изпруемых систем модуляции), то из (Р.7.4) следует »ЛЛ,= ! ]' ( д [ь(Л, Е)]в(Е)»ЕЕ']/[ д [ь(Л, Е)]] т, дЛ! /[дэ! Таким образом, величины ЬЛ» иа выходе оптимального прием- яика распределены по гауссовскому закону (при гауссовском распределении помехи п(Е)), не коррелироваиы при различных ! д (вследствие взаимной ортогональности сигналов †(Л, Е)]), дЛ» имеют нулевые математические ожидания и дисперсии: х [ь (Л, Е)] — [ь (Л, Е,)] и (Е) и (Е!) »ЕЕ»ЕЕ!. дх! Так как а(Е)п(Е!) = В„(Е,Е,) = 0,5Меб (Е,— Е), то с учетом фильтру- ющего свойства 5-функции находим о' = Л7~', = 0,5»О'а //(7" ~ — (ь (Л, Е))] ), Так как при любых видах модуляции д Л ~з ( д то коэффициенты при синусах и косинусах одинакового аргумента имеют одинаковые дисперсии: овз» ! =овз».

В этих условиях е(Е)=2„сй»»р»(Е) представляет собой стационарный гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и средней мощностью (дисперсией) на частоте /=Е/Т„равной оа(/) =2озз» »=2оазо Поскольку спектральные компоненты ряда Фурье сдвинуты по частоте на »Л/=1/Т, получаем О, »!»=, »!»»О»-К,/( — '!.»О, ~»»]'. 7.2Х Для прямых систем модуляция с учетом ортогонального разложения в ряд по функциям, заданным в задаче 7.2.1, находим (д'Л, '~'~'~ "'1'= (дЬ '""~ "''дЛ'0 = — (ь [Ь (Е), Е])з »р! (Е). 238 г д Частотный спект»р функции ~ — з(Е)! лежит значительно выше 1.